一阶常系数线性差分方程_3常系数线性差分方程

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第十章

差分方程

§10.7 一阶常系数线性差分方程

教学目的与要求：掌握一阶常系数线性齐次差分方程的解法。了解一阶常系数线性非齐次差分方程的通解的结构。会求某些特殊的一阶常系数线性非齐次差分方程的特解与通解。

教学重点（难点）：一阶常系数线性齐次差分方程的解法。

一、一阶常系数的差分方程

一阶常系数的差分方程：

yx1pyxf(x)

(常数p≠0).二、一阶常系数齐次线性差分方程的求解

1.迭代法

yx1ayx0(a0为常数)

（1）

设y0为已知，由方程（）依次可得，1y1ay0，y2ay1a2y0，y3ay2a3y0，，yxayx1axy0。

容易验证，yxaxy0满足差分方程，令y0C为任意常数，于是差分方程（）的1通解为YxCax.例

1求差分方程3yx12yx0的通解.22解

事实上原方程是yx1yx0所以其通解为yxC(C为任意常数)..33x

2.特征根法

方程（）变形为1yx1ayx0(a0为常数)

根据x1x，可以看出yx的形式一定为某一指数函数.设yxx(0)，代入（）得1x1ax0，即a0，＝a，于是yxax是（）的一个解，1从而yxCax是（）的通解1.1的通解.例1 用特征根法求例1解：特征方程210，特征根1，差分方程的通解为YCx2.2例2 求3yxyx10满足y02的特解.三、一阶常系数非齐次的差分方程

xyx1pyxf(x)

(常数p≠0).（2）

当f(x)0，用待定系数法求其特解。

待定系数法假定待定的特解yx与f(x)的形式相同然后将它们代入差分方程.,求出待定系数即可求出特解．

1、f(x)Pn(x)(n次多项式), 则非齐次方程为

yx1ayx.pxn即yx1ayxpnx

设yx是它的解，代入上式得 yx1ayxpnx

由于pnx是多项式，因此yx也应该是多项式，且yx是n次多项式，yx是n1次多项式.若 p=1, 即 yx1yxPn(x), 那么yx可以是n+1次多项式.,相减时常数项和最高次数相被消去, 所以可以设yxx[b0b1xb2x2bnxn], 代入方程后,比较系数确定b0,b1,b2,,bn便得到一个特解.若 p≠1, 最高次数相不可能被消去, 所以可以设有特解yxb0b1xb2x2bnxn, 同样代入方程后,比较系数确定b0,b1,b2,,bn便得到一个特解..1a0

(1)1不是特征方程的根，即nn1令ybn xQn(x)b0xb1x1a0(2)1是特征方程的根，即综上讨论设yxxkQn(x)，k01不是特征方程的根

11是特征方程的根例3 求差分方程yx12yx3x2的通解.例4 求差分方程yx1yxx33x22x的通解.解：1是特征方程的根，这类方程可用另一种较简单的方式求解.3方程左边为yx，右边为x33x22xxx23x2 xx1x2x，xC.故yxx，方程的通解为yx43

42、f(x)pnx型 x方程2为 yx1ayxxpnx，201，设yxzxx，消去x，即得zx1azxpnx，于是yxxzx.例5

求差分方程

yx1+yx2x 的通解

解：特征方程10，特征根1，对应齐次方程通解YxC1

x1 所求方程的通解为： 设yx2xzx，原方程化为2zx1zx1 求得其特解为zx，31xyx2xC1.3例6 求yx1ayx2x的通解.P416 例

求差分方程

yx13yx72x 的通解.解

显然其齐次方程的通解为yxC3x(C为任意常数).设其特解为yxb2x, 所以有b2x13b2x72x, 从而得b=-7.因此,原方程的通解为yxC3x72x.小结：

1.一阶常系数齐次线性差分方程求通解（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）写出通解.2.一阶常系数非齐次线性差分方程求通解

f(x)pnx型，f(x)pnx型

x

练习

1.求下列差分方程的通解及特解．7(1)3yx3yx1x3x1,(2)yx15yx3(y0),3(3)yx1yx2x(y02),(4)yx14yx2x2x1(y01)答案：

x3133371.(1)yxA(1)x().3x()x;(2)yxA.5x,yx.5x;24344121153612(3)yx.2xA(1)x,yx.2x(1)x;(4)yxxx2A(4)x;

***1yxxx2(4)x.125255125