高中常见分段函数题型归纳_分段函数常见题型

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分段函数常见题型及解法

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数，它是一个函数，非几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集.与分段函数有关的类型题的求解，在教材中只出现了由分段函数作出其图象的题型，并未作深入说明，因此，对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多，现举例说明其求解方法．

1．求分段函数的定义域和值域

例1.求函数2x2x[1,0];f(x)1x(0,2);2x3x[2,);的定义域、值域.解析：作图, 利用“数形结合”易知f(x)的定义域为[1,), 值域为（-1，2]U｛3｝.例2.求函数的值域.解析：因为当x≥0时，x2+1≥1；当x

2．求分段函数的函数值

|x1|2,(|x|1)f(x)1,(|x|1)12f[f(1x2)].例1.已知函数求

311f()|1|2222解析：因为, 所以

3f[f(12)]f(2)1421(313.2)例2.已知函数，求f{f[f(a)]}(a

, 分析: 求此函数值关键是由内到外逐一求值，即由 a

注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段．

ex,x0.1g(x)g(g())lnx,x0.2练1.设则__________ 2x1(x2),ef(x)2(1)log3x练2.设

(x2).则f[f(2)]__________ 提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题

3．求分段函数的最值

例1.求函数4x3(x0)f(x)x3(0x1)x5(x1)的最大值.f(x)f(0)3, 当0x1时, fmax(x)f(1)4, 当x1时, 解析：当x0时, maxx5154, 综上有fmax(x)4.例2.设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,求f(x)的最小值.分析：因为原函数可化为

所以，只要分别求出其最小值，再取两者较小者即可.解：当x

1，所以若，则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减，从而f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1.若，则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为，且；

当x≥a时，函数；

若，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为，且.若，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.综上，当时，函数f(x)的最小值是；

当时，函数f(x)的最小值是a2+1；

当时，函数f(x)的最小值是.注：分段函数最值求解方法是先分别求出各段函数的最值，再进行大小比较，从而达到求解的目的.4．求分段函数的解析式

例1.在同一平面直角坐标系中, 函数yf(x)和yg(x)的图象关于直线yx对称, 现将 提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题

yg(x)的图象沿x轴向左平移2个单位, 再沿y轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数f(x)的表达式为（）

2x2(1x0)A.f(x)x22(0x2)2x2(1x0)B.f(x)x22(0x2)2x2(1x2)C.f(x)x21(2x4)2x6(1x2)D.f(x)x23(2x4)

1yx[2,0]2x1, 将其图象沿x轴向右平移2个单位, 再沿y轴向下平移1个解析：当时, 11y(x2)1122x1, 所以f(x)2x2(x[1,0]), 当x[0,1]时, 单位, 得解析式为y2x1, 将其图象沿x轴向右平移2个单位, 再沿y轴向下平移1个单位, 得解析式y2(x2)112x4, 所以f(x)12x2(x[0,2]), 综上可得2x2(1x0)f(x)x22(0x2), 故选A.例2.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示：

(I)写出图l表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q=g(t)；(II)认定市面上售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?

解析：

(I)由图l可得市场售价与时间的关系为

由图2可得种植成本与时间的函数关系为 提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题

（0≤t≤300）。

(II)设t时间的纯收益为h(t)，由题意得

h(t)=f(t)-g(t)

再求h(t)的最大值即可。

注：观察图1，知f(t)应是一个关于t的一次分段函数，观察图2可知g(t)是关于t的二次函数，可设为顶点式，即设g(t)=a(t-150)2+100。

5．作分段函数的图像

例1.函数ye|lnx||x1|的图像大致是（）

y1Ox1

yyB

1xO1C1xOD1

2例2.已知函数f(x)=|x-2x-3|的图象与直线y=a有且仅有3个交点，求a的值.解：∵ f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|,所以

由图象易知a=4.注：此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像，再根据数形结合的方法求出，不用写出函数解析式，更简单.例3.已知函数f(x)=|x2-2x-3|的图象与直线y=a有且仅有3个交点，求a的值.解：∵ f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|, 提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题

∴

由图象易知a=4.注：此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像，再根据数形结合的方法求出，不用写出函数解析式，更简单.6．求分段函数得反函数

例1.求函数解：∵ f(x)在R上是单调减函数，∴ f(x)在R上有反函数.∵ y=x2+1(x≤0)的反函数是的反函数.(x≥1)，y=1-x(x>0)的反函数是y=1-x(x

∴ 函数f(x)的反函数是

注 ：求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可.xyf(x)f(x)31, 设f(x)得反函数为x0R例2.已知是定义在上的奇函数, 且当时，yg(x), 求g(x)的表达式.xf(x)31, 又因为f(x)是定义在R上的奇函数, 所以x0x0解析：设, 则, 所以f(x)f(x), 且f(0)0, 所以f(x)13x, 因此

3x1(x0)f(x)0(x0)13x(x0), 从而可得

log3(x1)(x0)g(x)0(x0)log(1x)(x0)31. －log3(x + 1)(x>6)例3.已知f(x) ，若记f 3x－6(x≤6)

(x)为f(x)的反函数，且

af11(),9则f(a4)__________.7．判断分段函数的奇偶性

x2(x1)(x0)f(x)2x(x1)(x0)的奇偶性.例1.判断函数

22f(x)(x)(x1)x(x1)f(x), 当x0时, x0x0解析：当时, , 提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题

f(0)f(0)0, 当x0, x0, f(x)(x)2(x1)x2(x1)f(x)因此, 对于任意xR都有f(x)f(x), 所以f(x)为偶函数.注：分段函数奇偶性必须对x值分类，从而比较f(-x)与f(x)的关系，得出f(x)是否是奇偶函数结论.8．判断分段函数的单调性

3xx(x0)f(x)2(x0)x例1.判断函数的单调性.解一：

分析：由于x∈R，所以对于设x1>x2必须分成三类：

1.当x1>x2>0时，则f(x1)-f(x2)=

2.当0>x1>x2时，则

3.当x1>0>x2时，则

综上所述：x∈R，且x1>x2时，有f(x1)-f(x2)>0。

所以函数f(x)是增函数.注：分段函数的单调性的讨论必须对自变量的值分类讨论.解二：显然f(x)连续.当x0时, f(x)3x11恒成立, 所以f(x)是单调递增函数, 当'x0时, f(x)2x0恒成立, f(x)也是单调递增函数, 所以f(x)在R上是单调递增函数;

'2=(x1-x2)(x1+x2)>0； ；

或画图易知f(x)在R上是单调递增函数.例2.写出函数f(x)|12x||2x|的单调减区间.解析：9．解分段函数的方程 3x1(x12)f(x)3x(12x2)3x1(x2), 画图知单调减区间为

(,12].2xx(,1]1f(x)f(x)4的x的值为__________

log81xx(1,), 则满足方程例1.设函数x11x2logx2x2(,1]x2814, 则422解析：若, 则, 得, 所以（舍去）, 若x81, 解得x3(1,), 所以x3即为所求.142xx(,1]1f(x)f(x)4的x的值为__________ log81xx(1,), 则满足方程例2.设函数x11x2logx2x2(,1]x2814, 则422解析：若, 则, 得, 所以（舍去）, 若 提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题

x81, 解得x3(1,), 所以x3即为所求.1x2(|x|1)|x|(|x|1)练1：函数f(x)=，如果方程f(x)=a有且只有一个实根，那么a满足

A.a

C.a=1

D.a>1 14lgx1,x1,f(x)2x0.0,练2：设定义为R的函数则关于x的方程f(x)bf(x)c0

有7个不同的实数解的充要条件是（）

A.b0且c0

B.b0且c0

C.b0且c0

D.b0且c0

练3：设函数f(x)在(,)上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)f(3)0.（Ⅰ）试判断函数

（Ⅱ）试求方程yf(x)的奇偶性；

f(x)0在闭区间[2005,2005]上的根的个数，并证明你的结论.10．解分段函数的不等式

2x1(x0)f(x)1x2(x0)f(x0)1, 则x0得取值范围是（）例1：设函数, 若A.(1,1)

B.(1,)

C.(,2)(0,)

D.(,1)(1,)

解一：首先画出yf(x)和y1的大致图像, 易

知f(x0)1时, 所对应的x0的取值范围是(,1)(1,).解二：因为f(x0)1, 当x00时, 2x011, 解得x01, 当x00时, x01, 解得

12x01, 综上x0的取值范围是(,1)(1,).故选D.2(x1)(x1)f(x)4x1(x1), 则使得f(x)1的自变量x的取值范围为（）例2：设函数A．(,2][0,10]

B.(,2][0,1]

C.(,2][1,10]

D.[2,0][1,10] 提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题

解析：当x1时, f(x)1(x1)1x2或x0, 所以x2或0x1, 当x1时，2f(x)14x11x13x10, 所以1x10, 综上所述, x2或0x10, 故选A项.2(x1)(x1)f(x)4x1(x1), 则使得f(x)1的自变量x的取值范围为（）例3：设函数A．(,2][0,10]

B.(,2][0,1]

C.(,2][1,10]

D.[2,0][1,10]

解析：当x1时, f(x)1(x1)1x2或x0, 所以x2或0x1, 当x1时，2f(x)14x11x13x10, 所以1x10, 综上所述, x2或0x10, 故选A项.(x0)1 f(x)(x0)，则不等式x(x2)f(x2)5的解集是________ 1 练1：已知x12e,x2,log3(x21),x2,练2：设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为________(A)（1，2）（3，+∞）(B)（10，+∞）(C)（1，2）（10，+∞）(D)（1，2）

1(x为有理数)0(x为无理数)f练3：设(x)=，使所有x均满足x·f(x)≤g(x)的函数g(x)是（）

A．g(x)=sinx

B．g(x)=x

C．g(x)=x2

D．g(x)=|x| 点评：以上分段函数性质的考查中，不难得到一种解题的重要途径，若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解，方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解，使问题得到大大简化，效果明显.