§4.4几种特殊类型函数的积分_几类特殊函数的积分

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§4 4几种特殊类型函数的积分

一、有理函数的积分

有理函数的形式

有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数 即具有如下形式的函数:

P(x)a0xna1xn1an1xan Q(x)b0xb1xbm1xbm

其中m和n都是非负整数a0 a1 a2     an及b0 b1 b2     bm都是实数并且a00 b00 当nm时 称这有理函数是真分式 而当nm时 称这有理函数是假分式假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式 例如

x3x1x(x21)1x1x21x21x21

真分式的不定积分

求真分式的不定积分时 如果分母可因式分解 则先因式分解 然后化成部分分式再积分

例1 求

解 x3dxx5x6x25x6dx(x2)(x3)dx(x3x2dx x3x365

6dx5dx6ln|x3|5ln|x2|Cx3x2

提示(AB)x(2A3B)x3AB(x2)(x3)x3x2(x2)(x3)

AB1 3A2B3 A6 B5

分母是二次质因式的真分式的不定积分

例2 求

解 x2dxx2x3x22x3dx(2x22x33x22x3)dx x212x21

122x23212x2x3x2x3

d(x22x3)d(x1)132 2x2x3(x1)2()2

x1C1lnx(22x3)3arct21(2x2)3提示 2x2212x2321x2x3x2x32x2x3x2x3

例3 求

解 1dx x(x1)111x(x1)2dx[xx1(x1)2]dx 1

1dx1dx1

2dxln|x|ln|x1|1C x1xx1(x1)

提示 11xx11 x(x1)(x1)x(x1)x(x1)1xx1

2111

2x(x1)(x1)xx1(x1)

二、三角函数有理式的积分

三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算 由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示故三角函数有理式也就是sin x、cos x 的有理式

用于三角函数有理式积分的变换:

把sin x、cos x表成tanx的函数 然后作变换utanx 22

2tax2tax

2ux2sixcoxsin222sec221u1tan22

2x1tan1u22x2xsincosxcos22sec1u22

变换后原积分变成了有理函数的积分

例4 求1sinxdxsinx(1cosx)

2解 令utanx 则sinx2u

2 cosx1u

2 x2arctan u dx2

2du21u1u1u

(12u

2)2du1(u21du 于是1sinxdx2usinx(1cosx)2u(11u21u2

221u1u

21(u2uln|u|)C1tan2xtanx1ln|tx|C4222222

解 令utanx 则2

(12u

22

2du1sinxdx2sinx(1cosx)2u(11u)1u

1u21u2

21(u2uln|u|)C1(u21du222u

1tan2xtanx1ln|tx|C42222

说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分例如cosx11sinxdx1sinxd(1sinx)ln(1sinx)C

三、简单无理函数的积分

无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去 例5 求x1dxx

解 设x1u 即xu21 则

x1dxu2udu2u2 u1u1x

2(11)du2(uarctanu)C 1u

2(x1arctx1)C

例6 求dx1x2

解 设x2u 即xu32 则

2dx1u23udu311 1u1x21u

21u3(u1du3(uln|1u|)C 1u2

3x2)2x2ln|1x2|C2

例7 求dx(1x)x解 设xt 6 于是dx 6t 5d t 从而

dx6t5dt6t2dt1(13x)x(1t)t1t6(11t2dt6(tarctant)C

6(arctx)C

例8 求1xdx xx

解 设xt 即x1 于是 t1x

x1xdx(t21)t2t x(t1)22tdt2(11)dt t1t1

2tln|t1|C t1

xlnxC2 xx

练习

1求dx2cosx

x21t2

则有dxdtcosx2221t1t解作变换ttan

2dt

221tdx11t22 ddtt1t2cosx3t231()2221t3

2

arctant

C2

31xtan)C23

sin5x2求dxcos4x

24(1cosx)2sin5xsinx解dxdcosxdcosx 44cos4xcosxcosx

21(1)dcosx 24cosxcosx

cosx

3求

解21C3cosx3cosx3x1dxx23x23x13x174dx(dx)dx(x2)(x1)x23x2x2x1

11dx4dx x2x1

7ln|x2|4ln|x1|C

7