高考数学第一轮复习资料11(函数与方程)_高考数学函数与方程

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学案11 函数与方程

自主梳理

1．函数零点的定义

(1)对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

(2)方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与____有交点⇔函数y＝f(x)有________．

2．函数零点的判定

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f(x)在区间________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个____也就是f(x)＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．

2第一步，确定区间[a，b]，验证________________，给定精确度ε；

第二步，求区间(a，b)的中点c；

第三步，计算______：

①若________，则c就是函数的零点；

②若________，则令b＝c[此时零点x0∈(a，c)]；

③若________，则令a＝c[此时零点x0∈(c，b)]；

第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|

二、三、四步．

自我检测

2x＋2x－3，x≤01．(2010·福建)f

(x)＝的零点个数为()－2＋ln xx>0

A．0B．1C．2D．

32．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点()

A．至少有一个B．至多有一个

C．有且只有一个D．可能有无数个

3．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是

()

A．①②B．①③C．①④

D．③④

4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.25)

A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)C．(1.5,2)D．不能确定 5．(2011·福州模拟)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是()

A．f(x)＝4x－1B．f(x)＝(x－1)

x

C．f(x)＝e－1D．f(x)＝ln(x－

0.5)

探究点一 函数零点的判断

例1 判断函数y＝ln x＋2x－6的零点个数． 解 方法一 设f(x)＝ln x＋2x－6，∵y＝ln x和y＝2x－6均为增函数，∴f(x)也是增函数． 又∵f(1)＝0＋2－6＝－40，∴f(x)在(1,3)上存在零点．又f(x)为增函数，∴函数在(1,3)上存在唯一零点．

方法二 在同一坐标系画出y＝ln x与y＝6－2x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数y＝ln x＋2x－6只有一个零点．

变式迁移1(2011·烟台模拟)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是()

A．多于4个B．4个 C．3个D．2个 探究点二 用二分法求方程的近似解

例2 求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解(精确度0.1)． 解 设f(x)＝2x3＋3x－3.经计算，f(0)＝－30，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．

取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解，点0.687 5作为函数f(x)零点的近似值．因此0.687 5是方程2x3＋3x－3＝0精确度0.1的一个近似解．

x＋的零点时，第一次经变式迁移2(2011·淮北模拟)用二分法研究函数f(x)＝x3＋ln

2计算f(0)0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为

110，f A.2

2()

1

2



13，1f C.24

1

B．(0,1)f2 110，f D.2

4

探究点三 利用函数的零点确定参数

例3 已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．

解 若a＝0，f(x)＝2x－3，显然在[－1，1]上没有零点，所以a≠0.－3±7

令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0，解得a＝.－3－73－7

①当a＝时，f(x)＝0的重根x＝∈[－1,1]，22－3＋73＋7当a＝时，f(x)＝0的重根x＝∉[－1,1]，22

∴y＝f(x)恰有一个零点在[－1,1]上； ②当f(－1)·f(1)＝(a－1)(a－5)

Δ＝8a＋24a＋4>01－1

a>0

Δ＝8a＋24a＋4>0

1，或－1

1f1≤0f－1≤0

a

－3－7，解得a≥5或a

－3－7

综上所述实数a的取值范围是a>1或a≤.变式迁移3 若函数f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a的取值范围．

一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·天津)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)

D．(1,2)

()

1x

2．(2011·福州质检)已知函数f(x)＝log2x－若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0

)

4．函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1、x2，且x12，x2>5C．x15D．2

54x－4，x≤

15．(2011·厦门月考)设函数f(x)＝2，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)

x－4x＋3，x>1的零点个数是()

A．4B．3C．2D．1

二、填空题(每小题4分，共12分)

6．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 006x＋log2 006x，则在R上，函数f(x)零点的个数为________．

7．(2011·深圳模拟)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是______________．

8．(2009·山东)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．

三、解答题(共38分)

x11

9．(12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋.，证明：存在x0∈(0，)，使f(x0)＝x0.242

10．(12分)已知二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f(c)>0，求实数p的取值范围．

a

11．(14分)(2011·杭州调研)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)3a>2c>2b，求证：

b3

(1)a>0且－3

a4

(3)设x1，x2是函数f(x)2≤|x1－x2|