数学分析 实数的完备性_数学分析实数

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《数学分析》教案

第七章 实数的完备性

教学目的：

1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；

2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。

教学重点难点：本章的重点是实数完备性的基本定理的证明；难点是基本定理的应用。

教学时数：8学时

§ 1 关于实数集完备性的基本定理（4学时）

教学目的：

1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；

2.明确基本定理是数学分析的理论基础。

教学重点难点：实数完备性的基本定理的证明。一．确界存在定理：回顾确界概念．

Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界.二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念.Th 2 单调有界数列必收敛.《数学分析》教案

1.基本列 : 回顾基本列概念.基本列的直观意义.基本列亦称为Cauchy列.例1 验证以下两数列为Cauchy列 : ⑴

.⑵

解 ⑴

.;对，为使，易见只要.于是取

⑵..当 有 为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , ,《数学分析》教案

.因此, 取 ,„„

2.Cauchy收敛原理: Th 4 数列

收敛

是Cauchy列.(要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依据，利用Heine归并原则给出证明)五.致密性定理: 数集的聚点

定义 设 是无穷点集.若在点(未必属于 无穷多个点, 则称点 为

数集 集是闭区间是闭区间 =的一个聚点.)的任何邻域内有的有唯一聚点 , 但;设.是

;开区间 的全体聚点之的聚点集

中全体有理数所成之集, 易见

1.列紧性: 亦称为Weierstra收敛子列定理.Th 5(Weierstra)任一有界数列必有收敛子列.2.聚点原理 : Weierstra聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.六.Heine–Borel 有限复盖定理: 1.复盖: 先介绍区间族

.《数学分析》教案

Ⅱ: 区间套定理 Ⅲ: 区间套定理

致密性定理

Cauchy收敛准则;

区间套定理.Heine–Borel 有限复盖定理

一.“Ⅰ” 的证明:(“确界原理

单调有界原理”已证明过).1.用“确界原理”证明“单调有界原理”: Th 2 单调有界数列必收敛.证

2.用“单调有界原理”证明“区间套定理”:

Th 3 设

.证

系1 若 当 时, 总有

是区间套.是区间套

确定的公共点, 则对.,是一闭区间套.则存在唯一的点 ,使对

有

系2 若 ↗ , ↘ ,确定的公共点, 则有

3.用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”:

Th 4 数列

收敛

是Cauchy列.引理 Cauchy列是有界列.(证)Th 4 的证明:(只证充分性)教科书P217—218上的证明留作阅读.现采用[3]P70—71例2的证明, 即三等分的方法, 该证法比较直观.4． 用“Cauchy收敛准则” 证明“确界原理” ：

Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界.《数学分析》教案

教学目的： 能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。

教学重点难点：基本定理的应用。

一.有界性:

命题1,在上

.证法 一(用区间套定理).反证法.证法 二(用列紧性).反证法.证法 三(用有限复盖定理).二.最值性:

命题2(只证取得最大值)证(用确界原理)参阅[1]P226[ 证法 二 ]后半段.三.介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3(零点定理)证法 一(用区间套定理).证法 二(用确界原理).不妨设 令,有).取

> 且,.现证, 则

非空有界,.,在上取得最大值和最小值.有上确界.设

且，(为此证明.由

在点 连续和