轴对称变换线段之和最小的变式训练_轴对称变换改变什么
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尊敬的各位评委，老师大家好，我是牡丹江市第九中学数学教师于雪松，今天我说变式的题目是《轴 对称变换---线段之和最小的变式训练》由于在初三总复习的教学中经常会遇到求线段之和最小问题，而学 生碰到此类问题时又往往感到束手无策，为了能行之有效地解决此类问题，我设置了本堂变式训练习题课.原题：（人教版八年级数学上册，131页探究）
如图：要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在L上找几个点试一试，能发现什么规律吗？
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由于该题的解法是解决这类问题的通法，因此此题解法中蕴含的规律至关重要，即利用轴对称变换将两个定点中任意一点作关于直线L的对称点，再将此对称点与另外一个定点连接最终得出泵站的位置，可以简化为“两点一线问题”，为了突出重点，方便记忆我以口诀形式表述为：
欲求线段和最小，先把对称轴来找，由轴再找对称点，两点一连问题简。
教师在教学中重点强调：1.动点所在的直线即为对称轴
2.找对称点要根据实际情况看哪个定点的对称点好找找哪个.为了巩固所学知识，我设置了如下几道变式题.变式1：如图，在矩形ABCD中，M、N为AD、BC边中点，P为MN上一个动点，则当P点在____位置时PC+PD的值最小.AMPOD
由于矩形本身具有轴对称性，且对称轴就是MN所在的直线，因此很容易找到点C或点D的对称 点，再将对称点与另外一个定点相连与对称轴相交问题即可解决.变式2：如图，梯形ABCD中，M、N为两底中点，AC=BD=6，P为直线MN上一个动点，则PC+PD的最小值是______.AOPBNCMDBNC
由于等腰梯形也是轴对称图形，且对称轴与对称点都容易找到，因此解法与上题相同.变式3.：在正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=5，EC=7.点P是BD上的一动点，则PE+PC最小值是_____.ADP
由于正方形也是轴对称图形，虽然对称轴容易找，但两个定点中显然点C的对称点更好找，再根据勾股定理得以解决.变式4：如图，菱形ABCD中，AB=2，点E是AB的中点，∠BAD=60°，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_____.DAEBPBECC
此题解法与上一题相同，但要利用等边三角形三线合一及三角函数知识加以解决，题的背景虽然换 了，但基本规律不变.通过以上四道变式题学生基本掌握了解题方法，为了更进一步巩固所学知识，我又设置了以下几道变式题.变式5：如图，AB,CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E, CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为_________
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根据圆的轴对称性及垂径定理等相关知识，此题很容易得到解决.以上几道变式由于图形本身具有轴对称性，对称点容易找到.为了拓宽学生的知识面，我又设置了下面几道变式题.变式6：已知⊙O的半径为1，C是半圆的三等分点，D是BC弧中点，动点P在AB上，求PC+PD的最小值.CDAOPB
此题的对称轴好找，但对称点难找，经过学生的探究及教师的点播，学生能够将半圆恢复为整圆，再借助圆的相关知识问题便迎刃而解.此题的综合性较强，凸显了合作交流的实效性.接下来，为了在平面直角坐标系中展示求线段之和最小的相关知识，我又选择了以下几道变式题.变式7：如图，点A（0，2），点B（6，6），C是X轴上一动点，若使AC+BC最小，则点C坐标是________.YB(6,6)A(0,2)CX 2
此题解法同上，再利用待定系数法求出BA’直线的解析式，进而求出点C的坐标.为了进一步拓宽学生的知识面，我设置了下面一道变式题.变式8：在直角坐标系中，已知两点A（-8,3），B（-4,5）以及动点C（0，n），D（m，0），则当四边形ABCD的周长最小时，比值m:n为_______.YBAOX 此题虽有两定点两动点，但不难发现有两条对称轴，可将点A,点B分别作x轴y轴的对称点，再利用口诀加以解决.最后我们再看这样一道变式.变式9：如图，在锐角△ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD,AB上的动点，则BM+MN的最小值是_______.CMAD
此题只有一个定点，却有两个动点似乎不符合上面说的规律，但可以利用点到直线的距离垂线段最短及角平分线性质定理，再利用轴对称变换将MN转化为与BM在同一条线段上最后根据45°特殊角的直角三角形加以解决.由于此题综合性较强，探究过程较复杂，需要教师适当点拨，才能得出结果.但无论试题背景如何变化，其基本规律不变，通过以上习题变式训练，学生对如何求线段之和最小问题有了一个清晰的思路，既锻炼了学生的思维能力，有培养了学生合作探究的良好习惯，提高了课堂教学的实效性，达到了预期效果.以上是我的变式训练展示.有不当之处敬请各位评委老师批评指正，谢谢大家！
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