第四章 微分方程讲稿_第四章微分方程模型

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第四章

微分方程

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微分方程

§4 1 微分方程的基本概念

导入：(8分钟)函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义 在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程

引例 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点M(x y)处的切线的斜率为2x 求这曲线的方程

解 设所求曲线的方程为yy(x) 根据导数的几何意义 可知未知函数yy(x)应满足关系式(称为微分方程)

dy2x

(1)

dx此外 未知函数yy(x)还应满足下列条件

x1时 y2 简记为y|x12

(2)把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解)

y2xdx 即yx2C

(3)其中C是任意常数

把条件“x1时 y2”代入(3)式 得

212C

由此定出C1 把C1代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x12的解)

yx21

几个概念

微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程

常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程

偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程

微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶

x3 yx2 y4xy3x2 

y(4)4y10y12y5ysin2x

y(n)10

一般n阶微分方程

F(x y y

    y(n))0

y(n)f(x y y

    y(n1)) 高等数学C教案

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微分方程

微分方程的解 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解 确切地说 设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数 如果在区间I上

F[x (x) (x)    (n)(x)]0

那么函数y(x)就叫做微分方程F(x y y    y(n))0在区间I上的解

通解 如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解

初始条件 用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件 如

xx0 时 yy0  y y0 

一般写成

yxx0y0 yxx0y0

特解 确定了通解中的任意常数以后 就得到微分方程的特解 即不含任意常数的解

初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题

如求微分方程yf(x

y)满足初始条件yxx0y0的解的问题 记为

yf(x,y)

 yxx0y0

积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线

§4 2 一阶微分方程

导入：（8分钟）1 求微分方程y2x的通解 为此把方程两边积分 得

yx2C

一般地 方程yf(x)的通解为yf(x)dxC(此处积分后不再加任意常数)

2 求微分方程y2xy2 的通解

因为y是未知的 所以积分2xy2dx无法进行 方程两边直接积分不能求出通解



为求通解可将方程变为

1dy2xdx 两边积分 得

y x2C 或y可以验证函数y1y1

x2C1是原方程的通解

x2C

g(y)dyf(x)dx

一般地 如果一阶微分方程y(x, y)能写成形式 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程

G(y)F(x)C

由方程G(y)F(x)C所确定的隐函数就是原方程的通解高等数学C教案

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微分方程

对称形式的一阶微分方程

一阶微分方程有时也写成如下对称形式

P(x y)dxQ(x y)dy0 在这种方程中 变量x与y 是对称的

若把x看作自变量、y看作未知函数 则当Q(x,y)0时 有

dyP(x,y)

dxQ(x,y)若把y看作自变量、x看作未知函数 则当P(x,y)0时 有

一、可分离变量的微分方程

如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y))的形式 就是说 能把微分方程写成一端只含y的函数和dy 另一端只含x的函数和dx 那么原方程就称为可分离变量的微分方程

讨论 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1)y2xy

是 y1dy2xdx (2)3x25xy0

是 dy(3x25x)dx(3)(x2y2)dxxydy=0

不是

(4)y1xy2xy2 是 y(1x)(1y2)(5)y10xy

是 10ydy10xdx(6)ydxQ(x,y)

dyP(x,y)xy

不是 yx

可分离变量的微分方程的解法

第一步

分离变量 将方程写成g(y)dy f(x)dx的形式

第二步

两端积分g(y)dyf(x)dx 设积分后得G(y)F(x)C

第三步

求出由G(y)F(x)C所确定的隐函数y(x)或x(y)G(y)F(x)C  y(x)或x(y)都是方程的通解 其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解

例1 求微分方程dy2xy的通解

dx

解

此方程为可分离变量方程 分离变量后得

1dy2xdx

y两边积分得

1dy2xdx

y3 高等数学C教案

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微分方程

即

ln|y|x2C1

从而

yex2C1eC1ex

2因为eC1仍是任意常数 把它记作C 便得所给方程的通解

yCex

例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t0时铀的含量为M0 求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律

解 铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数

2dM

dt

由于铀的衰变速度与其含量成正比 故得微分方程

dMM

dtdM0

dt其中(>0)是常数 前的曲面号表示当t增加时M单调减少 即由题意 初始条件为

M|t0M0

将方程分离变量得

两边积分 得

dMdt

MdM()dt

M即lnMtlnC 也即MCet

由初始条件 得M0Ce0C

所以铀含量M(t)随时间t变化的规律MM0et 

例3 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系

解

设降落伞下落速度为v(t) 降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数) 根据牛顿第二运动定律Fma 得函数v(t)应满足的方程为

m初始条件为

v|t00

方程分离变量 得

两边积分 得

dvmgkv

dtdvdt

mgkvmdvdt

mgkvm高等数学C教案

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微分方程

ln(mgkv)kC1ktmgemCe(C即v)

kk1ktC

m1将初始条件v|t00代入通解得Cmg

kktmg(1em)

于是降落伞下落速度与时间的函数关系为vk

例4 求微分方程

解 方程可化为 dy1xy2xy2的通解

dx

dy(1x)(1y2)

dx1dy(1x)dx

1y2分离变量得

两边积分得

1dy(1x)dx1x2xC

 即arctany1y22于是原方程的通解为ytan(x2xC)

例5 有高为1m的半球形容器 水从它的底部小孔流出 小孔横截面面积为1cm2 开始时容器内盛满了水 求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随时间t变化的规律

解 由水力学知道 水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算

Q12dV0.62S2gh

dt其中0 62为流量系数 S为孔口横截面面积 g为重力加速度 现在孔口横截面面积S1cm2 故

dV0.622gh 或dV0.622ghdt

dt

dVr2dh

另一方面 设在微小时间间隔[t tdt]内 水面高度由h降至hdh(dh0) 则又可得到

其中r是时刻t的水面半径 右端置负号是由于dh0而dV0的缘故 又因

r1002(100h)2200hh2

所以

dV(200hh2)dh

通过比较得到

0.622ghdt(200hh2)dh 高等数学C教案

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微分方程

这就是未知函数hh(t)应满足的微分方程

此外 开始时容器内的水是满的 所以未知函数hh(t)还应满足下列初始条件

h|t0100

将方程0.622ghdt(200hh2)dh分离变量后得

dt两端积分 得

t350.622g13(200h2h2)dh

0.622g13(200h2h2)dh

即 t(400h22h2)C

50.622g3其中C是任意常数

由初始条件得

t(400100221002)C

50.622gC35(400000200000)14105

350.622g0.622g15

因此t0.622g(7105353210h3h2)

上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h与时间t之间的函数关系 二、一阶线性微分方程

方程dyP(x)yQ(x)叫做一阶线性微分方程 dxdydyP(x)y0叫做对应于非齐次线性方程P(x)yQ(x)的齐次线性方程

dxdxdydyy1y0是齐次线性方程

dxx2dx如果Q(x)0  则方程称为齐次线性方程 否则方程称为非齐次线性方程

方程

提问：下列方程各是什么类型方程？

(1)(x2)

(2)3x25x5y0y3x25x  是非齐次线性方程

(3)yy cos xesin x  是非齐次线性方程

(4)dy10xy 不是线性方程 dx6 高等数学C教案

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微分方程

3(y1)2dydy3dxx0或

(5)(y1) 不是线性方程 x032dydxx(y1)dx21、齐次线性方程的解法

齐次线性方程dyP(x)y0是变量可分离方程 分离变量后得 dx

dyP(x)dx

y两边积分 得

ln|y|P(x)dxC1

P(x)dx(CeC1)

或

yCe这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）

例6 求方程(x2)dyy的通解

dxdydx

yx

2解

这是齐次线性方程 分离变量得

两边积分得

ln|y|ln|x2|lnC

方程的通解为

yC(x2)

非齐次线性方程的解法

将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x) 把

P(x)dx

yu(x)e

设想成非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得

P(x)dxP(x)dxP(x)dxu(x)eP(x)P(x)u(x)eQ(x)

u(x)e化简得u(x)Q(x)eP(x)dx

u(x)Q(x)eP(x)dxdxC

于是非齐次线性方程的通解为

P(x)dxP(x)dx

ye[Q(x)edxC]

P(x)dxP(x)dxP(x)dx或

yCeeQ(x)edx

高等数学C教案

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非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和

5dy2y(x1)2的通解

例7 求方程dxx

1解

这是一个非齐次线性方程

先求对应的齐次线性方程分离变量得

两边积分得

ln y2ln(x1)ln C

齐次线性方程的通解为

yC(x1)2

用常数变易法 把C换成u 即令yu(x1)2 代入所给非齐次线性方程 得

dy2y0的通解

dxx1dy2dx

yx12u(x1)2(x1)2

u(x1)2u(x1)x12

5两边积分 得

1u(x1)2 u(x1)2C

3再把上式代入yu(x1)2中 即得所求方程的通解为

y(x1)[(x1)2C]

3例8 有一个电路如图所示 其中电源电动势为EEmsint(Em、都是常数) 电阻R和电感L都是常量 求电流i(t)

解

由电学知道 当电流变化时 L上有感应电动势L

EL即

di 由回路电压定律得出 dtdiiR0

dtdiRiE

dtLL

把EEmsin t代入上式 得

初始条件为

diRiEmsin t

dtLL8 高等数学C教案

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i|t00

方程diRiEmsin t为非齐次线性方程 其中 dtLLER

P(t) Q(t)msin t

LLdtdtEP(t)dt[Q(t)edtC]eL(msin teLdtC)

LRR由通解公式 得

i(t)eP(t)dtRttEmReL(sinteLdtC)

LRtEm(Rsin t Lcos t)CeL

222RL其中C为任意常数

将初始条件i|t00代入通解 得C因此 所求函数i(t)为

t LEmREmLe(Rsin t Lcos t)

i(t)2R2L2R22L2 LEm

R22L2总结：

1、微分方程的相关概念

a、微分方程的阶

b、微分方程的通解与特解

2、可分离变量的微分方程

a、可分离变量的微分方程

b、可转化为可分离变量的微分方程

3、一阶线性微分方程

a、一阶线性齐次微分方程

b、一阶线性非齐次微分方程

c、常数变易法 教学后记：高等数学C教案

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作业：