1.基与维数_基和维数
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1．基与维数
结论1 设，当下述三个条件有两条满足时，{}就是V的一个基.(i)零向量可由唯一地线性表示；
(ii)V中每个向量都可由 唯一地线性表示；
(iii).结论2 设,都是F上向量空间V的子空间.若，,则，且.例 1 设和都是数域，且，则是上的向量空间.域F是F上向量空间，基是 {1}，.C是R向量空间，{ 1 , i} 是基，.R是有理数域上的无限维向量空间，这是因为对任意的正整数t，是线性无关的，这里.令，则F是一个数域，F是Q上的向量空间.1)1, 线性无关：
设，.则(否则，,矛盾)，因此.2)1, , 线性无关：
设，i=1,2,3.(1), 两端平方得, 由于1, 线性无关，故
假如，则，且，即.矛盾.因而故假如，则得，这与是无理数相矛盾.因而 将代入(1)，便得这说明1, , 线性无关.3)1, , ,线性无关：
设，i=1,2,3,4.则有
.(2)假如 不全为零，则
得到“1, , 线性相关”的结论，矛盾.所以与应全为零，将代入(2)得
又由1, 线性无关得.这样，我们证得了1, , ,线性无关.故{1, , ,}是F的一个基..例2 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}.C[a,b]是R上的向量空间.对任意的正整数n，可证得线性无关：
设，使(3)取n+1个实数，使 ab.由(3)知
即
其中
而
.用左乘(4)两端，得
这说明线性无关.故C[a,b]是R上无限维向量空间.引理 设V是F上向量空间，是V的子空间，V，i=1,2,...,s.试证明 证 对s作数学归纳.当 s=1 时，结论显然成立.设，且对个V的不等于V的子空间结论成立.下考虑V的子空间，.由归纳假设知 故存在 1)当时，故；
2)当时，由于，因此 显然 ，...,.且存在，使（否则，如果，...,，, , ,使,，所以，即有，这与矛盾）.这样，故
例3 设.存在集合, 使S含无穷多个向量，且S中任意n个不同的向量都是V的一个基.证 取V的一个基，令.对任意 从 中删去后剩下的个向量生成的V的子空间记为，则 由引理知, 故存在令, 中任n个不同的向量线性无关，是V的基.设，有，且中任意n个不同的向量构成V的一个基.对任意，有
.这样的子空间共有个.由引理知
存在
令.则||=k+1，且中任意n个不同的向量是V的基.这个过程进行下去，满足条件的无限集S即可找到.另证：设是V的一个基，令
令
让，...,F互不相同，则
由于
其行列式是Vandermonde行列式，即
故线性无关，是Ｖ的一个基.Ｓ中含无穷多个向量.例４ 设 是Ｆ上n(>０)维向量空间V的子空间，且i=1,2,3,...,s.则存在V的一个基，使得该基中每一个向量都不在 中.证：对s作数学归纳.当时，取 的一个基，将其扩充为V的一个基.可证明出 线性无关，是V的基，且, i=1,2,...,r,设，且对个V的子空间结论成立.现考虑V的s个子空间 , 由归纳假设知存在V的一个基，使
1）如果，那么即满足要求;2）如果.不妨设∈, , 由 最多 有一个F中的数，使,（否则，如果有两个不同的数, , 使，则，故，矛盾），所以除可能的之外，F 中有非零数，使 同理有F 中非零数，使
显然 易证线性无关，是V的基，且满足要求.例5 设W是的由全体形如的向量所生成的子空间, 证明
证 令
(j)是第i行第j列位置元素是1，而其余的个元素全是零的n阶方阵.对, i≠t, 对,(j)∈ W.(j)容易验证 }是线性无关的（共个向量）故 而W中每个矩阵其迹为0.因此，故
引理 设是向量空间V的子空间，则
(i)
(ii)
例 6 设是F上向量空间V的子空间.(i)证明：
(ii)举一个例子，使上述严格不等式成立.证(i)=
=
=(ii)在中，令
++=（1，0，0）,(-1,0,1)）,而==={0}, =={0},此时=2
B()因而是的子空间.当秩B=秩(AB)时,齐次线性方程组AB=与B=同解.因此={0},故dim=0=秩B－秩(AB)
以下我们假设秩B>秩(AB).ABX=0与BX=0不是同解的.{0},{0}.秩B=n
此时{0},设{，...}为的一个基, 其中 t=n-秩(AB).则有=(B，B，...B)设B+B+...+B=0, F,i=1,2,...t 则B(++...+)=0,而BY=0只有零解, 故++...+=0, 又，...线性无关.所以=0，i=1,2,...n 这说明{B，B，...B}是的一个基
dim=t=n-秩(AB)=秩B-秩(AB)秩B0 显然
由于我们事先假设了秩B秩(AB),所以.设{，...}是的一个基.P=n-秩B>0 扩充成的一个基，，...,，..., t=n-秩(AB)而=(B，B，...B,B，...,B)=(B，...,B)设=0，F, j=p+1,...,t.则B()=0 即故存在,F，使= +=0 而，...,，...,线性无关，所以=0，k=1,2，...,t 这说明B,B，...,B线性无关,是的一个基.因此 dim=t-p=[n-秩(AB)]-【n-秩B]= 秩B-秩(AB)例8 设,是向量空间v的子空间,且dim(+)=dim()+1 证明,下述两条必有一条成立:(ⅰ)+=,=;(ⅱ)+=,=;2.直和的刻画：
结论：设是F上的向量空间V的有限维非零子空间，则下述诸条件彼此等价：（ⅰ）∩（）={0}，i=1,2，...s;（ⅱ）∩（）={0}，i=1,2,...,s-1;(ⅲ)对任意§∈，§表为§=§+§+...+§,§∈，i=1,2,...,s,的表示法唯一；
（ⅳ）一旦§+§+...+§=0，§∈，i=1,2,...,s,就有§=0，i=1,2,...,s；
（ⅴ）令{，,...，}为的基，i=1,2,...,s,则{，,...，，,...，...，,...,}是的基；
（ⅵ）dim()=dim 证明：（ⅰ）（ⅱ）： {0}∩（）∩（）={0}（ⅱ）(ⅲ)§∈，令§=§+§+...+§，§=§+§+...+§，§，§，i=1,2,...,s(§-§)+(§-§)+(§-§)=0(1)假如§-§，§-§，§-§不全为零向量，设第一§个非零向量是§-§ ；如 j=s,这与(1)式矛盾.如 j
由（ⅳ）可知=0，i=1,2，...s.又由于，...线性无关,故=0, j=1,2,...;i=1,2,...s.因此，{，...}线性无关，且是的生成元，故{，...}是的一个基。
（ⅴ）（ⅰ）: 设（ⅴ）成立.令i{1,2,...,s}.(),=,又=，故+=0 由于{，...,}线性无关,故=0,l=1,2,...,j=1,2,...,s,因此，=0，这说明（ⅰ）成立.（ⅴ）（ⅵ）：显然
（ⅵ）（ⅴ）：令dim=,i=1,2,...,s 令{，...}是的基，由（ⅵ）知dim=dim=,向量组{，...}是的生成元组，且该向量组所含向量个数为= dim，故该向量组是的一个基.注：①如果只要求上述结论中前四条彼此等价，那么我们可以去掉诸是“有限维”且“非零”的限制.②当诸是有限维时,前四条与（ⅵ）彼此等价
定义:设是F上向量空间v的子空间，如果上述结论中的（ⅰ），（ⅱ），(ⅲ)，（ⅳ）之一成立，那么称和为直和，记为...若v=,则称是的余子空间.例1:设c(F),f(x),g(x)F[x] ,且（f(x),g(x)）=1.令, ,分别为奇次线性方程组f(c)g(c)x=0,f(c)x=0,g(c)x=0的解空间.求证= 证明(f(x),g(x))=1 u(x),v(x)F[x],使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.因而 u(c)f(c)+v(c)g(c)= 任取，=u(c)f(c)+v(c)g(c)f(c)g(c)=0.这说明+.至于是显然的，所以
任取.f(c)=0;g(c)=0，故=u(c)f(c)+v(c)g(c)=u(c).0+ v(c).0=0，这说明={0} 因此=
例2 设 是实数域R上全体n阶方阵关于矩阵的加倍，数与矩阵的乘法所构成的向量空.令={A∣A的主对角线上方的元素全为0}；={A∣A的主对角线元以及主对角线下方的元素全为0} 试证明:=
例3 设V是定义在R上的全体实函数所组成的向量空间。令={f(x)∣f(x)= f(-x)};={f(x)∣f(x)=-f(-x)} 证明, 及都是的子空间,且= 例 若 w是v的子空间，且wv,则w在v中的余子空间不是唯一的演讲稿
尊敬的老师们，同学们下午好：
我是来自10级经济学（2）班的学习委，我叫张盼盼，很荣幸有这次机会和大家一起交流担任学习委员这一职务的经验。
转眼间大学生活已经过了一年多，在这一年多的时间里，我一直担任着学习委员这一职务。回望这一年多，自己走过的路，留下的或深或浅的足迹，不仅充满了欢愉，也充满了淡淡的苦涩。一年多的工作，让我学到了很多很多，下面将自己的工作经验和大家一起分享。
学习委员是班上的一个重要职位，在我当初当上它的时候，我就在想一定不要辜负老师及同学们我的信任和支持，一定要把工作做好。要认真负责，态度踏实，要有一定的组织，领导，执行能力，并且做事情要公平，公正，公开，积极落实学校学院的具体工作。作为一名合格的学习委员，要收集学生对老师的意见和老师的教学动态。在很多情况下，老师无法和那么多学生直接打交道，很多老师也无暇顾及那么多的学生，特别是大家刚进入大学，很多人一时还不适应老师的教学模式。学习委员是老师与学生之间沟通的一个桥梁，学习委员要及时地向老师提出同学们的建议和疑问，熟悉老师对学生的基本要求。再次，学习委员在学习上要做好模范带头作用，要有优异的成绩，当同学们向我提出问题时，基本上给同学一个正确的回复。
总之，在一学年的工作之中，我懂得如何落实各项工作，如何和班委有效地分工合作，如何和同学沟通交流并且提高大家的学习积极性。当然，我的工作还存在着很多不足之处。比日：有的时候得不到同学们的响应，同学们不积极主动支持我的工作；在收集同学们对自己工作意见方面做得不够，有些事情做错了，没有周围同学的提醒，自己也没有发觉等等。最严重的一次是，我没有把英语四六级报名的时间，地点通知到位，导致我们班有4名同学错过报名的时间。这次事使我懂得了做事要脚踏实地，不能马虎。
在这次的交流会中，我希望大家可以从中吸取一些好的经验，带动本班级的学习风气，同时也相信大家在大学毕业后找到好的工作。谢谢大家！
