数学分析 曲面积分_数学分析课件曲面积分
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《数学分析》教案
第二十二章 曲面积分
教学目的：1.理解第一、二型曲面积分的有关概念，并掌握其计算方法，同时明确它们的联系；2.掌握高斯公式与斯托克斯公式；3.理解有关场的概念，掌握梯度场、散度场、旋度场、管理场与有势场的性质及应用。
教学重点难点：本章的重点是曲面积分的概念、计算；难点是第二型曲面积分。教学时数：18学时
§ 1 第一型曲面积分
一.第一型面积分的定义:
1.几何体的质量: 已知密度函数 , 分析平面区域、空间几何体的质量定义及计算 2.曲面的质量:
3.第一型面积分的定义: 定义及记法., 面积分
.4.第一型面积分的性质:
二.第一型面积分的计算:
1.第一型曲面积分的计算: Th22.2 设有光滑曲面 续函数,则
.为 上的连.例4 计算积分, 其中 是球面
被平面
所截的顶部.P281
《数学分析》教案
D
上的连续函数, 以 的上侧为正侧(即), 则有
.证 P 类似地, 对光滑曲面
D., 在其前侧上的积分
对光滑曲面 D , 在其右侧上的积分
.计算积分,时, 通常分开来计算三个积分,.为此, 分别把曲面 投影到YZ平面, ZX平面和XY平面上化为二重积分进行计算.投影域的侧由曲面 的定向决定.例1 计算积分,其中 是球面
在部分取外侧.P287 例2 计算积分，为球面
取外侧.《数学分析》教案
对积分则有
:
;, 分别用
和
记上半球面和下半球面的外侧，:
.因此, =
+ =
.综上, =
§ 3 Gau公式和Stokes 公式
.一.Gau公式:
Th22.6 设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面 围成.若函数
在V
上连续, 且有连续的一阶偏导数 , 则, 其中 取外侧.称上述公式为Gau公式或Остроградский―Gau公式.《数学分析》教案
解
.由Gau公式.例2 计算积分，其中 是边
.P291 长为的正方体V的表面取外侧.V : 解 应用Gau公式 , 有
.例1 计算积分
在平面，为锥面
下方的部分，取外法线方向.解 设 为圆
取上侧 , 则
构成由其所围锥体 V的表面外侧 , 由Gau公式 , 有 =
而
锥体V的体积
;
《数学分析》教案
二.Stokes公式:
空间双侧曲面的正侧与其边界闭合曲线L正向的匹配关系: 右手螺旋法则, 即当人站在曲面的正侧上, 沿边界曲线L行走时, 若曲面在左侧, 则把人的前进方向定为L的正向.1.Stokes定理:
Th22.7 设光滑曲面 的边界L是按段光滑的连续曲线.若函数、导数 , 则
和
在(连同L)上连续 ,且有一阶连续的偏
.其中 的侧与L的方向按右手法则确定.称该公式为Stokes公式.证 先证式.具体证明参阅P292.Stokes公式也记为.例5 计算积分 , 其中 L为平面
与各坐标平面的交线, 方向为: 从平面的上方往下看为逆时针方向.P294
