关于判别式法与韦达定理的论述_根的判别式及韦达定理

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关于判别式法与韦达定理论述

weiqingsong

摘要：判别式法与韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，讨论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

关键词：判别式法韦达定理

在中学解题中判别式法与韦达定理的应用极其普遍，因此系统的研究一下利用判别式法与韦达定理解题是有必要的。别式法与韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。它们都有着广泛的应用在整个中学阶段。

一、韦达定理的由来

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。判别式法与韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

二、对判别式法的介绍及概括

一般的关于一元二次方程ax^2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b^2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

关于x的一元二次方程x^2+mx+n=0有两个相等的实数根，求符合条件的一组的实数值。这是应注意以下问题：如果说方程有实数根，即应当包括方程只有一个实根和有两个不等实根或有两个相等实根三种情况；如果方程不是一般形式，要化为一般形式，再确定a、b、c的值；使用判别式的前提是方程为一元二次方程，即二次项系数a≠0；当二次项系数含字母时，解题时要加以考虑。

判别式的主要应用有：不解方程就可以直接判定方程的根的情况；已知方程根的情况，确定方程中未知系数（或参数）的取值范围；判别或证明一元二次方程的根的性质；判别二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)能否在实数范围内分解因式(1)当△≥0 时，二次三项式在实数范围内能分解因式；（2）当△≤0 时，二次三项式在实数范围内不能分解因式。

三、某些利用别式法解题的例题

“判别式法”是我们解题时常用的方法，对初高中同学来说，在解题中常常用到，掌握它很有必要，下面举例说明它的作用。

1.求最值

例： 已知a2bab30，且a0，b0，试求实数a、b为何值时，ab

1取得最大值。

解：构造关于a的二次方程，应用“判别式法”。设aby

由已知得a2by30（2）

（3）（1）2ab由（1）（2）消去，对a整理得(y30)a2y0

22对于（3），由(y30)42y0，y68y9000，解得y50或

y18。由yab30，舍去y50，得y18。

2把y18代入（3）（注意此时0），得a12a360，即a6，从而

b3。

故当a6，b3时，ab取得最大值为18。

2.求参数的取值范围

例：对于函数f(x)，若存在x0R，使f(x0)x0成立，则称x0为f(x)的2f(x)ax(b1)xb1(a0)，不动点。已知函数对于任意实数b，函数f(x)

恒有两个相异的不动点，求a的取值范围。

解：对任意实数b，f(x)恒有两个相异的不动点对任意实数b,ax2(b1)xb1x恒有两个不等实根对任意实数b，ax2bxb10

2恒有两个不等实根对任意实数b,b4a(b1)0恒成立。

22b4a(b1)b4ab4a看作关于b的二次函数，可以将则对任意实

22b，b4ab4a0'(4a)44a0a(a1)0 数恒成立

0a1

故a的取值范围是(0，1)

四、对韦达定理的介绍及概括

韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。这里讲一元二次方程两根之间的关系。一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+ X2=-b/a，X1·X2=c/a.韦达定理（即根与系数的关系）虽然是初中数学的内容，但它的应用却贯穿于整个中学数学教学的始终，用它来解决一些数学问题非常简捷巧妙，简捷得使人惊叹，巧妙的令人叫绝，能激发学生的学习兴

2趣。有利于创造思维能力的培养。

五、某些利用韦达定理解题的例题

1.利用根与系数的关系求值

112例：若方程x3x10的两根为x1,x2，则x1x2的值为_____.x1x2b3c13,x1x21a1a1解：根据韦达定理得：

11x1x233x1x2x1x2

12.利用根与系数的关系构造新方程

理论：以两个数为根的一元二次方程是。例：解方程组

解：显然，x，y是方程z2-5z+6＝0 ① 的两根

由方程①解得 z1=2,z2=

3∴原方程组的解为 x1=2,y1=3

x2=3,y2=

2六、判别式法与韦达定理相结合的综合应用

例1.如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为

4的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积解：由题意，可设l的方程为y=x+m,其中－5＜m＜0由方yxm2程组y4x,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0①∵直线l线有两个不同交点M、N，∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)

设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,∴|MN|=42(1m)点

A到直线l的距离为∴S△=2(5+m)m,从而S△2=4(1－m)(5+m)2=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤

322m5m5m

32()3=128

∴S△≤82,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为

解法二由题意，可设l与x轴相交于B（m,0）, l的方程为x = y +m,其中0＜m＜5xym2y4x由方程组,消去x,得y 2－4 y －4m=0①∵直线l与抛物线有

两个不同交点M、N，∴方程①的判别式Δ=(－4)2+16m=16(1+m)＞0必成立,设M(x1,y1),N(x2,y2)则y 1+ y 2=4，y 1·y 2=－4m,11(5m)|y1y2|(5m2∴S△

=251(m)＝42

2∴S△≤851(m)(1m)22即m=1时取等号2,当且仅当

故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为

82y例2.已知抛物线4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N。求证：直线MN必过定点，并求出定点的坐标。

解：设直线AB的方程为yk(x1)（k0），则

4yk(x1)xx2Bk2x2(2k24)xk20Ak22y4xxAxB1，42yAyBxCxD24kyCyD4kk22M12,yAyB2xx1kkyCyD2，CD从而有。同理，有，N(12k,2k)。因此，直线MN的斜率2kMNk

1k2，从而直线MN的方程为

y2kkk2(x12k)y(x3)21k21k，即。显然，直线MN必过定点(3,0)； 参考文献：①《浅谈“判别式法”的作用》作者：徐国锋、袁玉凤

②《 2008年安徽省安庆一中高考模拟试卷》

③《 2009年乌鲁木齐地区高三年级第二次诊断性测验试卷》