高考理科数学试卷及答案全国卷(新课标版)word版A3版_高考数学全国卷理科

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2013年全国卷新课标数学（理）

一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A{1,2,3,4,5}，B{(x,y)|xA,yA,xyA}，则B中所含元素的个数为

A.3B.6C.8D.10

2.将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有A.12种B.10种C.9种D.8种 3.下面是关于复数z

是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A.6 B.9 C.12 D.18

8.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A，B，两点，|AB|4，则的实轴长为

A.2B.22

C.4D.8

2的四个命题： 1i

9.已知0，函数f(x)sin(x

)在(,)单调递减，则的取值范围是 42

C.(0,]



P1:|z|2

P2:z22i P4:z的虚部为

1A.[,]

524

B.[,]

132412

D.(0,2]

P3:z的共轭复数为1i

其中的真命题为

10.已知函数f(x)

B.P1，P2

C.P2，P4

D.P4 3，P，则yf(x)的图像大致为

ln(x1)x

A.P2，P

3x2y23a4.设F1,F2是椭圆E: 221(ab0)的左右焦点，P为直线x上的一点，△F2PF1是底角为30的等

2ab

腰三角形，则E的离心率为

A.2

B.3

C.4

D.5

5.已知{an}为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10

A.7

B.5

C.5

D.7

6.如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N2)和

A.AB为a1,a2,,aN的和 B.实数a1,a2,,aN，输出A，B，则

11.已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为

A.26

B.6C.23

D.2

12.设点P在曲线y

1x

e上，点Q在曲线yln(2x)上，则|PQ|的最小值为 2

B.AB

为a1,a2,,aN的算术平均数 2

A.1ln22(1ln2)C.1ln2

D.2(1ln2)

C.A和B分别是a1,a2,,aN中最大的数和最小的数 D.A和B分别是a1,a2,,aN中最小的数和最大的数

二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|

7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 xy1 14.设x,y满足约束条件

xy30则Zx2y的取值范围为.x y0

15.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设

三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布

N(1000,502)，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.16.数列{a n}满足an1(1)nan2n1，则{an}的前60项和为.三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosCasinCbc0.(Ⅰ)求A；

(Ⅱ)若a2，△ABC的面积为3，求b，c.18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰 花做垃圾处理.(Ⅰ)若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，nN）的函数解

析式；（以

（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；

（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABCA

11B1

C1

中，ACBC

2AA1，D是棱AA1的中点，DC1BD(Ⅰ)证明：DC1BC

(Ⅱ)求二面角A1BDC1的大小.19.20.（本小题满分12分）

设抛物线C:x22py(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于

B、D两点

(Ⅰ)若BFD90，△ABD面积为42，求p的值及圆F的方程；

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点.若CF//AB，证明：(Ⅰ)CDBC；

(Ⅱ)△BCD∽△GBD.(Ⅱ)若A、B、F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n的距离的比值.21.（本小题满分12分）已知函数f(x)f(1)e

x

1f(0)x

2x.(Ⅰ)求f(x)的解析式及单调区间；(Ⅱ)若f(x)

x2

axb，求(a1)b的最大值

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线Cx2cos

1的参数方程是

3sin

（为参数），以坐标原点为极点，yx轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

C2的极坐标方程是2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,).(Ⅰ)点A，B，C，D的直角坐标；

(Ⅱ)设P为C2

1上任意一点，求|PA||PB|2

|PC|2

|PD|2的取值范围.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)|xa||x2|.(Ⅰ)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(Ⅱ)f(x)|x4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围.参考答案

1-12：DACCDCBCABAB 13、14、3,3.15、又

DC1BD，DC1DCD，DC1平面BDC.16、1830.8

BC平面BDC,DC1BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)

知，DC1，BC1，又已知DC1BD，BD.17、解：(Ⅰ)

由acosCsinCbc0及正弦定理可得

sinAcosCAsinCsinBsinC

0,在Rt△ABD中，BD,ADa,DAB90，AB

2ACBCAB，ACBC..sinAcosCAsinCsinACsinC

0, AsinCcosAsinCsinC0,sinC

0,AcosA10,取A1B1的中点E，则易证

C1E平面BDA

1，连结DE，则C1EBD，已知DC1BD，BD平面DC1E，BDDE，1

2sinA10,sinA,662

5

0A，A

666，A

(Ⅱ)

C1DE是二面角A1BDC1平面角.1，

CDE30.

在Rt△C1DE中，sinC

1DE



6



A



C1E

C1D

即二面角A1BDC1的大小为30.20、解:（Ⅰ)由对称性可知,△BFD

为等腰直角三角形,斜边上的高为p,斜边长BD2p.1bc4，S△

ABCbcsinA

3解得bc2.a2,A

，abc2bccosAbcbc4，bc8.2222

2点A到准线l的距离dFBFD由S△ABD,.18、解：(Ⅰ)y

10n80,n15（nN）； 80,n16

1BDd2p2

2p2.圆F的方程为xy1

8.(Ⅱ)（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X的分布列为

X的数学期望EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X的方差DX=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.（ⅱ）若花店计划一天购进17

X(Ⅱ)由对称性,不妨设点AxA,yA在第一象限,由已知得线段AB是圆F的在直径,ADB90o,BD2p,yA

直线m的斜率为

kAF

p,代入抛物线C:x22py得xA.2

X的数学期望EX=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，因为76.476，所以应购进17枝玫瑰花.19、(Ⅰ)证明：设ACBC

.直线m的方程为x

0.

xx

2由x2py 得y,y.p2p

AA1a，2

直三棱柱ABCA1B1C1，DC1DC，CC12a，由y

DC12DC2

CC12，DC

1DC.pxp.故直线n与抛物线C的切点坐标为, x, 3p36

直线n的方程为x0.所以坐标原点到m，n

3.21、解:(Ⅰ)f(x)f(1)ex1f(0)x,令x1得,f(0)1,再由f(x)f(1)ex

1f(0)x12

2x,令x0得f1e.所以f(x)的解析式为f(x)ex

x122

x.f(x)ex1x,易知f(x)ex1x是R上的增函数,且f(0)0.所以f(x)0x0,f(x)0x0,所以函数f(x)的增区间为0,,减区间为,0.(Ⅱ)若f(x)

xaxb恒成立, 即hxf(x)12

x2axbex

a1xb0恒成立，hxexa1,(1)当a10时,hx0恒成立, hx为R上的增函数,且当x时, hx,不合题意;(2)当a10时,hx0恒成立, 则b0,(a1)b0;

(3)当a10时, hxex

a1为增函数,由hx0得xlna1,故f(x)0xlna1,f(x)0xlna1,当xlna1时, hx取最小值hlna1

a1a1lna1b.依题意有hlna1a1a1lna1b0, 即ba1a1lna1,a10,a1ba12a12

lna1,令uxx2

x2

lnxx0,则ux2x2xlnxxx1

2lnx,u(x)00xu(x)0x,所以当x, ux

取最大值u

e

.故当a1be2

时, a1b取最大值2.综上, 若f(x)

12x2

axb，则(a1)b的最大值为e2

.22、证明：(Ⅰ)∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，∴DE//BC.CF//AB,DF//BC,CF

BD且 CF=BD，又∵D为AB的中点，CF

AD且 CF=AD，CDAF.CF//AB，BCAF.CDBC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BC

GF，GBCFBD，BGDBDGDBCBDC

△BCD∽△GBD.23、解：(Ⅰ)依题意，点A，B，C，D的极坐标分别为.所以点A，B，C，D的直角坐标分别为、(、(1,、1)；(Ⅱ)设P2cos,3sin，则 |PA|2|PB|2|PC|2|PD|

2

12cos2



3sin

2



2cos

13sin2



12cos2



3sin

2

2cos



13sin2

16cos236sin2163220sin232,52.所以|PA|2

|PB|2

|PC|2

|PD|2的取值范围为32,52.24、解：(Ⅰ)当a3时，不等式f(x)3 |x3||x2|3

 

x22x3xx3x23或x3x23或3



x3x23 或x4.所以当a3时，不等式f(x)3的解集为

xx1或x4.(Ⅱ)f(x)|x4|的解集包含[1,2]，即|xa||x2||x4|对x1,2恒成立，即|xa|2对x1,2恒成立，即2ax2a对x1,2恒成立，所以2a1

2a2，即3a0.所以a的取值范围为3,0.