学年广东省华南师大附中届高三数学培优练习_高三数学培优专题训练

学年广东省华南师大附中届高三数学培优练习由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“高三数学培优专题训练”。

2010-2011学年广东省华南师大附中2011届高三数学培优练习（2）

一、选择题：

1、由方程 x|x|y|y|1 确定的函数y = f(x)在(－∞，+ ∞)上是

A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数

2、设奇函数f(x)在[1,1]上是增函数，且f(1)1,若函数f(x)t22at1对所有的x[1,1]都成立，当a[1,1]时，则t的取值范围是

A．2t2C．t2或t2或t0 11t2211D．t或t或t0 22B．

3、从－3，－2，－1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程ax2by2c0中的系

数，则确定不同椭圆的个数为

A.17 B.18 C.19 D.20

x2y24、过双曲线221的右焦点F（c，0）的直线交双曲线于M、N两点，交y轴于P ab

2a2x2y

2的定值为2.类比双曲线这一结论，在椭圆221（a＞b bab＞0是定值

2a22b2

A.2B.2 ba

二、填空题 2a2C.2 b2b2D.2 a5、设等比数列{qn1}(q1)的前n项和为Sn，前n+1项的和为Sn1，limSn=______.nSn

16、在一个棱长为56cm的正四面体内有一点P，它到三个面的距离分别是1cm，2cm，3cm，则它到第四个面的距离为_______________cm.7、已知函数f(x)log1(xaxa)的值域为R，且f(x)在（,1)上是增函数，则a的范围

2是.8、已知函数f(x)= 2x－x,则使得数列{2f(n)}(n∈N)成等差数列的非零常数p与q所满足的关系pnq

式为.三、解答题

9、（本题满分12分）

某工厂最近用50万元购买一台德国仿型铣床，在买回来以后的第二天投入使用，使用后的第t天应付的保养费是t + 500元，买来当天的保养维修费以t = 0计算，机器从买来当天到报废共付的保养维修费与购买机器费用的和平均摊到每一天的费用叫做每天的平均损耗．当平均损耗达到最小值时，机器报废最划算．1 求每天平均损耗y 元表示为天数x的函数；2 求该机器买回来后多少天应报废．

10、（本题满分12分）θθ已知 f θ = a sin θ + b cos θ，θ  [ 0,  ]，且1与2 cos 2 的等差中项大于1与 sin 2的等比中项的平方．求：

221 当a = 4, b = 3时，f θ 的最大值及相应的 θ 值；2 当a > b > 0时，f θ 的值域．

11、（本题满分12分）

y 2b 2

2已知椭圆C的方程为x+= 1，点Pa, b的坐标满足a+≤ 1，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，2

2点Q为线段AB的中点，求：1 点Q的轨迹方程；2 点Q的轨迹与坐标轴交点个数。

12、（本题满分12分）

1 直线m：y = kx + 1与双曲线x 2－y 2 = 1的左支交于A、B两点。求k的取值范围；2 直线l过点P－2, 0及线段AB的中点，CD是y轴上一条线段，对任意的直线l都与线段CD无公共点。试问CD长的最大值是否存在？若存在，请求出；若不存在，则说明理由。

13、（本题满分12分）

ax

a0,a1.已知函数f(x)

axa

1239

（1）求f(x)f(1x)及ffff的值；

10101010

（2）是否存在自然数a，使

理由；

（3）利用（2）的结论来比较

af(n)

n2对一切nN都成立，若存在，求出自然数a的最小值；不存在，说明

f1n

1 nn1lg3和lgn！

nN的大小．

14、（本题满分12分）

已知二次函数f(x)x2axb(a,bR)的定义域为[1,1],且|f(x)|的最大值为M.（Ⅰ）试证明|1b|M；

（Ⅱ）试证明M（Ⅲ）当M

1；

2时，试求出f(x)的解析式.2

参考答案

一、选择题：DCBA

二、填空题：5、6、47、0≤a≤

28、p=-2q q

三、解答题：

9、解：（1）第一天应付维修保养费a1 = 500元；

第二天应付维修保养费a2 =(500 + 1)元；

第三天应付维修保养费a3 =（500 + 2）元；

┄

第x天应付维修保养费ax = [500 +(x－1)] 元.2分 由此可知 {a n} 是首项a1 = 500，公差d = 1的等差数列，∴

前x天共付维修保养费Sx = a1x +

x(x－1)x(x－1)

d = 500x +,4分 2

2因而，每天平均费用y与时间x(天数)的函数关系为

500x + y =

x(x－1)

+ 5000002

(x  N*),x

x500000999

即y = + +(x  N*).7分

2x2x500000999

(2)即y = ++ ≥2

2x2

9999992999

· += 1000 + = , 2x222

x500000

当且仅当 =，即x = 1000时取等号，11分

2x∴

x = 1000天时，机器报废最合算。12分

 1 + 2cos2

2

10、解：易得 >sin2，2

2   

∴ 1 + 2cos2 >2 sin2，即2(cos2 －sin2)> －1，2222

∴ 2cos> －1，即cos >－.2∵  [0, ]，∴

2

 [0, 3).2分

(1)当a = 4,b = 3时，有f()= 4sin + 3cos= 5sin( + )(其中= arctan).42

∵ 0≤

23

 ≤+ 

3

∴ 当 +  =即 =－arctan时,f()max = 5.5分

4 x = bcos xy

(2)由（1）知，当a>b>0时，设 ，则有 += 1。

ba  y = asin

2b

∵ 0≤

32b3 a

N(－ ,)，但不含N点。7分

22设f()= x + y = t，则y = －x + t为一直线。

x2y2

将y = －x + t代入+= 1可得(a2 + b2)x2－2b2tx + b2(t2－a2)= 0。

ba

当直线与椭圆相切时，有△ = 4b4t2－4b2(a2 + b2)(t2－a2)= 4b2[b2t2－(a2 + b2)(t2－a2)] = 0。求得t = ±a + b，∴ f()max = a + b。9分 3 a－bb3 a

当直线过点M(b,0)时，有f()= b；当直线过点M(,)时，有f()=。

222当a

a－b

；当a≥3 b时，f()min =b。11分 2a－b,a + b ]；当a3 b>0时，f() [b,a + b ]。12分 2

故当0

11、解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)、Q(x,y)，(1)①当x1 ≠ x2时，不妨设直线l的斜率为k，其方程为y = k(x－a)+ b，由 

∴

y

2x 1 + =

121

可得(x1－x2)(x1 +x2)+(y1 －y2)(y1 + y2)= 0，2

y 2

x 22 + = 1

x1 + x21y1 + y2y1－y2

+= 0,3分 222x1－x2y－by－yx + xy + y,y = , 且 =, 22x－a x1－x2

由x =

∴Q点的轨迹方程为2x2 + y2－2ax－by = 0.（*）6分

②当x1 = x2时，斜率k不存在，此时，l//y轴，∴ AB的中点Q必在x轴上，即Q(a,0)，显然满足方程（*）。7分综上，Q点的轨迹方程为2x2 + y2－2ax－by = 0.8分(2)当a = b = 0时，Q点的轨迹与坐标轴只有一个交点(0,0)；

当a = 0，0

当0

 y = kx + 112、(1)解 22 得(1－k2)x2－2kx－2 = 0。1分

 x－y =

1直线与双曲线左分支有两个交点，不妨设A(x1,y1)，B(x2,y2)，△ = 4k2 + 8(1－k2)>0

2k

x1 + x2 =

1－k则有，解得 2.5分

2x1x2 = － >0

1－k

(2)设AB中点为M(x,y)，则 k1

y = k· + 1 =1－k1－k

x =

k

1－k，直线l：y =

(x + 2),7分

－2k + k + 2

代入x = 0，交y轴于(0,b)，则b =

。8分

－2k + k + 2

117

又f(k)= －2k2 + k+ 2 = －2(k－)2 + 在k (1,2)上是减函数，48

∴ 2 －2 = f()

∴ b2,10分 故与l无公共点的线段CD长有最大值2－[－(2 + 2)] = 4 + 2。12分

1239913、解（1）f(x)f(1x)1；ffff．2分

10101010

2（2）假设存在自然数a,使由f(n)

af(n)

n2对一切nN都成立.f1nn

aafnaa,f(1n)得 an，4分 nn

f1naaaaan

n

当a1,2时，不等式an2显然不成立．5分

当a3时，a

n

3nn2，当n1时，显然31,6分

22n12

当n2时，则 3nn2对3n121Cn2Cn2212n4n(n21)=2n1n 成立，一切nN都成立．8分 所以存在最小自然数a

（3）． 由3n

12n2相乘得

3n

n

3。9分

n（n

nn13

4N），所以32

10，32

n

20，……，32

n0，n!,n!，11分

∴n1nlg3lgn!成立．12分

14、（Ⅰ）证明：∵M|f(1)||1ab|, M|f(1)||1ab|

2M|1ab||1ab||(1ab)(1ab)|2|1b|

∴M|1b|3分

（Ⅱ）证明：依题意，M|f(1)|，M|f(0)|, M|f(1)|

又|f(1)||1ab|,|f(1)||1ab|,|f(0)||b|5分

∴ 4M|f(1)|2f0f1|1ab|2|b||1ab|

|(1ab)2b(1ab)|2，∴M

17分

b（Ⅲ）依M2时，|f(0)||b|, ①2

21ab同理 ②1ab222

③9分

bb②+③得： ④由①、④得：2.2

2当b时，分别代入②、③得：0a1a0，11分

2因此f(x)x2.12分

1a0