均值定理最全讲义_均值各态历经定理

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均值不等式

一、要点：

明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值.注意利用均值不等式求解最值时的“配凑”问题

【二元均值不等式】

依据：a2b22ab(a,bR)

ab

2ab2

变式：ab2ab(a,bR)；ab(a,bR)；ab（ab2)

作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；

当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值

注意：应用均值不等式求解最值时，应注意七字原则“一正二定三相等”

【三元均值不等式】

依据：a3b3c33abc(a,b,cR)变式：abc3abc(a,b,cR)，abc(作用：与二元均值不等式相仿 推广：

x1x2x3xn

n

nnx1x2xn(x1,x2,,xnR)

abc

3)

3(即n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数)

二、分类练习

Ⅰ、直接运用

1.已知x0,y0，求

4yx

xy

x

3xy



yx的最小值

2.已知x,y同号，求

的最小值

y

41，则

3.已知x,yR，且满足4.已知x,yR，且满足



xy的最大值为，则的最小值为

25.设a,bR且2ab1,S2ab4ab的最大值是()

(A)21(B)

212

(C)21(D)

212

ab

6.若实数a,b满足ab2，则33的最小值是()

(A)18(B)6(C)23(D)243 7.已知x＞0，y＞0，且满足3x+2y=12，求lgx+lgy的最大值

8.证明：对于任意实数x,y,有x4y4xy(xy)2

Ⅱ、整体代入

1.若x0,y0,且x4y1,求

4x1y的最小值



11x,yR2.若,且2xy1，则的最小值为xy

3.已知x＞0，y＞0，且

4x1x



1y1y

2，求x4y的最小值

4.已知x0，y0，且



9，求xy的最小值

1a

1b

5.已知a0，b0，a2b1，求t6.已知x,yR，且满足



的最小值的最小值为，则

17.已知x,y,z是互不相等的正数且xyz1，求证：(1)(1)(1)

xyz8

Ⅲ、换元

1、若正数a,b满足abab3，则ab的取值范围是.2、已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是.3、若正实数x，y满足，则xy 的最大值是。（变式：求2x+y的最小值为______）

Ⅳ、配凑

1、设a＞b＞0，则a

1ab



1aab的最小值是（）

（A）1（B）2（C）3（D）42、设abc0，则2a

1ab



1a(ab)

10ac25c的最小值是（）

（A）2（B）4（C）

（D）

5Ⅴ、取平方、已知m

2、求函数y

2x6，求m的取值范围 52x（12x

52)的最大值

2x1

【对勾函数】

yx

kx

k0

1.若x0,求f(x)x2.若x0,求f(x)x

9x9x的最小值。的最大值.Ⅰ、分子分离

1.已知to,则函数y

t4t

1t

2的最小值为

2.若x0,求f(x)

4x2x9

xx3x1x1的最小值

3.已知x1,求f(x)最小值.4.求y

x7x10

x1x8x1

x22x52

(x≠1)的值域

5.求函数y(x1)的最小值

6.求函数y的最大值

7.求f(x)的最小值

Ⅱ、配凑

1.已知x

54，求函数f(x)4x2

1x3

14x5的最大值

2.求函数yx(x3)的最小值

9x5

3.若x5，求f(x)4x4.若对任意x0，的最小值

xx3x1

a恒成立，则a的取值范围是