泛函分析教学大纲_泛函分析复习重点

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课号：218.116.1

泛 函 分 析 教 学 大 纲

(Functional Analysis)

学分数 3 周学时 4

一.说明

1.课程名称: 泛函分析(一学期课程)，第五学期(3+1)*18=72.2.教学目的和要求:

(1)课程性质: 本课程是数学系专业基础课, 为数学系本科三年级学生所必修。

(2)基本内容: 本课程主要内容: 度量空间中点集分析，赋范空间上算子与几何，内积空间中几何与算子，线性算子谱理论。

(3)基本要求: 通过本课程的学习, 学生应熟练掌握度量，范数，线性算子，内积，直交投影，谱等概念, 熟练掌握纲理论及有界线性算子的基本原理和线性泛函的延拓理论, 为今后学习打下坚实基础。

3.教学方式: 课堂授课。

4.考试方式: 考试。

5.教材: 《泛函分析》讲义，郭坤宇，徐胜芝编

参考书: 《实变函数与泛函分析》 夏道行等编, 高等教育出版社。

二.讲授纲要

第一章 度量空间中点集分析

1.1 度量空间(3学时)

1.2 度量拓扑(2学时)

1.3 数值函数(2学时)

1.4 紧~~~与极值(2学时)

1.5 贝尔纲论(3学时)

1.6 函数空间(2学时)

本章要求: 通过学习度量空间的基本点集理论, 读者应能熟悉紧集与其应用, 熟悉纲理论及其应用, 掌握映射的连续性与数值函数的上半连续与下半连续性及其特征.第二章 赋范空间上算子与几何

有界线性算子(3学时)

连续线性泛函(3学时)

弱收敛与共轭(2学时)

一致有界原理(2学时)

开映射与闭算子(3学时)

凸集与超平面(2学时)

本章要求: 通过学习有界线性算子的基本理论, 读者应能掌握线性泛函分析的基本原理:泛函延拓原理及其在分析与几何上的应用;一致有界原理及其应用;开映射原理与闭图像定理的应用等.第三章 内积空间上几何与算子

内积空间(2学时)

共轭算子(2学时)

投影算子(2学时)

基与维数(2学时)

赋范代数(2学时)

本章要求: 通过学习内积空间的几何, 掌握投影定理与投影算子的应用,直交基的确立及其应用.第四章 线性算子谱理论

正则点与谱点(3学时)

紧算子谱分析(3学时)

有界正规算子(2学时)

无界线性算子(2学时)

谱测度与积分(3学时)

指标理论初步(2学时)

本章要求: 通过学习线性算子谱理论, 读者应能计算一些典型线性算子如单向平移和乘法算子等的谱, 提高利用Gelfand谱理论分析谱的能力, 掌握正规算子谱分解及其应用, 能分析紧算子的谱并掌握Fredholm算子指标的应用.