2004上海交通大学自主招生冬令营数学试卷_自主招生数学试卷

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2004年度上海交通大学冬令营数学试题

一、填空题：

1．已知x,y,z是非负整数，且x+y+z=10，x+2y+3z=30，则x+5y+3z的范围是__________．

2．长为l的钢丝折成三段与另一墙面合成封闭矩形，则它的面积的最大值是_________．

3．函数yxcosx（0x

2）的值域是_____________．

4．已知a,b,c为三角形三边的长，b=n，且a≤b≤c，则满足条件的三角形的个数为________．

5．xaxb和xbxc的最大公约数为x1，最小公倍数为22

x3(c1)x2(b3)xd，则a=______,b=_______,c=_______,d=__________．

6．已知1a2,则方程a2x22x的相异实根的个数是__________．

7．(7200436)818的个位数是______________．

8．已知数列an满足a11,a22，且an23an12an，则a2004=____________．

9．nn的正方格,任取得长方形是正方形的概率是__________．

10．已知6xyzabc7abcxyz,则xyzabc=_______________．

二、解答题

1．已知矩形的长、宽分别为a、b，现在把矩形对折，使矩形的对顶点重合，求所得折线长．

2．某二项展开式中，相邻a项的二项式系数之比为 1：2：3：…：a，求二项式的次数、a、以及二项式系数．

3．f(x)=ax4+x3+(58a)x2+6x9a，证明：（1）总有f(x)=0；（2）总有f(x)≠0．

4．f1(x)1x，对于一切自然数n，都有fn1(x)f1[fn(x)]，且f36(x)f6(x)，求x1

f28(x)．

5．对于两条垂直直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心的轨迹．

6．已知bn为公差为6的等差数列，bn1an1an(nN)．

(1)用a1、b1、n表示数列an的通项公式；

(2)若a1b1a，a[27,33]，求an的最小值及取最小值时的n的值．

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