第四节 线性方程组的解结构(讲稿) 216_线性方程组的解的结构

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第四节 线性方程组解的结构

教学目的：1.掌握齐次与非齐次线性方程组解的性质；掌握齐次与非齐次线性方程组解的结构.2.能正确运用解的性质与解的结构原理求出方程组的通解，证明相关问题.教学方法：讲授与指导练习相结合 教学过程：

一、齐次线性方程组解性质与解的结构 1.齐次线性方程组

a11x1a12x2a1nxn0,axaxax0,2112222nn(1)方程组 

am1x1am2x2amnxn0.(2)矩阵形式: Ax0

a11a12a1nx1aaax221222n其中: A,x.aaam2mnm1xn2.方程组的解集S(A)──Ax0的全体解组成的集合,即 S(A){|A0}.显然0S(A),故S(A)非空.3.性质

【性质1】若1,2是Ax0的解，则x12也是Ax0的解.【性质2】若是Ax0的解,c为常数c也是Ax0的解.4.方程组的基础解系──齐次线性方程组Ax0的解集S(A)的最大无关组称为该齐次线性方程组Ax0的基础解系.基础解系不一定惟一.但各个基础解析间是等价的.其中所含向量个数是确定的.5.【定理7】设R(Amn)rn,则n元齐次线性方程组Ax0解集S(A)的秩为RSnr.6.方程组Ax0的解结构──设R(Amn)rn，则Ax0有基础解系1,2,,nr；称c11c22cnrnr为方程组Ax0的通解，其中c1,c2,cnr为任意常数.Ax0解集为S(A){|c11c22cnrnr,c1,c2,cnr任意 常数}.例

1求下列齐次线性方程组的基础解系与通解

x1x2x3x40,2x15x23x32x40, 7x7x3xx0.1234111r22r11111532r37r10754

01410873123077541，7700023xxx,17374得最简同解方程组 

54xxx.27374R(A)24nAx0有两个自由未知量，取为x3,x4 1解 A27r32r21r2(7)0r1r20~~取x370x123，则【对应有,, 】 x407x2542 2354, 得基础解系:1, 72007x123x542那么通解为:c1c2，其中: c1,c2为任意常数.x370x0745177x31191若取 ,，则得基础解系1, 2.77x1141111因为1,2与1,2等价，所以通解形式虽然不一样，但都表示方程组的解.11111111rr31 另解： A253243107731r1(1)8620r22r1~r32r252014310rr25201r1r243101

00000000100x110, 1.取 ,，则得基础解系1423x20152~~3 Ax0的通解为xk11k22，其中k1,k2为任意常数.例2 求4元齐次线性方程组的一个基础解系与通解.3x12x24x42x50 x13x23x49x50

2x5xx7x0245103242000r(rr)2311339解 1339 32r22517r0115251810600005r35rr181112 106015r2r3r5523r31100000155x250取x2,x4，x4为自由未知量，令分别为,，则得

x4011865,0是原方程组的一个基础解系.11125011865c0(c,cR).通解为c121151201例3 求4元齐次线性方程组的一个基础解系

4x12x24x43x50 4x13x23x4x50

4x2x4x7x024514

2432r144243rr3r114 解：4331 ~0504044247r2r31r3404529r344243rr12r3~0910~0019

0101010131311100100r1444r1r2r2r3~0019~0101

00190101R(A)34n，取x5为自由未知量，314是原方程组的一个基础解系，所以 1364x131x42(cR).通解为cx436x45例4 若AmnBnl0,则R(A)R(B)n.证明 记B(b1,b2,,bl)，则AB0可化为Abi0(i1,2,,l)，从而B的列向量均为Ax0的解, 设S为Ax0的解集，由biS知 R(B)R(b1,b2,bl)RS 若R(Amn)rn,则Ax0只有0解,那么B0,于是

R(A)R(B)n0n；

若R(Amn)rn, 则RSnr,即R(B)nr, 故R(A)R(B)n.例5 设矩阵A为mn 型矩阵，并且RAn，B为n阶方阵，求证：如果AB=A，则B=E 证明：AB=A可化为ABE0

设BEc1,c2,cn其中ciRni1,2,,n 从而Aci0i1,2,n，则矩阵方程ABE0可化为Ac1,Ac2,Acn0 所以ci为齐次线性方程组Ax0的解向量i1,2,,n 又∵RAn,A为mn型矩阵，∴Ax0仅有零解ci=0i1,2,,n，从而 BE0

故B=E 证法二：AB=A可化为ABE0，且由RAn知A为列满 秩矩阵，从而ABE0BE0BE.提问：

1.设Ax0的系数矩阵A的秩等于其列数,则齐次线性方程组无解.(×)122．设A34234468，则线性方程组Ax0的基础解系中691281216只含有4个线性无关的解．（×）

3.v1,v2,v3为齐次线性方程组Ax0解,则v2v32v1为Ax0的解.（√）

114.已知x11,x22是方程组Ax0的一个基础解系，136 1010z1,z是方程组Bx0的一个基础解系，则下列12111Ax0（C）为方程组 的一个基础解系.By01122 A． 1,2,1,2 ； B.,,,；

1212121200，, C. ； D.,.001212

二、非齐次方程组解的结构 1.非齐次线性方程组(1)方程组

a11x1a12x2a1nxnb1,axaxaxb,2112222nn2 

am1x1am2x2amnxnbm.(2)矩阵形式: Axb（b0）

a11a12a1nx1b1aaaxb221222n2其中: A,x,b.aaaxm2mnm1nbm2.方程组的解集S(A,b)──Axb的全体解组成的集合,即

S(A,b){|Ab}.3.性质

【性质3】若1,2是Axb的解，则12是Ax0的解.证明: 1,2S(A,b)A1b,A2b

A(12)A1A2012S(A).【性质4】是Axb的解, 是Ax0的解，则是Axb的解.证明: S(A,b),S(A)Ab,A0

A()AAb0bS(A b).4.线性方程组Axb的解结构──设*为Axb的特解,又设

则Ax0有基础解系1,2,,nr,R(Amn)R(A,b)rn，且Axb的解集

S(A,b){|c11c22cnrnr*,c1,c2,cnr为任意常数},称c11c22cnrnr*为方程组Axb的通解.提问：

5.v1,v2,v3是非齐次线性方程组Axb的解，则v2v32v1是对应Ax0的解.（√）

6.8个未知数，6个方程的非齐次线性方程组Axb有解，且 R(A)R(A,b)4，则对应Ax0的基础解系中含有2个解．（×）

7.如果向量组1,2是线性方程组Ax0的一个基础解系,则向量组1122,212也是Ax0的一个基础解系.(√)

8.如果向量组1,2是线性方程组Ax0的一个基础解系,则向量组12162,2132也是Ax0的一个基础解系.(×)

例5 求解方程组：

x1x2x3x40,x1x2x33x41, xx2x3x1.234128 10110111112r13100121解(A b)112, 11200000312R(A)R(A,b)24，Axb有无穷解，取x2,x4为自由未

1xxx2412知量，得同解方程组：

1x2x34212x200*Axb令 得的特解为：, 1x0420x210分别取,得Ax0的基础解系为：

x40111101, 2, 0201x11112x1002cc故 为Axb的通解，x3102212010x4其中: c1,c2为任意常数.例6 设A为4×5矩阵的秩R(A)3，已知非齐次线性方程组Axb有解1,2,3,4，且11,2,3,4,5，T230,3,1,0,2，240,0,0,1,1，求Axb的通解.TT解 依题意知对应齐次方程组Ax0的基础解系中含有2个解，由线性方程组解的性质知121(23)2,1,5,8,8，T221(24)2,4,6,7,9为对应齐次方程组的解，且R(1,2)2，所以1,2为导出组Ax0的一个基础解系，故 Axb的通解为1c11c22(c1,c2R).例7设

T2l221a12,a25l,a34;b2.245ll1 问 l为何值时，向量b可以由向量组a1,a2,a3线性表示，在表达式惟一时，求其表达式.解

令A123，则

222202254112A2254r3r2452(1)202512249024 14c2c3(1)210(1)[(2)(9)8](1)2(10)1221r0R(A)R(A,)13,（1）当1时(A,)~0000000可由1，2，3线性表示且表示法不唯一.22120108r2~0110(2)当10时(A,)254245110001R(A)2R(A,)3,不可由1,2,3线性表示.（3）当10且1时，R(A)R(A,B)3，可由1，2，3惟一线性表示.1D122100254214512121-22113(1-)222110D2241206(1-)2 1511332D3221 254011012012 112211012(4)(1-)2 103DD1D364 ,x22,x33A10A10A10364123.表达式为 101010例8 为何值时,下面方程组有唯一解、无穷解、无解?

x1x2x31,x1x2x3, xxx2.231 x1解

111111rrr321(A ,b)11~1111222221① 若当202时, 1112r(A ,b)1212

0003R(A)23R(A, b)方程组无解.② 当2,由于

111rrr(A ,b)321122221~1200r3(2)12r1r31 0102r1r22111121100r1(1)2r2(1)1010

2r3r2r32001(1)2当1且2时R(A)R(A ,b)r3n, 方程组有 ~~唯一解,其解为

11(1)2x1,x2,x3；

2221111r⑶当10即1时,(A ,b)0000,0000由于R(A)R(A ,b)r13n,此时方程组有nR(A)2个自由未知量且同解方程组为x1x2x31, 所以,当1时,方程组有无穷解,其解为

x1c1c21,x1111 或 x2c11c200； x2c1,xc.010x233其中,c1,c2是任意常数.例9 设矩阵Aa1,a2,a3,a4，其中a2,a3,a4线性无关，a12a2a3，向量ba1a2a3a4，求方程组Axb的通解.解 依题意 R(A)R(a2,a3,a4)3，所以对应齐次方程组Ax0的基础解系中含有1个解向量.由a12a2a3知(1,2,1,0)T为Ax0的非零解，也是Ax0的一个基础解系；再由ba1a2a3a4知1(1,1,1,1)T为Axb的一个解； 故

方程组Axb的通解为c1(cR).例10 已知 R(Ann)n1，证明 R(A*)1.*证 因为R(Ann)n1，所以A0，且A0；从而R(A)1，***且AAAE0；由AAAE0A的列向量为方程组

*Ax0的解向量，所以R(A*)nR(A)1，故 R(A*)1.例11(07-08(一)期末考试)设A , B 都是n阶方阵, 且R(B)2.如果BA0,试证明 A的伴随矩阵A*为零矩阵.证明: 设A(1,2,,n),则BA0Bi0,(i1,2,,n)

i为Bx0的解向量A的列向量为Bx0的解, 由于R(B)2, 所以Bx0的解空间的秩RSnR(B)n2, 所以 R(A)RSn2n1.由伴随矩阵的定义知A*的元素由A的各个元素的代数余子式的值,所以 A*的元素全为零,故 A的伴随矩阵A*为零矩阵.另证:由矩阵的秩不等式知 R(B)R(A)nR(BA)0 又R(B)2,从而R(A)n2n1,所以A*的元素全为零，故

A 的伴随矩阵A*为零矩阵.小结：1.熟练掌握线性方程组的解性质与解结构.求解线性方程组时一般可以用初等变换法求解，但注意变换的基本技巧和要求；当未知数个数与方程个数相同时也可用克莱姆法则求解.2.对于线性方程组的证明问题应注意发现隐含条件，并合理地运用隐含条件以完成问题的证明.存在问题：不能灵活运用初等变换解方程组.不能灵活运用方程组相关性质转化条件.