复数·复数的开方_复数与复变函数一

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复数·复数的开方·教案

复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根．

（二）探求复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根，并推导开方公式 师：（提出课题）求复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根．

如何研究这一问题呢？首先，我们对复数的n次方根有几个值能有一个预测吗？ 生：我认为有n个．

师：这只是预测，这要通过求复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根来证实或否定．如何求复数的n次方根？要解决“如何求”，首先要弄清什么是复数n次方根？让学生回忆实数集中方根的概念．

复数n次方根的意义：如果xn=z（n∈N＋，z∈C），那么x叫做z的n次方根． 因为复数的n次方是复数，所以一个复数的n次方根也是复数．

师：在建立复数n次方根概念的基础上，如何推导复数开n次方的公式呢？

由上面分析可知，复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根仍是复数，设它为ρ（cosφ+isinφ），那么这两个复数有什么联系呢？

生：r（cosθ＋isinθ）=[ρ（cosφ+isinφ）]n（n∈N＋）． 师：求复数的n次方根的问题，就转化为在上面等式中求出ρ和φ． r（cosθ＋isinθ）=[ρ（cosφ+isinφ）]n=ρn（cosnφ+isinnφ）． ①

这样就得到两个用三角形式表示的复数．两个用三角形式表示的复数相等的充要条件是什么？

生：它们的模相等，辐角可以相差2π的整数倍． 师：由①式可得

由复数n次方根的意义和复数相等的条件，得到复数n次方根的表达式，下面的工作是什么？

生甲：用公式解题．

生乙：这个公式还没有推导完，它表示几个值？各是什么？还要对公式进一步认识． 师：对．首先要认识公式．对一个数学公式通常从以下几个方面认识：公式的推导；公式成立的条件；公式所反映的数量关系；公式的使用． 对公式的推导，不是停留在重复推导过程上，而是要求提炼推导的基本想法和所运用的基础知识．本公式是运用复数n次方根的概念和复数相等条件，建立方程求解方程推导的．

公式成立的条件是：n∈N+，也就是说，我们研究的是复数开正整数次方．

个虚数根．

进一步深化对复数r（cosθ＋isin θ）的n次方根的认识．提出以下问题： 师：问题1 复数r（cos θ＋isin θ）的n次方根有几个，它们的模等于什么？

师：问题2 复数r（cos θ＋isin θ）的n次方根的几个辐角有什么规律？ 学生讨论，教师归纳总结．

解题后思考以下问题：

（1）1的立方根在实数集中有几个值？在复数集中有几个值？各是什么？

1的立方根在实数集中有1个值，是1．在复数集C中，1的立方根有3个值，有一个实数两个虚数，其中实数为1，两个虚数是一对有

（2）方程x3=1除用复数开方公式求解，还有其他解法吗？（因式分解法，本节不展开）

（四）小结

由实数集扩充到复数集我们对一个数的n次方根的认识有了发展．在复数集C中，复数r（cos θ＋isin θ）的n次方根有n个值．这n个值可由复数开方公式得到．它们的对应点在复平面内是以原点为圆心，（五）作业

1．高中代数下册P214～215练习第3，第4题． 2．复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是 [ ]．

课堂教学设计说明

本节课设计的指导思想是：激发兴趣、注重过程、发展思维、指导学法．

1．复数的有关知识比较抽象，离生产、生活实际较远．在复数教学中如何激发学生的学习兴趣，这是值得思考的问题．本节以解方程引入，通过对复数开方公式的推导得出公式，又回到在复数集中解方程x3=1，求出它的一个实根两个虚根，发展了在实数集中方程x3=1只有一根为1的认识．从学生熟悉的数学问题引入，提出问题，分析问题，解决问题，通过问题解决发展学生的认识，引起学生学习兴趣．

2．注重对复数开方公式推导过程的教学．复数开方公式推导是本节课的重点也是难点．在教学中是分四个层次展开的：由解方程引入；由n次方根的意义切入；通过复数相等求解；由正弦、余弦函数的周期性确定复数的n次方根有n个值完成公式的推导．在推证过程中启发学生探求，发展思维，培养推理能力．

3．指导学法，会学公式．在学习数学过程中学生遇到许多数学公式，如何认识数学公式，学好公式，会学公式是指导学生学法的一个重要方面．本节课通过对复数开方公式的分析，从公式推导、公式成立的条件、公式的数量关系、公式所反映的几何意义等方面去认识公式，从公式的运用中深化对公式的认识．这对学习其他数学公式也是有指导意义的．