数学分析 数项级数_数学分析级数
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《数学分析》教案
第十二章 数项级数
教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。
教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。
教学时数：18学时
§ 1 级数的收敛性
一． 概念 ：
1． 级数 ：级数，无穷级数;通项(一般项 , 第 项), 前
项部分和等概念(与中学的有关概念联系).级数常简记为
.2.级数的敛散性与和 : 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念.例1 讨论几何级数 的敛散性.（这是一个重要例题！）
解 时,.级数收敛;时, 级数发散;
《数学分析》教案
解
3.级数与数列的关系 :
对应部分和数列{
},收敛
{
}收敛;,.级数发散.对每个数列{ 于是,数列{}, 对应级数, 对该级数, 有 收敛.=
.}收敛
级数
可见 , 级数与数列是同一问题的两种不同形式.4.级数与无穷积分的关系 : , 其中.无穷积分可化为级数;对每个级数, 定义函数 , 易见有
=.即级数可化为无穷积分.综上所述 , 级数和无穷积分可以互化 , 它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个.二.级数收敛的充要条件 —— Cauchy准则 ：把部分和数列{
}收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy准则.Th(Cauchy准则)
.收敛
和
N,《数学分析》教案
性质2
和
收敛，收敛, 且有
=
.性质3 若级数变.收敛 , 则任意加括号后所得级数也收敛 ,且和不
§ 2 正项级数
一.正项级数判敛的一般原则 :
1.正项级数 : 2.基本定理 : Th 1 设 散时, 有.则级数,收敛
.且当
发
↗;任意加括号不影响敛散性..(证)3.正项级数判敛的比较原则 : Th 2 设则
ⅰ>
收敛,收敛;
和
是两个正项级数 , 且
时有，ⅱ> 发散,发散.(ⅱ> 是ⅰ>的逆否命题)例1 考查级数的敛散性.解 有
即
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ⅱ> 可见
往后递增 ,.推论(检比法的极限形式)设则 ⅰ>
为正项级数 , 且,.发
收敛;ⅱ> > 或 =的敛散性.解 ，收敛
.例5 讨论级数的敛散性.解.因此, 当, 发散 时,;时,;时, 级数成为
2.检根法(Cauchy 判别法): 也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th 4 设为正项级数 , 且
及, 当
时 ，ⅰ> 若 ，收敛;
《数学分析》教案
⑴.⑵ 对 , 有
.⑶
;特别地 , 有,.⑷ 时 , 有.⑸.⑹
充分大时 , 有
.例1 判断级数的敛散性.解 时, ,(或).例2 判断级数的敛散性 , 其中.解 时 , 有
收敛
;时 ，发散
.例3 设数列
有界.证明
.《数学分析》教案
二.利用同阶或等价无穷小判敛 :
例8 判断下列级数的敛散性: ⑴;⑵
;⑶
;⑷
;⑸
.例9 判断下列级数的敛散性: ⑴
;⑵
.三． 利用级数判敛求极限 ：
原理 : 常用判定级数
收敛的方法证明
或
.例10 证明.例11 证明.例12 设 ↘
.若
收敛,.证 对 , 由
收敛, 有, 即;,1
绝
《数学分析》教案
Th 3 ⅰ> 若，则，.ⅱ> 若 条件收敛 , 则 ,.证 ⅰ> 由
ⅱ> 反设不真 , 即.由 =.而
三.级数乘积简介:
和
和= ， ⅰ> 成立.中至少有一个收敛 , 不妨设以及,与
和, 收敛 ,条件收敛矛盾.1.级数乘积 : 级数乘积 , Cauchy积.[1] P20—21.2．级数乘积的Cauchy定理:
四.型如的级数判敛法：
Th(Abel判别法)设 ⅰ> 级数则 级数 收敛.收敛，ⅱ> 数列
单调有界.证(用Cauchy收敛准则 , 利用Abel引理估计尾项)设, 有 , 由
收敛 ,对.于是当
时对
时 , 对 有
.由Cauchy收敛准则 ，收敛.2.Dirichlet判别法:
《数学分析》教案，时，.可见 得级数时, 级数的部分和有界.由Dirichlet判别法推
收敛.收敛.同理可得级数数
习 题 课
例1 判断级数的敛散性.解 注意到 亦可)., 所论级数绝对收敛 , 故收敛.(用D-判法 例2 考查级数 的绝对及条件收敛性.解
时为Leibniz型级数, ……, 条件收敛;时 , 绝对收敛.例3 若 敛 ? 解
未必.考查交错级数
.交错级数 是否必收
.这是交错级数 , 有
.但该级数发散.因为否则应有级数
收敛.《数学分析》教案
故本题所论级数发散.例7 判断级数的绝对收敛性.解 由Dirichlet判法,得级数收敛.但.仿例6 讨论,知本题所论级数条件收敛.例8 设级数证 先证数列收敛.事实上,绝对收敛,收敛.证明级数
收敛 ,收敛.收敛.令 有 , 则数列 收敛 ,故有界.设, 于是由Abel变换, ,(或
而 数列 和 收敛,数列,部分和数列
收敛.又
收敛.收敛 , 例9 设数列
收敛.收敛 , 级数
收敛.证明级数
证 注意到 ，收敛.7,.由
