《高等数学》讨论题与练习题_高等数学练习题及答案

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第一章 函数、极限、连续

第一次 讨论题及练习题

1．下列说法能否作为 是数列 的极限的定义？

(1)对任给的，使得当 时，不等式 成立；

(2)对于无穷多个，存在，当 时，恒有 成立；

(3)，当 时，有无穷多项，使 成立；

(4)对给定的，不等式 恒成立。

2．说明下列表述都可作为 是 极限的定义。

(1)，当 时，恒有 成立；

(2)，当 时，恒有 成立；

(3)，存在，当 时，恒有 成立，其中 是正常数。

3．若 与 是两个发散系列，它们的和与积是否发散？为什么？若其中一个收敛，一个发散，它们的和与积的收敛性又如何？

4．用 语言表述 不收敛于。

5．下列计算方法是否正确？为什么？

(1)；

(2)设，若，因为，两边取极限得，从而必有，故。

6．证明：设，则，使。

7．下列结论是否正确？若有正确，请给出证明；若不正确，请举出反例。

(1)若，则 ；(2)若，则()；

(3)若，则 ；(4)若，则 ；

(5)若，则 ；(6)若对任何实数，则

8．用 定义证明下列极限

(1)；(2)若 有界，则。

9．设由数列 的奇数项与偶数项组成的两个子列收敛于同一个极限，证明 也收敛于。

10．试证明：若，则。

11．证明：任何实数都是某个有理数列的极限。

12．单调有界收敛准则中，若“数列 单调增(减)”改为“从某一项之后单调增(减)”结论成立吗？数列

是否收敛？若收敛，试求其极限值。

课外作业：1．完成上述讨论题中尚未讨论的题；

2．习题1.3，(A)．2．(5)；10．(1)(3)；11．(4)

(B)．4．(3)，(4)；6；8；

3．指出下面的作法是否正确？为什么？

∵，()

∴，从而

第二次讨论题及练习题

1．写出下列极限的定义

(1)(2)时，2．试用 语言来表述当 时 不收敛于。

3．证明。

4．用极限的定义证明。

5．用 语言给出 时 是无穷小量的定义。

6．下列命题是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例。

(1)若 与 都存在，则 存在；

(2)若 与 都存在，则 必存在。

7．利用两个重要极限求下列极限。

(1)；(2)。

8．下列说法是否正确？为什么？

(1)无穷大量一定是无界变量；(2)无穷大量与有界量的乘积是无穷大量。

9．利用无穷小的等价代换求极限。

10．证明：函数 在 连续在 既左连续又右连续。

11．两个在 处不连续函数之和在 是否一定不连续？若其中一个在 处连续，一个在 处不连续，则它们的和在 处是否一定不连续？

12．证明：若 连续，则 也连续，逆命题成立吗？

13．讨论函数 的连续性，若有间断点，判别其类型。

14．证明：函数 在 处连续，有。

15．证明方程 至少有一个正根。

16．若 在 上连续，则在 上必有，使。

17．证明：若 在 内连续，且 存在，则 必在 内有界。

课外作业：1．完成讨论题中尚未讨论的题。

2．判别下面的作法是否正确？为什么？

3．习题1.4．12．(1)，(3)．13．(8)，14．(1)．

习题1.5．4．(1)，5．(1)

习题1.6．9．(3)，10．(1)，13．(1)

4．证明方程，其中，至少有一个正根，并且它不超过。

第二章 导数及其应用

第一次讨论题

1．设 在 的某邻域内有定义，则 在 处可导的一个充要条件为。

A)存在，B)存在，C)存在，D)存在。

2．若 在 处左可导且右可导，试问：函数 在 处连续吗？反之如何？

3．1)如果 在 处可导，那么是否存在 的邻域？在此邻域内 一定可导

2)如果 在 点处可导，那么是否存在 的一个邻域，在此邻域内 一定连续？

4．可导的周期函数的导数还是周期函数吗？非周期函数的导函数一定不是周期函数吗？

5．设有分段函数，其中 和 均可导，问 是否成立？为什么？

6．导数与微分之间的区别与联系是什么？

7．能否用下面的方法证明Cauchy定理？为什么？

对，分别应用Lagrange定理得：

8．1)若Rolle定理的三个条件中有一个不满足，试问Rolle定理的结论是否一定成立？为什么？

2)设，且 在 内可导，试问：Rolle定理的逆命题成立吗？即，若，使，是否一定存在，使 ？

3)如果将Rolle定理中的条件改为： 在 内可导，和 存在且相等，Rolle定理的结论还成立吗？为什么？

9．1)证明微分中值定理(Lagrange定理、Cauchy定理)的主要思想方法是什么？微分中值定理主要揭示了什么？

2)微分中值定理可以用来解决哪些相关问题？

3)构造辅助函数的方法有哪几种？

10．设 在 处二阶可导，则

试问：1)以上解法是否正确？为什么？2)正确的解法是什么？

3)如何改变原题设条件，才能使以上解法正确？

11．1)运用L Hospital法则能求哪些类型极限？

2)运用L Hospital法则求极限时应注意哪些问题？

第二次讨论题及练习题

1． 已知 在其定义域内可导，它的图

形如右图所示，则其导函数 的图形为：

2．如果，由此可以断定 在 的某邻域内单调增吗？为什么？

3．如果函数 在 处取极大值，能否肯定存在点 的邻域，使 在左半邻域内单调增，而在右半邻域内单调减？

4．函数 在[a,b]上的最大(小)值点，一定是 在极值点吗？

5．有人说：如果可导函数 与 当 时，有，那么，当 时，必有，这种说法正确吗？为什么？附加什么条件以上说法正确？

6．利用导数的知识证明不等式常用的方法有哪些？

7．利用导数的知识讨论方程根的存在性和根的个数时，常用的方法有哪些？

8．求解最大最小值应用问题时，如何建立目标函数？

9．设水以常速(即：单位时间注入的水的体积为

常数)注入右图所示的罐中，直至将水罐满。

1)画出水位高度随时间变化的函数 的图形，(不要求精角图形，但应画出曲线的凸性并表示出拐点)

2)在何处增长最快，何处最慢？估计这两个增长率的比值。

10．设

1)求该函数的增减区间和极值，2)确定函数图形的凸性及拐点，3)求其渐近线，4)作出其草图。

11．我们知道，若 在 处可微，则 该结论与带有Peano余项的Taglor定理有何联系？有何区别？两种余项(即Peano余项、Lagrange余项)的共同之处是什么？不同之处是什么？

12．设圆柱形铁皮罐头的体积为，高为，底面半径为，若 给定，问应为何值时，可使罐头盒的表面积最小，从而使材费料最小？

1)不考虑材料的浪费等因素，试证 时，罐头盒的表面积最小。

2)罐头盒的侧壁是用矩形铁皮围成，从大铁

皮板上切割矩形片不会产生多少边角费料，而如

果从一个正方形铁皮上切割一块块的圆生，不可

避免地余下一些边角料而造成浪，如右图如果把

费弃的边角料也计算在所用材料中，那么为了使

用去的材料最省，证明：

第三章 定积分及其应用

第一次讨论题与练习题

1． 下列积分哪些相等，为什么？其中

①②③④

2． 用定积分的几何意义说明：

3． 试述原函数、定积分、不定积分的关系。设 连续，，说明下列等式是否成立，为什么？

①②

③④

⑤⑥

4．函数 与 在[-1,1]上是否可积？ 是否相等？为什么？

5． 同题4，怎样计算，小结分积函数不定积分与定积分的计算法。

6． 在[a,b]上可积与 在[a,b]上原函数存在是否一回事？考察下列两个例子，说明这个问题。

① 求其导函数。

② 同例4，这两题中的 在[-1,1]上是否可积？原函数是否存在？

7．设 连续，(常数)，求 并讨论 的连续性。

8．计算，，(连续)，并小结变上限积分的求导法。

9．计算①，②，求 并小结变上限积分求导的综合题还有哪些类型。

10．设 在[a, b]上可积，且

①若0，则，是否成立？

②若，则 是否成立？

③若，都在[a, b]上可积，且，则 是否成立？

④若，在[a, b]上可积，且在[a, b]的任一个子区间 上，那么，是否成立？

⑤若，都在[a, b]上连续，则上面四个结论是否成立？若成立，试证明之。

11．设 在[0, 1]上非负连续，(1)证明：，使在 上以 为高的矩形面积等于区间 上以 为曲边的曲边梯形面积；(2)若 在[0, 1]可导，且，试证明(1)中的 是唯一的。

第二次讨论题与练习题

一块高为，底为 的等腰三角形板，①垂直地沉入水中，顶在上，与水面相齐，底与水面平行；

②垂直地沉入水上，顶在下，底与水面相齐；

③底与水面相齐，且该板与水面成 角；

讨论各种情况薄板一侧所受水压力的积分表达式如何建立，并计算之。

1． 半径为的半球形水池

①池中盛满水，将水池口全部抽出；②池中盛满水，将深 以上的水全部从

池口抽出；

③池中盛满水，将水全部抽到距池口 的高处；④池中水的深入为，将水全部从容器口抽出；

讨论各种情况需作功的积分表达式，并计算之。

3．半径为 的球沉入水中，并与水面相接，球的此重(与水相同)将球从水中捞出需作功多少？若，又将怎样计算。

4．由()()，()与 轴围成平面图形

①绕 轴旋转一圈；

②绕直线 旋转一圈；

③绕直线 旋转一圈

④绕直线()旋转一圈；

建立以上四个旋转体体积的积分表达式，并计算曲线与 轴围成的图形，分别绕 轴、轴、直线 旋转一圈所产生旋转体的体积。

5．直角三角形如图，A、C两处分别放置

两质点，质量为M、m，将质点m移到B点，求引力所作功。

6．一圆环线密度 为常数，半径为R，在圆环中垂线上与圆心相距为a处有一质

点m，求引力大小。

若圆环改为圆片，其面密度 常数，则如何求引力？

7．双纽线，圆

①求两曲线围成图形公共部分的面积。

②求位于圆外、双纽线内部分图形的面积。

8．已知点A、B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1,)，线段AB绕 轴旋转一圈所成的旋转面为S，求由S及两平面 及 所围立体的体积。

9．设 在[a, b]可导，证明： 唯一的，使得如图两块阴影区域的面积A1与A2，成立3A1=A2。