高中数学“数列的基本问题”教学研究_高中数学数列教学设计

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高中数学“数列的基本问题”教学研究

郭洁 北京市东城区教师研修中心

一、对“数列的基本问题”中数学知识的深层次理解

（一）数列内容的知识结构

数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型．研究等差数列和等比数列这两种特殊数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题．

（二）深入理解数列内容在知识体系中的地位及相互联系 数列是函数学习的继续；

数列作为一种特殊函数，是反映自然规律的基本数学模型； 数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位 ；

归纳和类比是两种用途最广的合情推理.也是数列教学和学习中最重要的方 法。

（三）数列教学内容的重点、难点 等差数列与等比数列的通项公式与前项和公式的探求，在实际问题的情境中抽象出等差数列或等比数列模型，数列递推关系的建立及其应用是这部分内容的重点和难点．

二、“ 数列的基本问题 ” 的教与学的策略

（一）学生在学习数列概念时的障碍及对策

数列概念是学习数列的起始课，在学习中学生会遇到如下障碍： 1．对数列定义中的关键词“按一定次序”的理解有些模糊． 2．对数列与函数的关系认识不清． 3．对数列的表示，特别是通项公式以不只一个觉得不可思议．

4．由数列的前几项写不出数列的通项公式． 教学策略：

1．为激发学生学习数列的兴趣，体会数列知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中抽象出数列要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子等。

2．数列中蕴含的函数思想是研究数列的指导思想，应及早引导学生发现数列与函数的关系．在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的，“次序”便是函数的自变量，相同的数组成的数列，次序不同则就是不同的数列．函数表示法有列表法、图象法、解析式法，类似地，数列就有列举法、图示法、通项公式法。数列的概念

定义：像这样按照一定次序排列起来的一列数称为数列.从三个层次来理解“次序”（1）语言描述

把位置编上号码，这些号码是所有的非零自然数按从小到大顺序排列，每一个有序号的位置都有一个确定的值，由所有这样的数值组成一个数列； 数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，„，an，„，这种有序性是对数列本质的刻画

感到困惑．对数列的通项公式可（2）映射角度

“次序”用数学语言来表示，就是一种特殊的对应，即映射：

（3）函数角度

数列可以看成以正整数集 N *（或它的有限子集 {1，2，„，n}）为定义域的函数 an= f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值． 数列——初等函数

对于任意的函数 y = f(x)（x ≥0），我们可以得到一个数列

3．由数列的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法，对程度差的学生，可多举几个例子，让学生观察归纳通项公式与各项的结构关系，尽量为写通项公式提供帮助． 归纳数列的通项

教学的目的：归纳法的运用，数列概念的理解。教学中，分几个层次： 可以先给一些特殊的数列：

再给和特殊数列有关的数列：

4．由数列的前几项写出数列的一个通项公式是学生学习中的一个难点，要帮助学生分析各项中的结构特征，让学生依据前几项的规律，猜想该数列的下一项或下几项的值，以便寻求项与项数的关系。最后老师可以和学生共同归纳一些规律性的结论：

（1）并非所有数列都能写出它的通项公式，如： 0，-1，3，7，11 „；（2）有些数列的通项公式在形式上不一定是唯一的，如：数列 1，-1，1，-1，1，-1，„的通项可写成（3）当一个数列出现“ + ”、“-”相间时，应先把符号分离出来，用

等来控制，然后再寻找数量间关系；（4）有些数列的通项公式可以用分段的形式来表示；（5）熟悉常见数列的通项：

例如，全体正偶数按从小到大的顺序构成数列 2，4，6，„，2 n，„，这个数列还可以用列表和图象分别表示为

总之：数列概念的要求比过去高，用图形的变化描述数列，把图形的几何结构量化。

（二）用函数的观点进行等差数列的教学 关于等差数列定义的教学

给出一些等差数列的例子，让学生从项与项关系的角度去观察、归纳、概括得等差数列的定义.在这一段的教学中，一定要重视归纳的过程，这是学生能理解等差数列的所必须的，不要一笔带过！研究数列的一个很重要的方法是：从整体上看数列，研究数列中的项与项之间的关系

引入：（2004 北京卷）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列

是等和数列，且a1=2，公和为 5，那么 a18的值为

从定义的数学表达式：

得： 表明从第二项起，等差数列的任意项都可以表示为它的前一项与公差的和 , 因此，等差数列的任意项也就应该可以用首项和公差来表示.2．等差数列通项与一次函数 得到结论： 是等差数列

这样，由于公差不为零的等差数列的每一项an是关于项数 n 的一次函数式 于是可以利用一次函数的性质来认识等差数列

例如，理解为什么.根据一次函数的图象是一条直线和直线由两个点唯一确定的性质，就容易理解为什么两项可以确定一个等差数列 由斜率的计算方法）3．等差数列的性质，它的含义是什么呢？（可以适当拓展到直线

表面看是两项之和相等，从对应的项数之间又是一种什么关系呢？ 由此归纳得出：

使用等差数列的性质

注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不成立。如

.时要，有等差中项的定义是针对三个数的，即如果 x，A，y组成等差数列，则 A叫做 x，y的等差中项.从等差数列的整体看： a1，a2，a3，„，an，„，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.推广：从第二项起，每一项都是到它距离相等的两项的等差中项，即与数列中的任一项“等距离”的两项之和等于该项的 2 倍.这个性质体现的是数列的对称性，这种对称性是由项数之间的关系决定的.例题：

（三）把握等差数列的前 n项和公式的教学实质 1 ．等差数列的前 n项和公式的教学实质

有些教师在教学中利用“梯形钢管堆的计数”“梯形面积公式”等模型来体现数形结合，认为“倒序求和”是等差数列前 项和公式这一内容蕴含的思想方法。因此，把基础定位在要让学生掌握求和公式及其变式，学会“倒序求和”的思想方法。

其实，“倒序求和”只是为避免对项数 n进行奇偶讨论而引入的一个技巧，并不是什么思想方法。基础性表现在几个层次： 用等差数列的“基本量”；

用等差数列的性质“等差数列”，将不同数求和化归为相同数求和，从数量关系上看是利用了“平均数”概念； 更进一步地，为了体现从概念出发思考和解决问题的思想，利用等差数列的概念和通项公式求

教学设计：

引入高斯故事，归纳方法本质。，所以实质就是从“高斯的故事”引入；归纳“高斯方法”的本质，即实质是利用，将不同数化为相同数求和；

探究求值方法，引出分类讨论 用这一方法求的值，引出需要分 n为奇数、偶数讨论的问题，并

求出和；过渡到利用归纳思想方法，提升解题技巧

求等差数列前 n项和公式。

聚焦基本概念和基本原理，引导学生经历从特殊到一般的归纳过程，从中领悟“化归”的思想方法的思路。

教学中不必急于引入“倒序求和”的技巧。可以在讨论 n的奇偶性而得出求和公式后，再让学生思考“能否想个办法避免讨论”，把公式

变形为，再联系性质得到。

应把等差数列前 项和这节课看成是等差数列概念、性质的应用课。这一节课的教学，重要的是培养学生从基本概念、基本原理出发思考问题的习惯。具体教学时应明确任务（即用基本量）的基础上，引导学生从基本性质、通项公式入手，寻找化归的方法，在不断“求简”中得到“倒序求和”。2.公式的推导．从函数的观点来认识 Sn

首项为 a1、公差为 d 的等差数列前 n 项和的公式可以写为：

即当 时，Sn是 n 的二次函数式，于是可以运用二次函数的观点和方法来认识求等差数列前 n 项和的问题 如可以根据二次函数的图象了解 Sn的增减变化、极值等情况 ．通过 Sn的有关问题进一步认识等差数列的结构特征

本题给出了等差数列前 6 项的和，应该关注最后六项的和，利用等差数列的性质和前 n项和公式解决问题。要求学生对等差数列前 n项和概念要有深刻理解。例 2 等差数列 的公差为 d，前 n项和为 Sn，当首项 a1和 d变化时，a2+a8+a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是（C）

本题利用整体代换求解，体现了整体代换的思想。

（四）典型例题的作用及教学

所以，满足不等式组的正整数 n的取值只能是 8，9.（五）数列研究的几个基本问题 1 ．关注 an与 Sn

（六）数学归纳法的教学定位 1 ．数学归纳法教学的重点和难点 重 点

（1）初步理解数学归纳法的原理.（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤.（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数有关的恒等式.难 点

（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性.（2）假设的利用，即如何利用假设证明当 n=k+1 时结论正确.2 ．数学归纳法原理形成的教学定位

由于数学归纳法原理的高度的抽象性，学生在学习时，往往限于掌握了一些应用数学归纳法的技巧，而不能真正理解它的意义.因此学习停留在单纯的模仿之中.所以原理的形成过程的教学，既是本节课的重点，也是难点.教师要组织形象、生动、与所学内容密切相关的素材，作为数学归纳法原理产生的背景，以激发学生浓厚的学习兴趣，帮助、引导学生从中感悟其蕴含的数学思想，最终产生迁移效果.抽象出数学归纳法的原理，如何通过探究顺利实现迁移抽象的目标，就成了本节课能否成功的关键.有些教师对数学归纳法原理形成过程的教学不够重视，表现在有的教师没有安排实验探究，急于向学生展示一种思维“模式”和“套路”，接着通过大量的例题、习题进行强化；有的教师虽然安排了实验，但也是一带而过，很快抽象出了数学归纳法原理，这只能是教师的“成果”，而不是学生的成果，仍然摆脱不了生硬灌输这种教学模式的影子；甚至有的教师将相当多的时间和精力花在举例说明“不完全归纳法”的缺陷上，这显然偏离了本节课的主题与核心.“多米诺骨牌实验”的教学定位

本节课所需的“引例”，形式丰富多样，教师用的最多的是“多米诺骨牌实验”，因为这几乎是所有学生小时候都玩过的一种游戏，贴近学生的生活实际，具有一种无形的亲近感。同时“多米诺骨牌实验”以简便的形式蕴含了数学归纳法的深刻原理，因而成为这节课的典型素材.问题是如何正确认识，科学定位“多米诺骨牌实验”？在实验的方式上，“多米诺骨牌实验”应从不同角度多次进行，每次实验都要有不同的目的，都要引发学生不同的思考、探究，让学生既要有实验成功的体验，又要有实验失败的反思；而多次的实验又能形成一个有机的整体，当将每次实验的体验和反思糅合在一起后，数学归纳法的内在原理就扎根于学生的心中了。从学生的基础来看，学生用原有的知识结构同化数学归纳法存在着数学知识和逻辑知识上的准备不足，需要具体的实例帮助；从学生的认知规律来看认知抽象的事物应尽可能将其具体化、形象化，同时，对抽象事物本质的认识不能一步到位，应该由浅入深、由表及里、正反对比，方能凸显本质。

“多米诺骨牌实验”的功能应该包含两个层次：一是将实验转化为关于正整数的命题，即“第一块骨牌倒下”对应“当 n取第一个正整数 n0时命题成立”，“第二块骨牌倒下”对应“当 n取第一个正整数 n0+1时命题成立”，„，“所有的骨牌都倒下（即游戏成功）”对应“命题对从 n0开始的所有正整数都成立”，若“第“若

块骨牌倒下，则一定有第 k+1块骨牌跟着倒下”对应时命题成立，则 n=K+1时命题也一定成立”。

二是将游戏转化为具体的数学问题，引导学生通过解决具体的数学问题进一步体验数学归纳法的思想，并从中感受到成功的喜悦，然后在此基础上才能推广到一般命题，抽象概括，得到数学归纳法原理。这样学生才能够切实掌握数学归纳法原理，本节课的难点才能够得到有效突破。“多米诺骨牌实验”的教学设计 三次实验

实验 1 ：用手推倒 1 号骨牌，然后 2 号骨牌，3 号骨牌，„，紧跟着全部倒下，让学生讨论为什么会出现这种结果，在这个环节，学生对现象的本质的认识可能是比较模糊的，但必要的讨论为下面显现本质奠定了基础。

实验 2 ：课件展示动画，在该实验中，骨牌的间距和实验 1 相同，用手推倒 1 号骨牌，没有推倒，然后 2 号骨牌，3 号骨牌，„，自然就没有倒下，即游戏失败。这时教师让学生对比实验 1 和实验 2，讨论游戏失败的原因，从而得到游戏成功的第一个必要条件，1 号骨牌必须被推倒。

实验 3 ：课件展示动画，在该实验中，骨牌的间距出现分化，1 号骨牌与 2 号骨牌的间距拉开的足够大，其他骨牌间距不变（同实验 1），这是用手推倒了 1 号骨牌，但 2 号骨牌没有倒下，3 号骨牌，4 号骨牌„，自然就没有倒下，即游戏失败。同样让学生对比不同实验及其结果，分析原因。这是学生得到的结论往往在具体骨牌上，即 1 号骨牌倒下，没有带动 2 号骨牌倒下导致了失败，而学生对其中的任意性很难提炼出来。继续下去，再将 2 号骨牌和 3 号骨牌 ,3 号骨牌和 4 号骨牌„，的间距拉开的足够大，（每一次试验只改变一个间距），重复实验 3，如此反复几次，学生不难悟出游戏成功的第二个必要条件，即第 k块骨牌倒下，则一定有第 k+1块骨牌倒下（这里暗示了无穷推理的合理性）。至此，用数学归纳法证明数学问题时，为何两步缺一不可，便不言自明。两次迁移：

骨牌游戏虽然有数学归纳法的影子，但毕竟不是数学归纳法原理本身，不能直接用来证明数学问题，这就需要将游戏迁移到数学问题中去。迁移 1 将骨牌游戏换成数学问题，提出问题：设等差数列的首项为 a1，公差为 d，我们在前面推导其通项公式时，得到与正整数有关的无穷多等式：

要使这无穷多个等式都成立，你能否用数学语言概括上面游戏成功的两个条件？然后让学生独立思考、合作讨论、得到（1）第一个等式成立（即当 n=1成立）（2）假设第个等式成立，一定能推出第k+1个等式也成立。这样就实现了由游戏向原理的第一次迁移。

迁移 2 教师请同学就等差数列通项公式问题具体尝试，是否能做到这两步？最后将无穷多个等式统一为

。至此，由游戏向原理的第二次迁移顺利完成。数学归纳法原理的得出已经是水到渠成。（1）归纳奠基（2）归纳递推

从多米诺骨牌实验到数学归纳法原理，清晰地反映了生活问题 — 数学问题 — 数学形式化的发展轨迹。在对实验的探究过程中，学生经历了成功与失败的种种体验，经历了将生活语言转化为数学语言的过程，经历了将生活中蕴含的原理转化为数学原理的过程。由于始终坚持在学生的“最近发展区”内设置问题情境，注重层层递进，避免一步到位，因而学生能够积极思考。乐于交流讨论，不断体验到成功的快乐，从而顺利地建立了新旧知识及其本质之间的联系。

学生通过数列一章内容和其它相关内容的学习，已经初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。

三、学生学习目标的检测

（一）课程标准与高考对数列内容的要求

数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型．学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题．

（1）数列的概念和简单表示法

通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数．（2）等差数列、等比数列

①通过实例，理解等差数列、等比数列的概念．

②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和的公式．

③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系． 因此教师在检测中要注意．等差数列和等比数列有着广泛的应用，教学中应重视通过具体实例（如教育贷款、购房贷款、放射性物质的衰变、人口增长等），使学生理解这两种数列模型的作用，培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力．．在数列的教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本关系．但训练要控制难度和复杂程度．

（二）典型题目分析

本题涉及到等差数列与等比数列的基本知识，涉及到求公比的问题，应该注意对公比q的讨论，这一点学生往往容易忽略。

本题的第一问涉及到判断数列是否是等比数列的问题，通过解决本题，教师应该让学生掌握证明等比数列的方法，第二问是数列求和问题，教师应该让学生掌握根据已知条件选择恰当的求和方法。

此题为 1996 年全国高考文史类数学试题第（21）题，试卷中不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失 2 分，因此在检测中要加强这方面的训练。