函数概念的发展和教学研究_函数概念的发展与比较

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函数概念的发展和教学研究

（华中师范大学数学与应用数学黄样430079）

摘 要：数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡。本文回顾了函数概念的历史发展，并且回顾了函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，它不仅有助于中学生提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助中学生领悟数学概念对数学发展、数学学习的巨大作用。

关键字：函数；概念；发展

函数这样一个重要概念的形成和发展是经过了漫长岁月的。在不同的阶段，从观点上和表示方法也不尽相同。回顾函数概念的定义以及演变历史，对加深函数概念的理解大有裨益。函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。但正是由于函数概念的抽象性与层次性，中学生往往不习惯用集合、对应的观点去解释函数关系，缺乏用函数思想分析问题和解决问题的能力。本文拟通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的教学进行一些探索。函数概念的三种定义

在当代国内外教学教材中,关于函数概念有三种代表定义。(1)变量说

函数概念的形成和发展经历了很长的时期。变量说是函数的原始定义,它把函数定义为：依一定规律依赖于一个变量的另一个变量。

虽然这一定义简单粗糙，但人们对它的探索却是最漫长的。函数概念萌芽于17世纪时对方程个数时的不定方程的求解，例如对方程x+y=100写成y=100﹣x，则y值的变化取决于x的赋值，这就产生了变量概念及依存关系。

把“函数”一词最早用做数学术语的是莱布尼兹（G.W.Leibnitz）。在他1673年的一部手稿里用“函数”（function）一词来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量，如切线、法线等的长度及纵坐标。而曲线本身则是由方程给出的。莱布尼兹还引用了“常量”、“变量”和“参变量”。直至1718年，约翰·伯努利给出了“解析的函数概念”：“函数是由任意变数和常数的任意形成所构成的量”，这是函数概念的第一次扩张。而后约翰·伯努利的学生欧拉（Leonard Euler）发展了这种函数“变量说”。1748年，欧拉将“解析表达式”定义为函数，他说：“变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些常量组成以任何方式组成的。”并创用函数符号y=f(x)，其中f解释为由变数与常数组成的解析表达式。这个定义是不完善的，它把函数这一广泛的概念与某个解析表达式混在一起，而把图形或其它方式给出的函数排除在外了。因而欧拉（L.Euler）为了适应积分需要，把函数的概念进一步向“图象定义”推进。在1775年由欧拉精确化：如果某些变量以这样一种方式依赖于另一些变量-----即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，那么前面的变量称为后面变量的函数。他认为，任意画出的曲线表示所确定的x、y间的关系就是函数。并和达朗贝尔（Dalembert）在弦振动的研

究中首先采用了函数记号。但这个定义强调“随着变化”而缩小了函数概念的外延。

后来，由于积分运算式子以及分段函数等等都不符合一个解析式的定义，1821年，法国数学家柯西（Cauchy）对函数概念进行了扩张，先后两次将函数定义为变量之间的依赖关系：“在某些变量之间存在着一定的关系，当给定其中某一变量时，其它变量的值也随之确定，则称最初给定的变量为自变量，随之确定的量为函数。”此后，1837年，德国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet）提出了函数的定义：对于x的每一个值，y都有一或多个确定的值与之对应，那么y叫做x的函数。几乎同时，黎曼也给出了函数的定义：对于x的每一个值，如果y有完全确定的值与之对应，不论x、y所建立的对应方式如何，y都叫做x的函数。黎曼的定义已十分接近现在许多初中教科书所采用的定义。它出色地避免了函数定义中所有的关于依赖关系的描述，以清晰完美的方式为人们所接受。这个定义也为19世纪数学的发展指明了道路[1]。

(2)对应说与关系说

“对应说”是函数的近代定义，其内容是这样的：

给定两个集合A和B，如果按照某一确定的对应法则f，对于集合A内的每一个元素x有唯一的一个元素y∈B与它相对应，那么f就是确定在集合A上的函数，A称为函数的定义域，f(A)=｛y︱y=f(x),x∈A｝称为函数的值域，显然f(A)包含于B。

自17世纪引入函数的“变量说”以来，人们发现它有很大的缺点。首先变量的意义是不清楚的。其次，“变量说”中函数已允许连续或不连续地取值了。但是，x一般能取的值是a≤x≤b，并且x总是被考虑为连续取值。于是人们就想，能否扩大x的取值范围，或干脆取消把变量限制在数中的条件。19世纪，椭圆函数、超椭圆函数和阿贝尔函数的产生，使代数函数论得到蓬勃发展，函数的概念由特殊函数扩大为一般函数。于是人们对函数概念的认识飞跃到一个新的阶段，函数的两个本质定义出现了。1834年的数学家给函数的定义是这样的：

X的函数是这样一个数，它被每一个x所给出，且与x一起变化，函数式可以用公式表达出来，也可以用某种条件给出，这种条件指出怎样把所有的数加以验算。函数关系可以存在而关系本身可以不知道。

这个定义叫做“列表定义”。因为从一个x值可以给出一个函数值y，就好像我们中学代数中列表表示函数值的方法一样，表中一栏是x值，和它对应的一栏就是y值。这里建立了变量与函数之间的对应关系，是对函数概念的一个重要发展，因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分。1837年，人们给函数下了这样的定义：

如果对于任意x的值，相应地有完全确定的y值与之对应，那么称y为x的函数。在此用什么方法建立对应是完全不重要的。

函数的这个定义的优点，是直截了当地强调与突出了“对应”关系，但它的缺点是，把生动的函数变化思想省略简化掉了。随着19世纪人类对各种函数类（连续函数、可微函数、解析函数）的进一步研究，以及集合论的问世，建立了函数的集合定义，也就是用“集合”与“对应”来叙述．以美国的维布伦为代表的数学家给出了函数的近代定义：在变量y的集合与另一个变量x的集合之间，如果存在着对于x的每一个值，y有确定的值与之对应这样的关系，那么变量y叫做变量x的函数。

在这个定义中的x、y，既可作为数，也可以作为点；既可以作为有形之物，也可以作为无形之物。再经后人加工，这一定义便成了我们所看到的近代函数的定义。（高中阶段，基本上采用这一定义，只不过是把A、B限定为非空的数的集合。）由此前进，又定义了以集合的集合（称为类）为元素的集合函数。尽管如此，随着人们对客观世界的不断深入，又出现了δ函数、广义函数论等。但函数的概念还在不断的发展与完善之中。到了20世纪初，人们给出了函数的现代定义，即“关系说”，它把函数定义为满足条件“若（x1,y1）∈f,(x1,y2)∈f,则y1=y2”的二元关系f[1]。

在我国，函数一词是清代数学家李善兰（1811年—1882年）最初使用的，他在1859年与英国学者伟烈亚力（1815年—1887年）合译的《代数学》一书中，将“function”一词译成“函数”。函数概念的教学研究

函数是中学数学的主线，也是整个高中数学的基础。在中学教学中，函数的教学大致可分为两个阶段，第一阶段在初中，学生初步掌握了函数的传统定义以及函数的表示法，并讨论了一些常见函数，对函数有了一定的感性认识；第二阶段在高中，学生学习了集合、映射等有关概念之后，运用集合、对应的思想概括出函数的近代定义，让学生掌握函数的实质，实现从感性认识到理性认识的飞跃。函数概念与中学课程的其他内容(如：三角函数、数列、不等式、方程等)有着非常密切的联系。学好函数的有关概念，是学好上述内容的基础，也是进一步研究函数性质及应用的基础。

2.1 函数概念的教学思想构想

在中学数学教学中，函数是最重要的概念之一，函数概念深刻反映了客观世界的运动变化与实际事物的量与量之间的依存关系。它告诉人们一切事物都在不断地变化着，而且相互联系、相互制约。因而函数概念是培养学生的辩证唯物主义观点、解决实际问题的有力工具。

怎样教学函数概念呢?在“新数学”中，有过一个大胆的尝试，即企图按照集合与笛卡尔积去建立函数概念的形式定义：设A与B为两个集合，并记A*B为

A、B的笛卡尔积，则称A*B的一个子集f为一个函数。如果当(X1，Y1)，(X2，Y2)是f的元素，且X1=X2时，就有Y1=Y2，然而，许多来自经验的事实表明，虽然这一定义是数学上一项优秀的基础，但它不可能是好的认知根源[2]。在此新构造中，必须使用新的集合论的定义去取代早期的与过程有关的定义，这一重新构造对于学生来说显得极其困难。西厄平斯卡(Sierpinska)断言：在向年轻学生介绍函数时，使用久经揣摩而得的现代定义，这是教学法上的一个错误，是一个反教学法的颠倒。

在函数概念学习之前，基本上是常量数学，所学的数学概念属于形式逻辑的范畴。函数研究变量，变量的本质是辩证法在教学中的应用，即函数是一个辩证概念，函数三要素(定义域、值域、对应法则)的确定，符号“f”(对应法则)表示的意义，学生最难理解，因为“f”具有“隐蔽性”，它的具体内容很难从符号上来想象，即使“f”所表示的对应法则是确定的，学生也缺乏足够的、为符号“f”建立起具体内容的经验基础。这样，一方面是学生的辩证思维发展还处于很不成熟的时期，思维水平基本上还停留在形式逻辑思维的范畴，只能局部地、静止地、分割地、抽象地认识所学的事物，另一方面函数却是一个辩证概念，其特征是发展的、变化的、处于与其他概念相互联系之中。形成函数概念，必须要冲破形式逻辑思维的局限，进入到辩证思维的领域，这个矛盾构成了函数概念学习的认识障碍。函数的构成应当从映射入手。在一般关系的范围中，它是一个不确定的难以理解的运算。最重要的是函数关系的定义无论从内容还是从一记号上来讲，都没有运算价值。不少教学法专家认为，关系概念比函数概念更基础、更一般，主张教师在教学中用关系来定义函数。关系缺乏应用的原因是它具有类似于一览表那样的记录特征。科学的内容不是描述性的记录，而是联系。这种联系不是用关系，而是要用相互关联的程度来描述。引入函数概念可以不考虑关系。在学生接触了许多函数，己经能作出函数以后，再让他们去归结什么是函数，这才是数学活动的范例。

2.2 高中函数概念教学的实例运用

关于函数与函数值函数的统一记号是f(x)或y=f(x)或f(x,y)=0，学生常常搞不清哪个是哪个的函数。如果设函数的集合为A，那么f(x)∈A所表示的是函数值属于A，这种表示就错了。同样y=f(x)∈A或f(x,y)=0∈A也是错的。我们所指的函数是f，记号f∈A才是正确的。例：f(x)=2x+1，求f(x-1), f[f(x)]，并说明f(x)与f(x-1)是否为同一函数。显然f(x)与f(x-1)不是同一函数，这里虽然定义域，值域都相同，但对于x来说，“对应法则”是完全不同的。

函数概念比较抽象，学生不容易理解，这是教学的难点。教师在设计时，注意到遵循人们认识事物的规律，从感性到理性，从具体到抽象[3]。

首先创造情境，从实例引入概念。然后通过几个实例的比较，抽象概括得出函数的概念。再进一步深入分析函数的定义，让学生理解函数的概念。最后通过多种形式的训练，巩固函数的概念，从学生的学习心理角度分析，学生主要经历了一个概念形成的过程，即从具体事例或具体概念中抽象出了函数的一些关键特征，如变量是可以任意赋值以及可以不断变化数值的量，而常量则是无法变化数值的量，整个的心理过程是分化、抽象、概括。

3总结

函数概念是重要的。从函数的演变历史，我们可以看到函数概念的内涵不断被挖掘、丰富和精确刻画的历史过程，同时看出,数学概念并非生来就有、一成不变的，是人们在对客观世界深入了解的过程中得到的，我们知道的只是其中很少的一部分，所以还需要不断加以发展，以适应新的需要。

参考文献

[1] M.克莱茵.古今数学思想(第三、四册)。

[2]张九彦高中阶段二次函数教学摭谈[J].青海教育，2006，（04）。

[3]吴兰珍高中数学函数教学渗透数学思想方法浅探[J].广西教育学院学报，2004，（05）。