“函数的单调性”教学案例分析初稿_函数单调性的教学案例

2020-02-29 其他范文下载本文

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“函数的单调性”教学案例分析初稿

江西省新余市第四中学刘金华

第Ⅰ部分：教学准备

一、教学分析：

（1）中学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高二利用导数为工具研究函数的单调性。高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为高二的学习奠定基础。（2）函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念。函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程。因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据。

（3）函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材。

二、重难点分析：

教学重点（1）函数单调性的概念；

（2）运用函数单调性的定义判断和证明一些函数的单调性。

教学难点利用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性。

三、学情分析：

本节课是一节概念课。函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一。另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达。

围绕以上两个难点，在本节课的处理上，我着重注意了以下几个问题： 1、重视学生的亲身体验。具体体现在两个方面：

① 将新知识与学生的已有知识建立了联系。如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识，学生对 “y 随 x 的增大而增大”的理解；

② 运用新知识尝试解决新问题。如：对函数的讨论。

在定义域上的单调性2、重视学生发现的过程。如：充分暴露学生将函数图象（形）的特征转化为函数值（数）的特征的思维过程；充分暴露在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程。

3、重视学生的动手实践过程。通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义。

4、重视课堂问题的设计。通过对问题的设计，引导学生解决问题。

四、文献检索：

1.《高中数学优秀教案》南方出版社任志鸿著 2.《教材完全解读》接力出版社王后雄著

第Ⅱ部分：教学设计

一、教学方式：

采用启发式、问题式、探究式相结合的教学法。

二、教学内容及教学过程：

（一）创设情境，引入课题

为了预测共和国 60 年国庆当天的天气情况，数学兴趣小组研究了 2000 年到 2008 年每年这一天的天气情况，下图是北京市今年 10 月 1 日一天 24 小时内气温随时间变化的曲线图。

引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考。问题：观察图形，能得到什么信息？

预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻；

(2)在某时刻的温度；

(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低。

教师指出：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的。

问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、降雨量、燃油价格、股票价格等。

归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小。

〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣。

（二）归纳探索，形成概念

对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，是函数的重要性质，称为函数的单调性，同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义。1.借助图象，直观感知

问题 1 ：分别作出函数

自变量变化时，函数值的变化规律？的图象，并且观察

预案：(1)函数，在整个定义域内 y 随 x 的增大而增大；函数，在整个定义域内 y 随 x 的增大而减小。(2)函数，在上 y 随 x 的增大而增大，在上 y 随 x 的增大而减小。

(3)函数增大而减小。，在上 y 随 x 的增大而减小，在上 y 随 x 的引导学生进行分类描述(增函数、减函数)，同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质。

问题 2 ：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数吗 ? 预案：如果函数说函数

在某个区间上随自变量 x 的增大，y 也越来越大，我们

在某个区间上随自变量 x 的在该区间上为增函数；如果函数

增大，y 越来越小，我们说函数在该区间上为减函数。

教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识。

〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识。2.抽象思维，形成概念问题 1 ：如图是函数区间为增函数和减函数吗？的图象, 能说出这个函数分别在哪个

学生的困难是难以确定分界点的确切位置。

通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究。

〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性。

问题 2 ：如何从解析式的角度说明在上为增函数？

预案：(1)在给定区间内取两个数，例如 2 和 3，因为 22

(2)仿(1)，取多组数值验证均满足，所以函数。

(3)任取, 即, 因为，所以

在在为增

上为增函数。

对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析 , 使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量。〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度, 完成对概念的第二次认识。事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习做好铺垫。问题 3 ：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗 ?

师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义。(1)板书定义(2)巩固概念判断题：

①。

②若函数。

③若函数在区间上为增函数。

和(2,3)上均为增函数，则函数在区间(1,3)④因为函数在区间上是减函数。

上都是减函数，所以在通过判断题，强调三点：

① 单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性。

② 有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)。③ 函数在定义域内的两个区间 A , B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数。

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数 ? 〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识。

（三）掌握证法，适当延展

例 1 证明函数 1.分析解决问题

在上是增函数。