复合函数的概念及复合函数的单调性_复合函数的单调性例讲

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复合函数的概念及复合函数的单调性

1．复合函数的概念

如果y是的函数，又是x的函数，即yf()，g(x)，那么y关于x的函数yf[g(x)]叫做函数yf()和g(x)的复合函数，其中是中间变量，自变量为x，函数值y。

例如：函数y()x1322x是由y()，x2x复合而成立。

221函数ylg(34xx)是由ylg，34xx复合而成立，、是中间变量。

2．复合函数单调性

一般地，定理：设函数g(x)在区间M上有意义，函数yf()在区间N上有意义，且当xM时，N

有以下四种情况：

（1）若g(x)在M上是增函数，yf()在N上是增函数，则yf[g(x)]在M上也是增函数；

（2）若g(x)在M上是增函数，yf()在N上是减函数，则yf[g(x)]在M上也是减函数；

（3）若g(x)在M上是减函数，yf()在N上是增函数，则yf[g(x)]在M上也是减函数；

（4）若g(x)在M上是减函数，yf()在N上是减函数，则yf[g(x)]在M上也是增函数。

即：同增异减

注意：内层函数g(x)的值域是外层函数yf()的定义域的子集。

例

1、讨论下列函数的单调性（注意：要求定义域）

（1）y()

解：

213x22x（2）ylg(34xx)

练习1：

1．求下列函数的单调区间。

（1）y

2（3）y

例

2、已知yf(x)，且lglgylg3xlg(3x)。

（1）求yf(x)的表达式及定义域；

（2）讨论yf(x)的单调性。

练习2 1．已知f(x)82xx，g(x)f(2x)，求g(x)的单调区间。

2．讨论函数yloga(x4x3)的单调性。2x25x2

（2）ylog1(x2x3)

22xx1（4）y(3xx)221222

练习题

1．若函数yf(x)的图象过点(0,1)，则yf(x4)的图象必过点（）

A．(4,1)

B．(1,4)C．(4,1)

D．(1,1)

2．函数ylog2x在区间,00,上（）2A.是奇函数，且在0,上是增函数 B.是偶函数，且在0,上是增函数 C.是奇函数，且在0,上是减函数 D.是偶函数，且在0,上是减函数

3．函数y166xx2(0x4)的最大值与最小值分别是（）

A．25，16 B．5，0 C．5，4 D．4，0 11x4．函数y321值域为（）

A．(,1)

B．(,1)

C．[,1)

D．[,)5．函数f(x)log1(6xx)的单调递增区间是()31313132A．[11,)

B．[,2)22x22(a1)x1C．(,)

D．(3,)

12126．函数f(x)2在区间[5,)上是增函数，则实数a的取值范围是()A.[6,+)

B.(6,)

C.(,6]

D.(,6)7．已知yloga(2ax)在0,1上是x的减函数，则a的取值范围是（）A.0,1

B.1,2

C.0,2

D.2,