JA221分解原理_ja221分解原理

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计算方法（B）讲稿——第二版（2006.2.15）

第二讲§2.2 矩阵的三角分解及其在解方程组中的应用

2.1

矩阵A的LR分解

一、原理

初等矩阵:I(i,j),I(i(k)),I(j,i(k));I1(i,j)I(i,j),I1(i(k))I(i(1/k)),I1(j,i(k))I(j,i(k)).Frobenius(弗罗比尼乌斯(德),1849~1917)矩阵:1l21 F1l31ln11l21l31ln10000110010010, F20l320010ln2000100001010,, Fn100101000ln,n10000101001010l3210, , Fn1001ln201000ln,n1000ˆL单位下三角阵(练习题3)100;0100.0100011000 F11010,F21000100010l2111 结果: F11F21Fnl3211l31ln1ln2ln3 证明  F11II(2,1(l21))I(2,2(l31))I(n,1(ln1)),其中II(2,1(l21))的结果是I的第1列中(2,1)位置化为l21,II(2,1(l21))I(2,2(l31))的结果是II(2,1(l21))的(3,1)位置又化为了l31,,故F11的结果如上所列的矩阵形式.类似说明Fi1(i3,4,,n)的矩阵形式如上.111111 Fn2Fn1仅是将Fn1中(n2,n2)以下元素依次换为ln1,n1,ln1,n,,最后,.F1F2Fn1的1结果仅是将F21Fn1中(1,1)位置以下元素依次找成l21,l31,,ln1.故上式成立.end.A的LR分解: a11a 设A21an1a12a22an2a1nan,n1a2nai1ai2,记l(i2,3,,n);l(i3,,n);l.i1i2n,n1a11a22annann计算方法（B）讲稿——第二版（2006.2.15）再记PkI(k,s)(sk)第k行与第k行下面的第s行作一次行交换的初等矩阵.据上有*(Fn1Pn1)(F2P2)(F1P1)AR上三角阵(当A的(1,1)处为0时,用P1交换行,)或改写为(Fn1Pn1)(F2P2)F1(P2Pn1)(Pn1P2)P1AR,(Pk1Pk)I 令 L1(Fn1Pn1)(F2P2)F1(P2Pn1), PPn1P2P1, 则由Pk1Pk得L1的逆为单位下三角阵11 L(Pn1Pn2P3((P2F11P2)F21)P3Fn2Pn1)Fn1因为:P2F11的结果是将F11中第2行与第s(s2)行进行了交换,引起F11的第一列中第i,s(i,s1)两个元素交换位置,同时位于对应行的主对角线位置上的两个元素1也被交换,而(P2F11)P2的结果是P2又将P2F11的i,s列进行了交换,使那两个1又交换到主对角线上,故P2F11P2ˆF1(1)仍是Frobenius矩阵.但,P2F11第1列被交换的两个元素没有被交换过来,因此一般地F11F1(1),除非P2I.类似有P3((P2F11P2)F21)P3P3(F1(1)F21)P3,这里F1(1)F21的前列依次是F1(1)的第一列与F21的第二列构成的矩阵,而P3的左右作用仍保持其为原形状;,L是终为单位下三角矩阵.--end 从而有 PALR.此式右端的L不一定是前面“结果”中的L,因为可能经过了行交换.换句话说,如果A需经交换行才能得到如上的LR分解,则一般ALR(P1L是将L的行作交换,故此阵不一定是下三角阵,从而A(P1L)R不一定是三角分解).由上式可得:(1)若A非奇异,则经过适当的行交换,总可以分解成一个单位下三角阵L 和一个上三角阵R之积.(2)一般地,非奇异阵不经适当的行交换,不一定能作出上述三角分解.(3)若分解过程不需要行变换,即PkI(k1,2,,n1), 则直接得 ALR.此处L恰为前面“结果”中之L 称为A的LR分解也称为A的三角分解.11111

*(1)在不需要交换行的情况下可视PkI;在不需要化某列元素为零时可视FkI.(2)考虑行交换是因为在行初等变换过程中:(i)当(k,k)位置元素为零时,第k行需要与本列某非零元素所在行交换;(ii)当用选列主元法解线性方程组时常需要.因交换行仅相当于交换方程,不影响解.计算方法（B）讲稿——第二版（2006.2.15）结论: A 的三角分解不唯一.证 如设ALR,则对任何非奇异的对角阵D,有 A(LD(D1R)L1R1.1r12/r11r1n/r111r/r~2n22,Rrnn1为了说明唯一性,应对分解规格化.设A非奇异,且A有三角分解ALR,记r11 D则有 r22

~ ALDR,~称为A的一种LDR分解.在不发生混洧时常不改写上面的R.TH.A存在唯一LDR分解A的各阶顺序主子式均不为零(各阶主子阵非奇异).又可将分解改写为 A(LD)RCrout(克洛特)分解 AL(DR)Doolittle(杜里特尔)分解主要形式.矩阵A的Doolittle(杜里特尔)LR分解程序: 输入 矩阵Ann Step 1 对k1,2,,n-1做Step 2-3.Step 2 对ik1,,n做Step3 A[i,k]A[i,k]/A[k,k]因(k,k)位以下将被化为零故来存likA[i,k])Step 3 对jk1,,n因(k,k)位下被化为零且存了lik,故j从k1起 A[i,j]A[i,j]A[i,k]A[k,j] 输出 A紧凑格式的LR分解 或　L单位下三角矩阵, R上三角矩阵.二、A的LR分解举例

Ex.2-1-1对下列矩阵作LR分解:7811 A513.123 解 法1: 先用辅助矩阵进行分解likaik/aii(ik,k1,2,3)5 717178117811: A0337603376R, L5777771610600077117.12111

211计算方法（B）讲稿——第二版（2006.2.15）法2: 紧凑格式(“”运算并非初等变换意义):75 A7178117337657776101777181133765, L7771210117778113376 1,R0.77261001111 Ex.2-1-1对下列矩阵作LR分解:.318B := 412解

用紧凑格式作B的LR分解：

2757136 2366925-243815-425

364342-5215257-29-371535-2438 15-16 36432-5-23-27-29-193-19356-244-233-18，42-5215257-29-3715-37

5三、算法

1.矩阵A的LU分解(Doolittle(杜里特尔)分解)输入 矩阵Ann Step 1 对k1,2,,n-1做Step 2-3.Step 2 对ik1,,n做Step3 A[i,k]A[i,k]/A[k,k]因(k,k)位以下将被化为零故来存likA[i,k])Step 3 对jk1,,n因(k,k)位下被化为零且存了lik,故j从k1起 A[i,j]A[i,j]A[i,k]A[k,j] 输出 L,U.参阅Maple程序文件:Ex221LR,Ex221紧.程序参习题之后的内容.计算方法（B）讲稿——第二版（2006.2.15）练习题：

1.验证:I1(i,j)I(i,j),I1(i(k))I(i(1/k)),I1(j,i(k))I(j,i(k)).2.全部5阶Frobenius(弗罗比尼乌斯)矩阵为:1l21 F1l31l31l511l21 验证: F11l31l31l510000011000100100,F20l320l42001000010l520000101000010100,F210l320l42001000010l5201l32l42l52001l43l510001l5100010000100,,F400010001000010000100,,F4100010001001l32l42l52001l43l510001l51001001000000.01000,0100100l***0l54000.013.证明: 若记L1F4F3F2F1,则LF11F21F31F41.并举例说明,一般地1l21 Ll31l41l514.设A(aij)44,令lik010l210, L1l31l4101l51aik(1ki4),按上两题写出L1并验证L1A是一个上三角阵.akk2712485.用前面Ex211中的两个方法作矩阵A412510(03级)的LR分解.836611206.按紧凑格式编写A的LR分解的两个程序,一个输出每一列运算完的矩阵及L与R的合矩 阵,另一个分别直接输出L与R.,并利用这两个程序计算上题相应的结果.~~7.A的Doolittle与Crout分解均可用ALDR通过D与R相乘或L与D相乘来完成参考答案: 5.如下题。

6．利用Maple缉程，将A代入所要求的第一个程序分别得

4213236010285402115，3232010285402115，3232010245402111，3232010245011；

计算方法（B）讲稿——第二版（2006.2.15）将A代入第二个程序得L与R分别为1213012000140

400001，0230010205011。

附Ch2_2_1——Ex.2_2_1的Maple程序为:(1)紧凑格式（参Maple文件Ex2_1_1_紧.mws）：

> restart;

with(linalg):

Gau:=proc(A)

local k,i,j,l,n;

n:=vectdim(col(A,1));

for k from 1 to n-1 do

for i from k+1 to n do

A[i,k]:=A[i,k]/A[k,k];

for j from k+1 to n do

A[i,j]:=A[i,j]-A[i,k]*A[k,j];

od;

od;

print(A);

od;

print(A);

end:

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected > B:=matrix(3,3,[7,8,11,5,1,-3,1,2,3]):

> Gau(B);# 消第一、第二列元所得阵及紧凑格式的结果

757178-3376711-767107757178-337-21111-767-611757178-337-21111-767 -611> matrix([[7, 8, 11], [5/7,-33/7,-76/7], [1/7,-2/11,-6/11]])#选上面最后一个矩阵，选复制（或选中后拖到此处），可得这个转化过来的矩阵(2)L,R分别给出—Ex.2_2_1_LR.mws > restart;

with(linalg):

计算方法（B）讲稿——第二版（2006.2.15）GauLR:=proc(A)

local k,i,j,l,n,L,R;

n:=vectdim(col(A,1));

L:=matrix(n,n,array(identity,1..n,1..n));

R:=array(sparse,1..n,1..n);

for k from 1 to n-1 do

for i from k+1 to n do

A[i,k]:=A[i,k]/A[k,k];

for j from k+1 to n do

A[i,j]:=A[i,j]-A[i,k]*A[k,j];

od;

od;

od;

for i from 1 to n do

for j from 1 to n do

if i>j then L[i,j]:=A[i,j];

elif i

fi;

od;

od;

L:=print(L);R:=print(R);

end:

> B:=matrix(3,3,[7,8,11,5,1,-3,1,2,3]): > GauLR(B);# L,R分别为

1571701-211001

7008-337011-767 -611> L:=matrix([[1, 0, 0], [5/7, 1, 0], [1/7,-2/11, 1]]):

> R:=matrix([[7, 8, 11], [0,-33/7,-76/7], [0, 0,-6/11]]): > evalm(L&*R);

751

81211-33