数学分析 重积分_三重积分数学分析

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《数学分析》教案

第二十一章 重积分

教学目的：1.理解并掌握二重积分的有关概念及可积条件，进而会计算二重积分；2.理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算方法，并能应用其解决有关 的数学、物理方面的计算问题；

教学重点难点：本章的重点是重积分的计算和格林公式；难点是化重积分为累次积分。

教学时数：22学时

§ 1 二重积分概念

一.矩形域上的二重积分 : 从曲顶柱体的体积引入.用直线网分割.定义 二重积分.例1 用定义计算二重积分

.用直线网

分割该正方形 , 在每个正方形上取其右上顶点为介点.解

.二.可积条件 : D

.大和与小和.Th 1 ，.《数学分析》教案

性质6

.性质7 中值定理.Th 若区域D 的边界是由有限条连续曲线()组成 , 例3 去掉积分

在D上连续 , 则

在D上可积.或

中的绝对值.§ 2 二重积分的计算

二.化二重积分为累次积分:

1.矩形域

上的二重积分:

用“ 体积为幂在势上的积分”推导公式.2.简单域上的二重积分: 简推公式, 一般结果]P219Th9.例1 ,.解法一 P221例3 解法二 为三角形, 三个顶点为,.例2 ,.P221例2.例3 求底半径为的两直交圆柱所围立体的体积.P222例4.《数学分析》教案

解法一(直接计算积分)曲线AB的方程为

.方向为自然方向的反向.因此

.解法二(用Green公式)补上线段BO和OA(O为坐标原点), 成闭路.设所围

区域为D, 注意到 D为反向, 以及, 有

.例2 计算积分 I =, 其中L为任一不包含原点的闭区域D的边界(方向任意)P227例2 解 导数)..（和

在D上有连续的偏,.于是, I =.二.曲线积分与路线无关性:

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;.例6 验证式 P231例4

是恰当微分, 并求其原函数.§ 4 二重积分的变量变换:（4时）

1.二重积分的变量变换公式: 设变换的Jacobi , 则, 其中 是在该变换的逆变换

下 平面上的区域 在平面上的象.由条件

一般先引出变换

.而, 这里的逆变换是存在的., 由此求出变换

.例1 ,.P235 例1.註

当被积函数形如 区域为直线型时, 可试用线性变换, 积分.《数学分析》教案

极坐标变换: ,.广义极坐标变换: ,.例4.P240例3.例5(Viviani问题)求球体 被圆柱面

所割下立体的体积.P240例4.例6 应用二重积分求广义积分

.P241例5.例7 求橢球体

四.积分换序: 例8 连续.对积分的体积.P241例6.换序..例9 连续.对积分

换序..例10 计算积分

..§ 5 三重积分简介

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例2 , :.解.法一(内二外一), 其中 为椭圆域 , 即椭圆域, 其面积为.因此

.同理得 ,.因此.法二(内一外二)上下对称,为 的偶函数,1

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Th 21.13 P247.1.柱坐标: P248.例4,:

.P248例3 2.球坐标: P249.P 250例4.§ 6 重积分的应用

一、曲面的面积

设曲面方程为

.有连续的一阶偏导数.推导曲面面积公式 , 或.例1 P253例1`.