迈克尔逊非定域干涉图样的分析_迈克尔逊非定域干涉图

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2008大学生物理实验研究论文

迈克尔逊非定域干涉图样的分析

赵国平

（东南大学 机械工程学院，南京210096）

摘要： 解释迈克尔孙干涉实验中非定域干涉图样的成因，理论分析推导在两反射镜不严格垂直时干涉图样的方程，并通过Matlab软件数值模拟出非定域干涉可能出现的图像。关键词： 迈克尔孙实验；非定域干涉图样；Matlab模拟

Analysis of Michelson Non-Localized Interference

Zhao Guo Ping

(School of Mechanical Engineering of Southeast University, Nanjing210096)

Abstract: Explained the cause of the Michelson Non-Localized Interference, analyzed the situation when two mirrors are not

strictly vertical from the theory, and through Matlab numerical simulation software to simulate the poible image.key words:Michelson interference experiment;non-localized interfering patterns;Matlab simulation

迈克尔孙干涉仪，设计精巧，原理简单，是许多现代干涉仪的原型，它不仅可用于精密测量长度，还可应用于测量介质的折射率，测定光谱的精细结构等。它的主要特点是：两相干光束分得很开；光程差的改变可以由移动一个反射镜（或在光路中加入另一种介质）得到。我们可以用迈克尔孙干涉仪做光的非定域干涉实验，以此来测定光的波长。但是实验教材中关于非定域干涉图样的形状及成因介绍的比较抽象，本文从理论的角度出发，分析、解释非定域干涉的现象，并给出实验中所得非定域干涉图样的数学方程，同时用Matlab软件仿真模拟出在实验中可能出现的所有图样的形状。

作者简介：赵国平（1989-），男，江苏淮安人，本科在读。

Email:zgppgz89@163.com实验回顾

在“用迈克尔孙干涉仪观察非定域干涉图样”

实验中，激光束经短焦距凸透镜扩束后得到点光源S，它发出的球面波经G1反

图1点光源产生非定域干涉光路图 ’

射可等效为是由虚光源S发出的（如图1）。S’发出的光再经M1和M2’的反射又等效为由虚光源S1和S2发出的两列球面波，这两列球面波在它们相遇的空间内产生干涉，从而形成非定域干涉图样。

下面我们利用图1作为原理图进行理论计算。

当M1和M2’绝对平行时有

(1)为S1和S2发出的球面波在屏上任一点P（对

应于入射角为）的光程差。

当Zd且在很小时(1)式可简化为

2dcos(2)

由式(2)可知，在d确定时，由唯一确定，即对应同一个，值不变。因此，我们能够在屏上看到同心干涉圆环纹。问题提出

在实际实验中，当我们将M2’逐渐靠近M1时发

现看到的干涉条纹由原来的比较接近圆的情况变得越来越接近椭圆。后来经调节仪器发现是M2’和M1不平行所致。因此我便想通过理论计算当M2’和M1不平行时干涉条纹的形状来解释实验中的现象。问题分析

当M2’和M1不平行时，首先为简化问题，设M2’和M1成角且M2’和M1都垂直与水平面。此时，以O点为坐标原点建立三维坐标系（如图2）。XOY平面为观察屏所在平面，其平行于M1所在平面；Z轴垂直于M1平面。

图2两镜不完全平行时的非定域干涉光路图

2008大学生物理实验研究论文

3.1光程差解析式的理论推导 此时，光程差为

S1PS2P

设S’坐标为0,0l,，M2’的方程为ztany h,M1的方程为zhd，为使计算结果较为简单，令ktan ；

则有，S1的坐标为0,0,2d2hl，S2的坐

标为2k(hl)2(k20,k21,lh)k

21l。设点

P,x,y为0XOY平面内任意一点，则

S1P

x2

y2

2d2hl



(3)

12

2

S2

2khl2k2lh2

2Px

k21yk2

1l

(4)

因而

S1PS2P

x2

y2

2d2hl





122

x222khlk2lh2



k21yk2

1l(5)

令n，n0,1,2,3„，则有

nx2

y2

2d2hl





12

x22khl2y2k2lh2

k21k2

1l(6)



化简得

1222

2

x22khly2klhl

k21k2

1

x

y2

2d2hl



n0(7)

显然，这是一个二次曲线，猜测其图像应为圆、椭圆、抛物线和双曲线中的一种或几种。关于这个

猜想的详细证明，在一些书中有介绍，在此我就不作论述。下面我主要通过Matlab数值模拟来验证猜想。3.2Matlab数值模拟图像分析

以上已经推导出了光程差的解析式，下面通过Matlab软件对图像进行数值模拟。

为了便于讨论，并注意到实际情况：M1与光屏固定在可动导轨上、M2’与虚光源相对实验仪静止，即：若光屏相对实验仪移动距离为l，则d的变化量d与h的变化量h之间的关系为：

ldh(8)故令初始状态：

l30mm;d5mm;h300mm;

则当转动手轮，使光屏移动距离l时，式(7)

可简化为

2

2x2590k590k21yk215l



x

y2

605l

n(9)

由此可以看出图像的形状与k值即的大小以及l的大小密切相关。

首先令ktan0，即非定域干涉的理想情况，同时考虑到实际实验中光源并非理想点光源，且光波波长会有一定的抖动，故取光波波长

632nm，抖动范围为5%，用Matlab模拟出图像随l的变化情况：

图

30时模拟出的图像

图3.a

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图3.b

图3.a中四个切片图像是当l取不同值，即光屏位置l改变时，光屏上的干涉图样。图中所标注的X轴和Y轴分别对应图2中的X轴和Y轴。若取l30.00050mm，用Matlab模拟后则得到 图3.b，这和我们在实验中所看到的图像特性是一致的。

再令ktantan0.5，即在M1和M2’成0.5时的情况。用Matlab模拟后得如下图像

图4

0.5时模拟出的图像

图4.a

图

4.b

同样，其中图4.a中四个切片图像是当光屏取不同位置l时所模拟出在光屏上的非定域干涉图样。图中所标注的X轴和Y轴分别对应图2中的X轴和Y轴。若取l30.00025mm，用Matlab模拟

后则得到图4.b，显然，此时的干涉图样已经变为椭圆，与前面的猜想相吻合。

由图4.b可进一步猜想，图像有可能有随着x和y取值的变大而由椭圆渐变为抛物线和双曲线的趋势。为验证假想，取x和y在[-4000mm,4000mm]上变化，得如下图像：

图5图像的变化趋势

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观察图5，发现干涉条纹之间发生了相互重叠，这是由于计算机屏幕大小有限所导致，在实际试验中，只要光屏、两反射镜大小及角度合适，我们是可以看到双曲线的干涉图样的。

参考文献：

[1] 钱锋，潘人培.大学物理实验（修订版）[M].2005，高等教育出版社，2006.230-231.[2] 陈杰.MATLAB宝典[M].2007，电工电子出版社，2007.281-300.