概统第4章习题答案_第4章习题答案概要

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习题四

概统

1.若DX0.004,利用切比雪夫不等式给出概率P(|XEX|0.2)的上界或下界.解P(|XEX|0.2)DX/0.220.004/0.040.1,P(|XEX|0.2)1P(|XEX|0.2)10.10.9.2.设DX0.009,0,P(|XEX|)0.9,利用切比雪夫不等式给出的上界或下界.解DX/2P(|XEX|)1P(|XEX|)10.90.1,2DX/0.10.009/0.10.09, 0.3.3.试用切比雪夫不等式证明:能以大于0.97的概率断言,抛1000次分币,正面出现次数在400到600之间.解设X为出现的正面数,则X~B(1000,1/2),EX1000(1/2)500, DX1000(1/2)(1/2)250.P(400X600)P(|X500|100)P(|X500|100)

1P(|X500|100)1DX/10021250/100000.9750.97.4.设随机变量X的期望存在,f(x)为正单调上升函数,且Ef(XEX)存在.证明:0,P(|XEX|)Ef(|XEX|)/f().证由于f(x)单调上升,故

{|XEX|}{f(|XEX|f()}.由于f(x)是正函数,故

P{|XEX|}P{f(|XEX|)f()}Ef(|XEX|)/f().5.设随机变量X的密度为p(x)xm

m!exI(0,)(x).试用切比雪夫不等式证明

m

m1P{0X2(m1)}

.证1EXxp(x)dx0xm1m!

2exdx(m2)m!xm2(m1)!m!m1,(m2)!

m!

2EX2xp(x)dx20m!2exdx(m3)m!m(m1)DXEX(EX)(m1)(m2)(m1)m1,P{0X2(m1)}P{|X(m1)|m1}P{|XEX|m1}

1P{|XEX|m1}1DX/(m1)21(m1)/(m1)2m/(m1).证2p(x)xm

m!exI(0,)(x)1

(m1)x(m1)1xeI(0,)(x),故

m1, DXm1

12X~(m1,1), EXm1

1m1.P{0X2(m1)}P{|X(m1)|m1}P{|XEX|m1}

1P{|XEX|m1}1DX/(m1)21(m1)/(m1)2m/(m1).4-1

习题四

6.重复抛分币100次,设每次出现正面的概率为1/2.应用中心极限定理求正面出现次数少于60且大于50的概率.解1设正面出现的次数为X,则X~B(100,1/2),EX50,DX25.根据中心极限定理, ZX50

5近似服从标准正态分布,所求的概率是

X5060505050P(50X60)P555

P(0Z2)(2)(0)0.97720.50.4772.解2设正面出现的次数为X,则X~B(100,1/2),EX50,DX25.根据中心极限定理,ZX50

5近似服从标准正态分布,所求的概率是

X5059.55050.550P(50.5X59.5)P555

P(0.1z1.95)(1.9)(0.1)0.97130.53980.4315.7.现有一批种子,其中良种占1/6,在其中任选6000颗,试问这批种子中,良种所占的比例与1/6之差的绝对值小于1%的概率是多少？

解设这6000颗种子中,良种数为X,则X~B(6000,1/6),EX1000,DX5000/6,良种数所占的比例为X/6000.根据中心极限定理,Z.所求的概率是

X1X1000P0.01P0.01P 600066000P(|Z|2.078)2(2.078)120.981210.9624.8.现有一批种子,其中良种占1/6;我们有99%的把握断定,在6000颗种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值小于多少？这时相应的良种数落在哪个范围内？

解设这6000颗种子中,良种数为X,则X~B(6000,1/6),EX1000,DX5000/6,良种数所占的比例为X/6000.根据中心极限定理,Z.设题述的差的绝对值小于c,则

X1X10000.99PcPcP600066000P|Z|

21.由此得0.995,x

60002.57,c0.0124.16这时相应的良种x满足不等式c0.0124,故

x(100060000.0124,100060000.0124),即良种数x数落在区间[926,1074]内.4-2