运用函数构造法巧证不等式_用构造法证明不等式

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运用函数构造法巧证不等式

罗小明（江西省吉水二中331600）

不等式证明方法较多，本文介绍主元、零点、导数法构造函数证明不等式，以飧读者。关键字：函数不等式

不等式的证明是高中数学教学中的一大难点，也是高考、竞赛中的一大热点。本文将不等式证明问题转化为函数问题予以解决，力争突破解题思维，以求解题方法创新。这种解题思路使解答简捷，达到出奇制胜的效果。

一．主元法

例1．已知：a、b、c(1,1)，证明：abc2abc

思路：以a为主元构造函数f(a)，再由函数单调性可证。

证明：视a为主元构造函数f(a)(bc1)a2bc，此为一次函数。

由a、b、c(1,1)知，f(1)f(a)

又f(1)bc1bc(1b)(1c)0

c 故有f(a)0即abc2ab。

例2．设x、y、z(0,1)，证明：x(1y)y(1z)z(1x)

1证明：作f(x)x(1y)y(1z)z(1x)

(1yz)xy(1z)z此为关于x的一次函数

由于 f(0)y(1z)z(y1)(1z)11，f(1)1yz1

故有 x(1y)y(1z)z(1x)1

类题演练：设x、y、z(1,1)，证明：xyyzzx10

二．零点法

例3．若x、y、z满足xyz1且为非负实数，证明：0xyyzxz2xyz思路：以x、y、z为三个零点，构造三次函数去证。

证明：令f(t)(tx)(ty)(tz)，则f(t)t(xyz)t(xyyzxz)txyz

记uxyyzxz2xyz 则u2f()211432727

（1）当x、y、z均不超过

12时，3

(xyz)11111

由于 f()(x)(y)(z) 

22223216



故有0u

727

成立。

2（2）当x、y、z只可能有一个大于

1yz

4x

时，不妨设x1

212

由于f()(x)（22

x)

(x)

故有u

（12

x)

(1x)(2xx1)

727

0，0u

727

也成立。

由（1）、（2）知0xyyzxz2xyz

2222

例4．设a、b、c为三角形三边长，若abc1，证明：abc4abc

思路：先用分析法，再以a、b、c为三个零点，构造三次函数去证。证明：由abc1a2b2c24abc12(abbcca)4abc即要证 abbcca2abc

4作f(x)(xa)(xb)(xc)，则f(x)x3(abc)x2(abbcca)xabc 由abc1，a、b、c为三角形三边长，有0a、b、c故有f()0abbcca2abc

211

412

所以 abc4abc

222

类题演练：已知：a、b、c、A、B、CR，且有aAbBcCk，证明：aBbCcAk

三．导数法

例5．证明：tanx2sinx3x，x(0,

2)

思路：作辅助函数，利用导数判别函数单调法证之。证明：作辅助函数f(x)tanx2sinx3x，则

f(x)

'

1cosx

2cosx3，记g(x)f(x)有

'

g(x)

'

2sinxcosx

2sinx2sinx（1cosx

1)0，知f'(x)是增函数，又f'(0)0故当x(0,)时，有f(x)0，从而有f(x)f(0)0

'

所以x(0,)，都有tanx2sinx3x

例6．已知：a、b0,p1,1p



1q

1，求证：ab

a

p

p



b

q

q

思路：不妨视b为常量，作辅助函数，再用导数判别函数单调法证之。证明：作f(a)

a

p

p



b

q

q

ab，则f(a)a

'p

1b

当bap1时，f(a)是减函数；当bap1时，f(a)是增函数；

q

q

当bap1时，即当abp时，f(bp)0 故a0，有f(a)0，即ab

a

p

p



b

q

q

类题演练：已知：x、y0,1，求证：(xy)xy

由上述例子，函数构造法证不等式揭示了函数与不等式的内在联系，是二者的完美结合，同时也进一步认识到函数在解决具体问题中的重要作用。参考文献：

姚允龙．数学分析[M]．上海：复旦大学出版社，2002

李胜宏，李名德．高中数学竞赛培优教程（专题讲座）[M]．杭州：浙江大学出版社，2009