平面图形的密铺_平面图形密铺
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平面图形的密铺
南京三中
王涛
一、设计意图：
平面图形的密铺这一节是新课标中增加的内容，在新课标中明确指出本节课的目的是让学生通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。可以看出，新课标对此内容的知识要求并不高，主要是让学生在课堂教学中经历探索多边形密铺条件的过程，从而发展学生的合情推理能力、合作交流意识和一定的审美情趣，进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用性和普遍存在性。基于此，本节课的教学设计，主要采用观察、实际操作、合作设计等各种手段，在借助图形直观进行合情推理的过程中，增强学生的探究好奇心，加深对数学的理解，激发出潜在的创造力，逐步形成创新意识.本节课的教学目标：（1）经历探索多边形密铺（镶嵌）条件的过程，进一步发展学生的合情推理能力。（2）通过探索平面图形的密铺，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密铺，并能运用这几种图形进行简单的密铺设计。（3）在探索活动中，培养学生的合作交流意识和一定的审美情感，使学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用。（4）在探索性活动中，开发、培养学生的创造性思维，使其理论联系实际。教学重点是多边形密铺的条件，难点是运用三角形、四边形或正六边形进行简单的密铺设计。
二、设计方案：
1、情景导入：
（展示一组校园的地面、墙面图片）
师：展示的图片都是我们美丽校园的一部分，图片上的地面、墙面，漂亮吗？ 生齐：漂亮。师：（揭示平面图形密铺的定义）很好，这种用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的密铺。请大家寻找身边存在的密铺现象。
生1：教室的天花板是由平面图形密铺得到的。生2：有的格子花布，窗帘。
生3：有的包上也存在平面图形的密铺。
师：是的，平面图形的密铺在生活中处处存在。那么我们今天就来探索平面图形的密铺。
2、探究活动：
我们校园的门前要求密铺地面，请你帮助设计一种密铺方案（要求选择单一图形），将设计的图案展示出来，看谁设计得既快又漂亮，并说一说你是如何设计的？
（课前要求学生准备若干边长相等的正多边形以及全等的三角形、全等的四边形的彩色硬纸片及透明胶等）
学生以同桌两人为一小组自由选择一种图形兴致勃勃地操作，有的用一种全等的三角形，有的用一种全等的四边形，有的用正三角形，有的用正方形，有的用正五边形，有的用正六边形„„，课堂气氛活跃。（问题具有一定的开放性，一下子把学生推向了活动的最前沿．问题情境激起了学生的好奇心，学生跃跃欲试，互相讨论、动手操作，人人参与，课堂顿时活跃起来.）
师：你选择了哪种图形进行密铺的，想一想这种图形为什么可以密铺？
生1：我选择了等边三角形，因为等边三角形的每个内角是60°，我只要用六个一模一样的等边
三角形就可以组合起来镶嵌成一个平面。
生2：我觉得不一定非要是等边三角形才行，我选择的是一般三角形，也能进行密铺。因为我观察到在每个拼接点处有六个角，这六个角分别是这种三角形的内角（其中有三组分别相等），它们可以组成两个三角形的内角，它们的和为360°。
生3：我选择的是正方形，因为正方形每个内角都是90°，四个角加在一起就刚好360°了。生4：我用的是一般的四边形，因为我发现在用四边形密铺的图案中，每个拼接点处的四个角恰好是一个四边形的四个内角，而四边形的内角和为360°，所以我认为任意的四边形都可以密铺。（以上学生的思维充分体现了由特殊到一般的数学思想）
生5：我发现蜜蜂蜂巢的平面图形就是由正六边形构成，所以我就选择了正六边形。师：那么正六边形能够密铺的理由是什么呢？
生6：因为正六边形的每个内角是120°，只要3个120°就是360°了。生7：我想选正五边形来铺的，但没铺成？
师：正五边形为什么不能密铺？原因是什么？我们大家来一起研究一下吧。（学生分四人小组展开讨论，重新试拼，课堂成了一个互动的精彩探究平台.）
生：如图，因为正五边形的每个内角都是108°，360不是108的整数倍，三个内角之和为324°，小于360°，而四个内角之和却大于360°，也就是说，在每个拼结点处，拼三个内角不能保证没空隙，而拼四个内角，必定有重叠现象。
师：很好。通过动手操作，我们知道了正五边形是无法进行密铺的。
3、归纳总结：
师：你们还能找到能密铺的其他正多边形吗？（让学生讨论）生：没有了。
师：为什么除了三角形、四边形、正六边形外找不到其他图形进行密铺？那么对于只限于同一种图形的密铺，能否镶嵌的关键是什么？
生：我们经过讨论发现，要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以密铺，而其他的正多边形不可密铺。（从新知识的生长点上设疑，促成学生的“最近发展区”向现实发展水平转化。诱导学生主动探究，通过学生的猜想、论证，激发思维活动，培养学生的探索能力和合作学习习惯）
4、知识运用：
师：请大家作参谋：小明家刚购买了一套新房，准备用地板砖密铺新居，要求地板砖都是正多边形，每块地板砖的各边长都相等，各个角也相等，某家装市场有如下五种型号的地板砖，它们每个角的度数分别是60°、90°、120°、108°、135°。这些地板砖哪些适用？哪些不适用？说说你的理由。
生：我觉得每个角的度数分别是60°、90°、120°的地板砖适用，因为它们的倍数是360°；而每个角的度数分别是108°和135°的地板砖不适用，因为它们的倍数不是360°。
师：（1）如果你是一个地砖公司的老总，你将如何安排生产你们公司的产品？为什么这样安排？如果你此时是一个服装设计师，你将选择何种图形来设计你的产品？为什么？
生1：如果我是一个地砖公司的老总，我会选择加工正六边形的地砖，这样的地砖美观，买的人会很多。
生2：如果我是一个地砖公司的老总，我会选择主要加工正方形的地砖，正方形的地砖利于加工，剩料是长方形，也可以利用，这样经济效益高。而如果我是一个服装设计师的话，我就会选择正六边形了。
生3：如果我是一个服装设计师的话，我就考虑任意的四边形，因为图形不规则，看上去变化很多。
师：我们在数学研究时主要是考虑哪些图形可以进行密铺，而在实际生活和生产中还要考虑到它的美学价值和经济价值。
（引导学生考虑到相应的数学价值以及实用价值。培养学生的数学应用意识，解决实际问题的能力。）
5、思维拓展：
师：密铺是丰富多彩的，我们能否用几种边长相等的不同边数的正多边形密铺呢？请大家争做小小设计师，利用现有的手中的图形设计出美丽的图案。
（教师拿着已设计好的图案巡视，并作适当的引导和鼓励，让一个个学生把制作好的图案展示，评价学生的劳动果实。通过学生的动手操作、亲身体验，在获得新知和培养实践能力的同时有一种成功的喜悦，并且展示了数学美。）
师：通过这节课，你学到了什么？
生：（1）生活中处处存在着数学，数学来源于生活，又服务于生活。（2）数学存在美，更创造美。（3）我们通过活动、探讨，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密铺成一个平面，探索出正多边形密铺的条件，即：一种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，并且动手设计出了很多美丽的图案。
（通过自我小结，明确了本节课的目标，又实现了自我反馈，从而建构起自己的知识经验，形成自己的见解。）
三、教学反思：
创新，源于“问题”。几何图形的直观形象为学生进行自主探索、创新的活动提供了更有利的条件。本节课的教学，从课堂实施的结果来看，由于不同的学生常常表现出不同的数学学习倾向，探究活动的过程和结果也不尽相同，教学中应当充分满足多样化的学习需求。本堂课以活动为载体，主要运用观察、操作、作图与设计等各种手段，充分体现学生的自主探索、合作交流和动手操作能力。课堂把学习组织成了数学化的实践活动，让学生在课堂上看到了活生生的数学问题，感到数学与自然与生活有密切联系，使学生真正领悟到数学的价值。在借助图形直观进行合情推理的过程中，学生能增强探究的好奇心，加深对数学的理解，激发出潜在的创造力，逐步形成创新意识。从设创情境到问题探究，具有趣味性，富有挑战性，是本节课的一大特色。本节课采用的“主体建构模式”是让学生在解决问
题中学，在动手实践中学。平面图形的密铺是体现多边形在现实生活中应用价值的一个方面，也是开发、培养学生创造性思维的一个重要渠道。本节课的设计就是使学生在“做中学”，真正体现了“以学生的发展为本”的宗旨。教师不是把新知识传授给学生，而是让学生去主动建构，但教师的引导和帮助对于学生的思考和知识的建构来说也是极为重要的。本节课创设了良好的学习环境去促进学生的学习，始终引导学生通过持续的观察、分折、猜想、概括、推证和验证等思维活动和学生的动手操作、交流讨论等活动，来建构起与此相关的知识经验。正象费赖登搭尔认为：“数学知识既不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的。因为学校的数学教学必须就学生通过自身的实践来主动获取知识，让学生在学习中掌握进行再创造的方法，以便进行数学化”。而且在教学过程中不仅注意到要让学生掌握相应的数学知识，还感受到数学的实用价值，体会到数学来源于生活又为生活服务，我们学习的是有用的数学。
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