平行四边形的面积教学研究_平行四边形的面积教学
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“平行四边形的面积”教学研究
——以数学活动经验的积累为视角
湖师附小教育集团 朱国平
内容摘要：平行四边形的面积一课，多数经典的教学案例都从“活动框架”的拉伸引发学生探究的欲望。然，这样的设计是否有缺陷？对于学生数学活动经验的积累是否能起到积极的作用？这都是值得商榷的问题。本文试图从数学活动经验积累这一视角来阐述我们的研究。关键词：平行四边形面积，数学活动经验，等积变形，转化思想
数学活动经验指是学生个体在经历数学活动的基础上获得的经验，是学生经历数学活动的过程与结果的有机统一体，既包括经历数学活动所获得的经验本身，也包括经历数学活动获得经验的过程。
2011版新课标将课程目标由“双基”变为“四基”。数学活动经验也被赋予了更加丰富的内涵，不再仅仅是数学知识的一部分；获得数学活动经验与理解数学知识、掌握数学技能、感悟数学思想方法并列，成为数学教育教学的一个更加直接的目标和追求，也使得数学活动经验成为数学课程与教学的核心概念之一。那么，对于一线教师而言，为学生提供怎样的活动素材，这种教学素材对于学生积累数学活动经验是否具有积极的意义？就是值得我们教师思考的问题。
一、经典教学案带来的思考——积累数学活动经验的缺失
“平行四边形的面积”人教版教材安排在五下《多边形的面积》单元。她作为起始课，即承载着本单元教学重点，即 “等积变形”这一转化思想，又承载着后续教学其他图形面积时这一思想应用的任务。因此，在本课的教学过程中，转化思想从隐性走向显性，并给学生一个明确的表征。对于本课的教学，无数的经典案例都试图阐述这一思想，主要有以下环节： 回顾长方形的面积计算方法。
拉伸框架，引发思考：平行四边形的面积改怎么计算？（如右图） “底×邻边”与“底×高”两种方法的思维碰撞。 借用数格子等方法验证“底×高”的合理性。……
然而，这样的教学设计从数学知识的本质和学生已有数学经验的角度思考，我们认为是有问题的。主要有以下三方面：
1.拉动变形是否在误导学生？——容易混淆“周长”与“面积”的概念
老师在拉伸框架的环节，经常会问“面积变了吗？”学生基本都会说不变。这是为何？其一，因为学生观察的框架以“框”为主体，是强刺激成份，而不是所围成面的大小，他们认为周长是没有变化的，面积自然不变。其二，因为受透视的影响。学生早就知道，一个平面由于观察角度的变化，观察到的平面形状也会随着变化，比如正方体的“非正面”是画成平行四边形的。学生头脑中已有的数学经验对于这个实验操作所需要达成的效果都是负迁移影响的。
2.四边形的不稳定性是否紧贴教学主题？——学生没有相关经验的积累
框架的拉动从一方面印证了四边形的不稳定性。从数学本质思考，四边形的不稳定性指四条边不同组合围成的四边形可以出现不同的形状。然，活动框架是可以拉伸的，但平面是不可能拉伸的。试想，一张纸也是否可以拉伸？（它同样是四边形）框架形状的改变带来所围成面形状的变化，这一过程绕来绕去，把学生绕糊涂了。学生更没有相关的数学经验。
3.本环节的教学价值何在？——“等积变形”转化思想经验的缺失
那么，这样的设计意图何在？无非是引发学生的学习兴趣和提供探究的载体。但学生在猜测过程中带来的是失败的体验，没有积累解决相关问题的数学活动经验。作为核心思想的“等积变形”在这一环节没有体现，拉伸框架属于“周长不变、面积变化”，转化思想属于“形状变化，面积不变”，如此设计甚至混淆了两者，对于后续的教学无积极意义。
我们认为：本课教学应从学生已有的数学经验和认知结构出发，分析学生目前的认知状态，尊重学生的认知规律；应重新解读教材，厘清编写的意图，而不是依据教师的主观意识解读教材；应以“等积变形”这一核心思想为教学的主线；应在图形面积的教学中注重学生数学活动经验的积累。
二、材料重组与教学实践——落实数学活动经验的积累
鉴于以上我们对教材和学生的认识，我们对教学素材进行了重组，试图从学生数学活动积累的层面改进教学设计。以下是我们的教学实践。
㈠优化活动过程，落实数学活动经验的积累
1.聚焦激活经验——利用“重叠”印证“等积变形”，打开推导的渠道
七巧板是学生学习生活中接触比较多的学具，七巧板在图形与几何教学中蕴含了很多教学资源。比如：认识图形，摆对称图形，图形的拼组等等。在本课的教学中利用七巧板中三个图形的拼组发现“形状不同、面积相等”，即“等积变形”，这也是本单元图形面积教学的核心理念。
1.1再认七巧板
⑴这三个图形的面积有什么关系？ ⑵怎么证明它们之间的面积关系？（重叠）1.2组合七巧板
⑴能用这三个图形拼出哪些我们学过的图形？
⑵指定一个图形，请你用这三块板拼一拼，依次要求拼：长方形、平行四边形、梯形和三角形。
黑板上贴出：
长方形
平行四边形
梯形
三角形
⑶只移动一块板，请你把三角形变成平行四边形，再移动一块板，变成长方形。⑷这四个图形有什么相同点和不同点？（面积相等、形状不同）
感性认识提升至理性认识，丰富直接数学活动经验。重温利用“重叠”印证面积相等，利用七巧板中三个图形的拼组引出“形状不同、面积相等”即“等积变形”。使学生对于“等积变形”的思想有深刻的体会，为后续的教学做足了铺垫。在这一环节中聚焦与激活了学生原有的知识经验，即图形的移动不会影响图形的面积，形状的改变不会改变图形的面积。通过对操作过程的总结使学生对此有理性的思考。
2.生成累积经验，利用“等积变形”猜想公式，初建公式的模型 2.1测量数据，计算面积
⑴画出图形的一周，拿去七巧板，设问：这些图形的面积究竟等于多少呢？你有办法吗？ 生测量正方形的边长再计算；计算长方形的面积。板书：16×8=128（平方厘米）⑵你们是怎么想到用这种两种方法的？
⑶如果要测量平行四边形的有关数据，怎么计算它的面积？ ⑷比较：“底×邻边”与“底×高”两种方法。2.2引发思考，猜想公式 ⑴同一个图形会有两个面积吗？ ⑵那你认为哪一种肯定是错误的？
生认为第一种方法是错误的，这四个图形“形状不同、面积相等”，平行四边形的面积应该等于128平方厘米。
板书：平行四边形的面积=底×高
⑶那平行四边形的面积真是这样计算吗？还有待研究，打个“？”。
从计算结果上直接排除“平行四边形的面积=斜边×高”的假设，研究方向变为“平行四边形的面积=底×高”的假设是否成立。相比数方格的论证，此环节更显简单，学生也容易接受，目标指向也更为明确。
3.总结提炼经验，借助“等积变形”验证公式，丰富公式的内涵 3.1割补法的两种论证
⑴师依次出示两个等底等高的平行四边形（底6cm、高4cm）⑵按照“底×高”的方法，它们的面积分别是多少？
⑶它们的面积都是24平方厘米，但形状不一样哦！怎么证明面积相等呢？拿出学具袋中的材料，试一试。
第一种方案：重合底边，再把相差的部分剪下来，移到另一边。第二种方案：两个图形都沿高剪开，都可以拼成长方形。
⑷这两种方法有什么相同点？
割补成形状一样的图形，利用了重叠印证等积变形，板书：转化 3.2割补法的择优论证
⑴出示很多形状的平行四边形（底6cm、高4cm）,如果要把它们全部重合在一起，哪种方法更方便?（生认为都变成投影上的平行四边形）
⑵请你剪一剪（生欲上讲台），你能在座位上完成吗？(不能的，我要照样子剪)⑶避免大家 “抢”这个平行四边形了（笑声），请你们在座位上完成，该怎么操作？ ⑷请你们试一试，四人小组内把长方形试着重叠起来。（一个小组展示在投影上）⑸全班的长方形都能重叠在上面吗？（能的）为什么呀？ 结论：因为转化后的长方形形状是唯一的。3.3割补图形的对比沟通
回顾研究的过程，师课件依次演示： ⑴从底开始，拉动底边形成平行四边形；
⑵两个等底等高的平行四边形转化成长方形并重叠； ⑶对比割补前后的图形。
思考：拼成的长方形和平行四边形有什么关系？（完成对推导过程的总结）
操作经验提升至思维经验，丰富学生的间接数学活动经验。等底等高的平行四边形有无数种形状，而转化为长方形后，形状就唯一了。在印证许多个 “等底等高不等斜边”的平行四边形面积相等的活动中，借助“如何证明这些形状不同的平行四边形面积相等”探讨割补法的应用。学生想到两种方法：一种是剪成完全一样的平行四边形，一种是剪拼成完全一样的长方形。进一步思考两种方法的操作难易程度，引出后者更具普遍性。在这一证明的过程中体验转化的数学思想，生成了新的经验，也在逐步积累转化的经验。
4.整合优化经验，“等积变形”整合公式，扩充公式的外延 4.1“三种图形”面积计算公式的整合练习1.利用字母公式计算下面图形的面积。（单位：厘米）
演示第一题的格式，生独立练习后两题 反馈时讨论：
a.长方形的面积可以用S=ah解决吗？ b.正方形的面积能用这个公式解决吗？ c.为什么长方形可以把两条邻边相乘，而平行四边形不可以？
总结：长方形的长和宽是互相垂直的，相当于底和高，而平行四边形的两条邻边不是互
相垂直的。
逐个出示下图，这样的平行四边形有无数个，长方形只是其中最特殊的一种。
4.2底与底边上的高的对应关系
练习2.下面（）平行四边形的面积一定是80平方厘米。
讨论1：为什么选C？（底和高互相垂直）
讨论2：图形A的面积会比80大还是小？（引导比较高与斜边的长度）讨论3：图形B如果以10为底，高画在哪里？
师：像这样互相垂直的一组底和高，称为对应的底和高。
局部知识提升为系统知识。长方形和正方形是特殊的平行四边形，特殊在前两者的高在“外”，平行四边形的高在“内”；特殊在可以用平行四边形面积公式解决前两者的面积计算。归纳它们的相同点：长与宽互相垂直、底和高互相垂直，在计算平行四边形面积时，是利用一组相对应的底和高。并再次否定“底×斜边”的想法，进一步夯实了公式的内涵，丰富了公式的外延。
㈡调整活动次序，落实数学活动经验的积累
“数格子”方法印证平行四边形面积公式有其独特的教学价值。其一，数格子方法属于直观几何，操作活动最易积累数学活动经验；其
二、数格子的方法是延续长方形面积公式的推导方式，学生很容易接受；其
三、数格子的应用有现成的学具，教师可充分利用。我们对此方法做了适当的调整，将其放最后教学，也取得了满意的结果。
练习3.下面的方格是面积为1平方厘米，平行四边形的面积是（）平方厘米。学生主要有以下方法：
a.剪下三角形拼到另一边，转化成长方形。b.数底和高的长度，直接用公式计算。c.数格子的数量。
教师引导学生对三种方法的评析。
此环节数格子功能真是一举多得：一是重新论证的公式的准确性；二是在动手操作中丰富学生测量面积的直观体验，加深对面积的认识；三是通过“数格子”与“数线段”的比较，明晰长度与面积的区别；四是引导学生主动应用转化思想。
㈢挖掘材料价值，落实数学活动经验的积累
1.“活动框架”的教具革新尝试—— “单层” 变为“多层”
前文探讨过“活动框架”对于新知的建构是没有积极作用的。那么，这一经典的素材是否可以通过改进，重新焕发她的生命和活力呢。我们做了如下的改进：
设计说明：
a.“活动框架”一般的做法是做“单层”的，即由四根小棒的组合，我们将之改成“多层”的，在演示的时候可以直观感受拉伸造成的“面的大小”的变化过程，丰富学生的感知。
b.直观材料优于电脑演示。如果在电脑上演示拉伸的变化效果，让学生体验面积的变化，这样的操作仍然是不可行的。因为学生还是以为是透视造成的视觉误差，而非图形的形状的变化，前文已述，这里不再赘述。
2.“活动框架”的教学价值开发——“引导材料”变为“探究材料”
鉴于对“活动框架”的改进设计，其教学价值的开发也变得容易多了。我们将此材料应用于新授课后的练习课。新授课围绕“等积变形”这一主线，练习课围绕“什么因素导致平行四边形面积的变化”为主线。这样的处理，分散了教学难点，也规避了两者的干扰。主要活动环节如下：
a.长方形框架围成的面的面积是多少？（涂上颜色）
b.拉伸框架，现在围成的面的面积是多少？（用同大小白纸贴上）c.继续拉伸会有什么变化？
d.拉伸为什么会引起围成面的面积变化？
e.什么时候围成的面的面积最大？为什么？（斜边大于垂直边）
三、数学活动经验在教学中的作用
在教学时，我们不仅仅是传承基础知识、形成基本技能，而是要让每一个学生积累必要的数学活动经验，数学活动经验已作为课程的显性载体，成为数学教学的直接目标。
1.数学活动经验是教学的直接目标
数学活动的设计意在诱发学生经历、体验活动的过程，促进学生在独立思考、自主探究的过程中真正理解和掌握相应的知识、技能与基本思想，同时获得相应的数学活动经验。值得注意的是，经历是为了体验，而体验不是目的，是为了获得直接的经验，如果不能将体验抽象、提炼为经验，那么这种经历、体验就丧失了应有的价值。在本课教学中，课伊始引入七巧板为材料，学生经历了“重叠”印证面积的关系，经历了同样的图形摆成的不同形状；体验到基本图形间不同的组合方式可以变换图形的形状。在此基础上学生获得了“等积变形”的直接经验，这种体验是深刻的，理解是充分的，其获得的经验是牢固的。
2.数学活动经验是学生获得知识的催化剂
数学活动经验作为学生直接或间接经历活动过程而获得的经验，它是学生获得对知识理解的重要载体，起到催化剂的作用。等底等高的平行四边形形状千变万化，依据面积的大小，可通过剪拼可实现所有图形的“重叠”，在探究该转化成什么图形便于“重叠”的思考中，引发了对“高”的思考，引发了对转化前后图形关系的思考，催化了对新知的思考。
3.数学活动经验是过程性目标的重要内容
作为新课程的知识与技能、过程与方法、情感态度价值观三维目标之一，“过程和方法”一直未能得到很好的落实，其重要原因是与知识、技能相比，这个目标没有“抓手”，不便在教学中的把握和评价。事实上，过程与方法目标实际上体现了新课程对于学生学科素养、学科能力的要求，而这些要求完全可以通过积累活动经验来完成。本课，学生在经历七巧板的组拼——平行四边形的面积怎么计算——怎么让平行四边形重叠起来——长方形与平行四边形的关系等诸多环节体现对过程价值的追求，丰富学生的经验积累，学生经历这样的研究过程，对转化思想有更深刻的领悟。
4.数学活动经验是依靠感性材料积累
选择优质的数学活动素材能为学生积累和形成经验提供最重要的前提。它有助于学生在经历与体验问题解决的过程中，进一步丰富和发展自己已有的数学活动经验，并掌握和领会进行数学活动的思想、策略和方法，形成具有个性特点的新的数学活动经验。对于其做数学和开展数学活动，建构新知识的心理意义和形成合理的数学认知结构都有这至关重要的作用。
主要参考文献
1.张奠宙、孔凡哲等 《小学数学研究》
2.孔凡哲、张胜利
《基本活动经验的类别与作用》 3.《义务教育数学课程标准2011年版》
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