《解析几何》讲稿_解析几何讲义

2020-02-29 其他范文下载本文

《解析几何》讲稿由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“解析几何讲义”。

第一章矢量与坐标

教学目的1、理解矢量的有关概念，掌握矢量线性运算的法则及其运算性质;

2、理解矢量的乘法运算的意义，熟悉它们的几何性质，并掌握它们的运算规律;

3、利用矢量建立坐标系概念，并给出矢量线性运算和乘法运算的坐标表示;

4、能熟练地进行矢量的各种运算，并能利用矢量来解决一些几何问题。

教学重点矢量的概念和矢量的数性积，矢性积，混合积。教学难点矢量数性积，矢性积与混合积的几何意义。

参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08 授课课时 10

§1.1

矢量的概念

教学目的1、理解矢量的有关概念;

2、掌握矢量间的关系。教学重点矢量的两个要素：摸与方向。教学难点矢量的相等参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08

授课课时 2

§1.1 矢量的概念

一、有关概念

1.矢量

既有大小又有方向的量叫做矢量，或称为向量，简称矢.而只有大小的量叫做数量，或称为标量.2.矢量的表示

用有向线段来表示矢量，有向线段的始点与终点分别叫做矢量的始点与终点，有向线段的方向表示矢量的方向，有向线段的长度代表矢量的大小.用3.矢量的模

矢量的大小称为矢量的模，亦称长度.用|

二、特殊矢量

1.零矢：模为零，方向不定.2.单位矢：模为1，与矢量方向相同.， ,„ 或黑体字a, x,„ 来记矢量.|，||，||，|a|，|x| , „ 来表示.三、矢量间的关系

1.平行矢：,所在直线平行,记作 //.2.相等矢：模相等，方向相同.3.自由矢：始点任意，只由模与方向确定的矢量.4.相反矢：模相等，方向相反.5.共线矢：平行于同一直线的一组矢量.6.共面矢：平行于同一平面的一组矢量.7.固定矢量: 在解析几何的大多数问题里，只有矢量的长度和方向发挥主要作用，而与它的起点无关，即为自由矢量.在个别情形下，有时我们只把有同一起点且相等的矢量才看作相等矢量，亦即两矢量完全重合时才看作相等，这样规定的矢量叫做固定矢量.需要注意，在应用科学中起点位置不同，所产生的作用也会不同，如图1-1，同样的力由于

作用点M1和M2的不同，效果也会不同.例1.设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：＝.当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？

证明：如图1-2，连结AC, 则在BAC中，KL向相同；在DAC中，NM且

AC.与方

AC.与方向相同，从而KL＝NM与方向相同，所以＝.由于上述证明不受ABCD是平面四边形或空间四边形的影响，即证明过程中并未用到ABCD必须是平面四边形的限制，故等式对空间情形也成立.例2.回答下列问题：

(1)若矢量//，//,则是否有//？(2)若矢量，共面，，也共面，则，是否也共面？

(3)若矢量，中//，则，是否共面？(4)若矢量，共线，在什么条件下，也共线？

解：(1)由//可知，,所在直线相互平行，同理,所在直线相互平行，从而,所在直线相互平行，从而有//；

(2)，不一定共面.只有当，，,不共面；,五矢量全部在同一平面上时，共面，否则(3)//，二矢量必共面，从而，必共面；(4)只有当ABDC组成平行四边形，即

作业题：

＝

时,才共线.1.设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量、、、、、、、、、和中，哪些矢量是相等的？、2.如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：

(1)、;、(2)、、;

(3);

(4)、.;

(5)矢量的线性运算(§1.2 矢量的加法、§1.3 矢量的数乘)教学目的1、掌握矢量加法的两个法则、数量与矢量的乘法概念及运算律;

2、能用矢量法证明有关几何命题。

教学重点矢量加法的平行四边形法则、数量与矢量的乘法概念教学难点运算律的证明、几何命题转化为矢量间的关系参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08

授课课时 2

§1.2 矢量的加法

一、概念

1.两个例子

物理学中的力与位移都是矢量.两个不共线的力作用于一点的合力，可用“平行四边形法则”求得，如图1-4, 两个力、的合力，就是以、为邻边的平行四边形OACB的对角线矢量

.两个位移的合成可以用“三角形法则”求出，如图1-5, 连续两次位移位移.2.矢量的加法法则

(1)三角形法则

设已知矢量、，以空间任意一点O为始点接连作矢量一折线OAB，从折线的端点O到另一端点B的矢量(2)平行四边形法则

如果以两个矢量量＝+叫做矢量与的和.、＝,＝得

与的结果, 相当于

＝，叫做两矢量与的和，记做＝+.为邻边组成一个平行四边形OACB，那么对角线矢

二、性质

1.运算规律

(1)交换律 +＝+;

(2)结合律(+)+＝+(+);(3)+＝;

(4)+(－)＝.2.矢量加法的多边形法则有限个矢量，„,相加，自任意点O开始，依次作

＝就是n个矢量

＝即

＝特别地, 当An与O重合时，＝3.矢量减法

＝.+

+„+

.＝, ＝,„,＝，得一折线OA1A2„An，于是矢量，„，的和

++„+(1)设矢量与的和等于矢量，即+＝，那么矢量叫做矢量与的差，记做＝－，由矢量与求它们的差－的运算叫做矢量减法.(2)减去一个矢量等于加上它的相反矢量，即有

－＝+(－)

4.三角不等式

(1)|+|≢||+||, |-|≣||-||;

证明：如图1-4, |+|=||，||+|| ＝|| +||，|-|=|根据“三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即得.第一个不等式还可以推广到任意有限多个矢量的情况：

(2)|++„+|≢|

|+|

|+„+|

|..|；

例1.从矢量方程组中解出矢量解：类似于二元一次方程组的解法有

例2.用矢量法证明平行四边形对角线互相平分.证明：如图1-6，在平行四边形ABCD中，取BD的中点O，则＝＋＝＋

＝

＋|＝|

＝，所以A, O, C三点共线，且|作业题：

|，从而平行四边形对角线互相平分.1.设两矢量与共线，试证+＝+.2.证明：四边形ABCD为平行四边形的充要条件是对任一点O有+＝＋.§1.3 数量乘矢量

一、概念

1.数乘的例子

位移、力、速度与加速度等都是矢量，而时间、质量、面积等都是数量，这些矢量与数量之间经常会发生某些结合的关系，如公式

＝m

其中表示力，表示加速度，m表示质量；再如公式

＝t

其中表示位移，表示速度，t表示时间.2.数乘的定义

实数与矢量的乘积是一个矢量，记做，它的模||＝||||；的方向，当>0时与相同，当

＝的充要条件是＝0或＝

.设≠，则＝||

二、性质 1.运算规律(1)

1＝.或＝

.(2)结合律

()＝().(3)第一分配律(+)＝+.(4)第二分配律

(+)＝+.证明：（1）由数乘定义，显然成立.（2）当＝或，中至少有一个为0时，显然成立；当≠，≠0时，(+)与+的模都等于||||||，而它们的方向，当与同号时，都与同方向，当与异号时，都与反方向，即(+)与+的方向相同，所以有

(+)＝+.（3）如果＝或，及+中至少有一个为0，等式显然成立.因此只须证明当≠，≠0，(+)≠0的情形：（ⅰ）如果＞0，显然(+)与+同向，且

∣(+)|＝| + | ||=（|  |+|  |）||=| | ||+| | ||=|  |+|  |=|+|，所以(+)＝+.（ⅱ）如果＜0，不妨设＞0，＜0；再看 +＞0，+＜0 的两种情形.下面只证明前一种情形，后一种情形同理可证.现假定＞0，＜0，+＞0.这时有（－）（+）＞0，根据（ⅰ）得

(+)+(－)＝﹝(+)+(－)﹞＝，所以

(+)＝－(－)＝+.（4）当=0或，中至少有一个为时，显然成立；因此只须证明当≠，≠，≠0的情形：（ⅰ）如果，共线，取m=此有

（，同向）或m=－

（，反向），则=m,因

(+)＝(m+)＝﹝(m+1)﹞=(m+)=(m)+ =(m)+=+.（ⅱ）如果，不共线，根据矢量加法的三角形法则即可证明(+)＝+.2.由矢量的加法与数乘矢量的运算规律可知，对于矢量也可以像实数及多项式那样去运算，例如

5(+2)－2(2－)＝5+10－4+2＝+1

2.3.由前节和本节，我们对矢量定义了两种运算：+和m(mR)，这两种运算满足： I-1.+＝+，I-2.(+)+＝+(+)，I-3.存在一个零矢量，满足+＝,I-4.每一个矢量都有相反矢量(－)，使+(－)＝;II-1.1＝, II-2.m(n)＝(mn), II-3.(m+n)＝m+n, II-4.m(+)＝m+m.如果仅从运算法则着眼，而不考虑矢量的具体含义，则凡是具有两种运算加法和数乘，并满足上述一系列运算规律的元素的集合，叫做实数域上的线性空间（亦称矢量空间或向量空间）.例1.如图1-7，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明

+分析：将证明：因为+

＝

4.分别看作△OAC与△OBD的中线.＝(＝+（）, +

+＝

+)),所以

2所以

+++＝4.例2.设点O是平面上正多边形A1A2„An的中心，证明:

+分析：如图1-8，每一矢量从而求解.证明：因为

＋＋

+„+

＝.倍数，都是其相邻两矢量的和矢量的某一

＝＝, , „„

+＋

＝＝, ,所以

2(＝(+++„++„+)),所以

(－2)(++„+)＝.显然

≠2, 即 －2≠0.所以

作业题： ++„+

＝.可以构1.设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量成一个三角形.2.设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明

+=++.3.用矢量法证明，四面体对棱中点的连线相交于一点且互相平分., , §1.4 矢量的线性关系与矢量的分解

教学目的1、理解矢量在直线和平面及空间的分解定理；

2、掌握矢量间的线性相关性及判断方法。教学重点矢量的三个分解定理及线性相关的判断。教学难点分解定理的证明参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08 授课课时 2

§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解

一、矢量的分解

1.线性运算: 矢量的加法和数与矢量的乘法统称为矢量的线性运算.2.线性组合: 由矢量做矢量，„，,„,与数量1，2，„，n所组成的矢量＝

1，„,+

2+„+n叫的线性组合.我们也说矢量可以用矢量线性表示，或者说，矢量可以分解成矢量，„,的线性组合.3.矢量在直线上的分解：

定理1 如果矢量，那么矢量与矢量共线的充要条件是可以用矢量线性表示，或者说是的线性组合，即＝x，且系数x被，唯一确定.称为用线性组合来表示共线矢量的基底.证明如果＝x成立，那么由数乘矢量的定义立刻知与共线.反过来，如果与非零矢量共线，那么一定存在实数x，使得＝x.显然，如果＝，那么＝0，即x=0.x的唯一性：如果＝x＝，而，所以 x＝.4.矢量在平面上的分解：定理2 如果矢量,，那么（x－＝

不共线，那么矢量与，共面的充要条件是可以用矢量

+y，且系数x, y被，线性唯一表示，或者说矢量可以分解成矢量确定.,的线性组合，即＝x, 称为平面上矢量的基底., 证明因为矢量么根据定理1有＝x始点O，并设交于A，B.因为则得

=+不共线，所以+y,.设与,共面，如果与(或)共线，那，其中y =0(或x=0)；如果与＝，都不共线，则把它们归结到共同的=，∥,（i=1，2），那么过的终点分别作OE2，OE1的平行线依次与OE1，OE2∥,那么根据定理1可设

= x，＝y，根据平行四边形法，即

＝x 反过来，设＝x如果xy≠0，那么x面.最后证明x, y被∥+y, y+y.(或，y)共线，则与,，如果x, y 有一个是零，那么与∥,根据平行四边形法则得与 x共面.,共面，因此与共, ,唯一确定.假设

＝x+y=

+ ，)

＝（y－）

＝, 那么

(x－如果x≠，那么

=－,即 ∥, 这与定理条件矛盾，所以x=

5.矢量在空间的分解：定理3 如果矢量，.同理y =,因此x, y被唯一确定.不共面，那么空间任意矢量可以由矢量的线性组合，即＝x+y+z, ,线性表示，或者，说矢量可以分解成矢量唯一确定., , , ,，且系数x, y, z被, 称为空间矢量的基底., , 证明

因为矢量如果与,，不共面，所以,≠（i=1，2，3），且被此不共线.(，之中的两个矢量

+y或

+0，)共面，那么根据定理2有

+z或＝0

+y+z).=，＝x如果与＝,，+0(＝x之中的任意两个矢量都不共面，则把它们归结到共同的始点O，并设（i=1，2，3），那么过的终点分别作三个平面分别与平面OE2E3，OE3E1，OE1E2平行，且分别与直、+、，为三棱，=为对角线的平行线OE1，OE2，OE3相交于A，B，C三点，从而作成了以六面体，于是得到：

=由定理1可设= x，= y，= z＝x下面证明x, y, z被，+，所以 +y+z., 唯一确定.假设＝x+y+z＝

+)，＝（y－）＝(z－)那么

(x－＝,如果

x≠，那么,＝－＝－有定理2可知因此x, y, z被

1.定义 , , 共面，这与定理条件矛盾，所以x=,.同理，y=，z=., , 唯一确定.二、矢量的线性关系

对于n(n≣1)个矢量, , „,，如果存在不全为零的n个数1, 2，„, n, 使得 

1+2+„+n,=, , „,线性无关是指，只有当1＝2＝„那么n个矢量, , „, ＝n＝0时，上式才成立.2.判断方法

叫做线性相关.矢量推论1 一个矢量线性相关的充要条件是=.证明：由矢量线性相关的定义即得.定理4 矢量组合.证明：设, , , „,(n≣2)线性相关的充要条件是其中有一个矢量是其余矢量的线性

+

2+„+n，即

=,且1, 2，„, n 不全为零，不, „, =－

线性相关，则1－,－„－, „, 妨设n ≠0，那么是其余矢量的线性组合.是其余矢量的线性组合，即， „, 反过来，设n个矢量=1+2+„+n-1，即1

中有一个矢量，不妨设

+2+„+(－1)=,且1, 2，„,(－1)不全为零,因此线性相关.定理5 如果一组矢量中的一部分矢量线性相关，那么这一组矢量就线性相关.证明：设一组矢量, , „,，„,(s≢r)中，有一部分矢量那么存在不全为零的n个数1, 2，„, s, 使得

1, , „, 线性相关，+2+0

+„+s+„+r=,=,且1, 2，„, s不全为零.即

1+2+„+s所以这一组矢量, , „,，„, 线性相关.推论2 一组矢量中如果含有零矢量，那么这组矢量必线性相关.证明：由推论1和定理5即得.根据矢量的分解定理和线性相关概念，可得如下定理：定理6 两矢量共线的充要条件是它们线性相关.定理7 三矢量共面的充要条件是它们线性相关.定理8 空间任何四个矢量总是线性相关.推论3 空间四个以上矢量总是线性相关.证明：由定理5和定理8即得.例1.设一直线上三点A, B, P满足＝

证明：如图1-11，因为

＝(－1),O是空间任意一点，求证：＝＝所以

(1+)所以－－－＝＝, , ＝(+.＝，＝，AT是角A的平分线（它与BC交于T点），试将

分－),，例2.在△ABC中，设解为,的线性组合.分析：如图1-12，利用三角形的角平分线定理.解：因为且与＝,方向相同，所以＝由上题结论有.＝＝.+

＝

.例3.用矢量法证明：P是△ABC重心的充要条件是分析：如图1-13，利用三角形重心的性质.证明：)若P为△ABC的重心，则

＝2+＋＝+,从而

－

=,即

=.)若+＋=, 则

＝－

＝,+取E，F，G分别为AB，BC，CA之中点，则有

＝，(＝2

+)..故P为△ABC的重心.+2，＝－

3+12

＋11

共面，其从而＝2.同理可证

＝2+2例4.证明三个矢量＝－, ＝4－6中能否用,线性表示？如能表示，写出线性表示关系式.证明：题中的矢量(－或(－+4－3v)由于, , , +3, +2

不共面，即它们线性无关.考虑表达式

++v＝，即)+（4－6

+2)+v(－3

＝.+12

＋11)＝,+(3－6＋12v)+(2+2＋11v)线性无关，故有解得

＝－10，＝－1，v＝2.由于

＝－100，所以能用,线性表示

＝－例5.如图1-14，, 三点共线的充要条件是+＝1.证明：有m－1, 使－(1+m)＝但已知＝＝

＋.＝+，试证A, B, C是三个两两不共线的矢量，且

//,)因为

A，B，C共线，从而有＝m＝m(＝＋m＋＋.由, －,.对,＝1.),分解的唯一性可得,＝从而

+＝+)设+＝1.则有

＝=－所以＋+(＝(＝＝－－,),), ＋(1－)从而 //.所以

A，B，C三点共线.例6.梅尼劳(MeneLaus)定理：如图1-15，A，B，C分别是△ABC三边BC，CA，AB上的定比分点，如果它们把△ABC的边分成定比

＝, ＝, v＝,那么A，B，C三点共线的充要条件是v＝－1.证明：由 ＝可知＝由第1题有 , , ＝＝, v＝,＝v, ,＝, ＝

＋

=, 从而

＝v所以

＝

＝(1+)＝v(, +, +),＝由上题结论知三点A，B，C共线的充要条件是

+化简即得

v＝－1.作业题：

1.在平行四边形ABCD中，(1)设对角线＝,＝，求, ＝

.＝1，, ，;,.,分解为,(2)设边BC和CD的中点为M和N，且2.在△ABC中，设＝,＝

＝,求, D、E是边BC的三等分点，将矢量的线性组合.3.用矢量法证明: 三角形三中线共点.4.设G是△ABC的重心，O是空间任意一点，试证

＝

（+).5．设＝(i＝1, 2, 3, 4)，试证P1, P2, P3, P4四点共面的充要条件是存在不全为零的实数i(i＝1, 2, 3, 4)使

1+2+3+4=, 且.§1.5 标架与坐标

教学目的1、能利用矢量建立坐标系概念；

2、理解点的坐标及矢量分量的表示方法；

3、掌握矢量线性运算及线段定比分点的坐标表示方法。

教学重点标架概念及点和矢量的坐标表示方法教学难点矢量的分量参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08 授课课时 1

§1.5 标架与坐标

一、空间坐标系

1.空间中的一个定点O，连同三个不共面的有序矢量记做{O;,}.如果，，, ,的全体，叫做空间中的一个标架，}叫做笛卡尔标架；，， }叫做

都是单位矢量，那么{O;两两相互垂直的笛卡尔标架叫做笛卡尔直角标架，简称直角标架；在一般情况下，{O;仿射标架.2.对于标架{O;，}，如果，间的相互关系和右手拇指、食指、中指相同，那么这个标架叫做右旋标架或称右手标架；如果, , 间的相互关系和左手的拇指、食指、中指相同，那么这个标架叫做左旋标架或称左手标架.如图1-16.3.表达式＝x+y+z中的x, y, z叫做矢量关于标架{O;记做{x, y, z}或{x, y, z}.4.对于取定了标架{O;架{O;z).，，}的空间中任意点P，矢量，，}的分量或称为坐标，关于标

叫做点P的径矢，径矢}的分量x, y, z叫做点P关于标架{O;}的坐标，记做P(x, y, z)或(x, y, 5.当空间取定标架{ O;, , }之后，空间全体矢量的集合或者全体点的集合与全体有序三数组x, y, z的集合具有一一对应的关系，这种一一对应的关系叫做空间矢量或点的一个坐标系.空间坐标系也常用{O;，}来表示，此时点O叫做坐标原点，, , 都叫做坐标矢量.6.由右(左)旋标架决定的坐标系叫做右(左)旋坐标系或右(左)手坐标系；仿射标架、笛卡尔标架与直角标架所确定的坐标系分别叫做仿射坐标系、笛卡尔坐标系与直角坐标系.二、平面坐标系

1.约定用{O;手直角坐标系.}表示直角坐标系，以后在讨论空间问题时所采用的坐标系，一般都是空间右2.过点O沿着三坐标矢量, , 的方向引三轴Ox, Oy, Oz,可以用这三条具有公共点O的不共面的轴Ox, Oy, Oz来表示空间坐标系，记做O—x y z，此时点O叫做空间坐标系的原点，三条轴Ox, Oy, Oz都叫做坐标轴，且依次叫做x轴，y轴和z轴，每两条坐标轴所决定的平面叫做坐标面，分别叫做xOy平面，yOz平面与

xOz平面.三坐标平面把空间划分为八个区域，每一个区域都叫做卦限.3.平面上一个定点O, 连同两个不共线的有序矢量{O;,}，如果, 都是单位矢量，那么{O;，的全体，叫做平面上的一个标架，记做

与

相互垂直的笛卡尔

}叫做笛卡尔标架；, 标架叫做笛卡尔直角标架，简称直角标架；在一般情况下，{O;}叫做仿射标架.4.对于标架{O;,}，将绕O旋转，使的方向以最近的路径旋转到与果旋转方向是逆时针的，则这种标架叫做右旋标架或称右手标架；如果旋转方的方向相合时，如

向是顺时针的，则这种标架叫做左旋标架或称左手标架.如图1-17.5.表达式＝x或{x, y}.＋y中的x, y叫做矢量关于标架{O;,}的平面上的任意点P，矢量，}的分量或称为坐标，记做{x, y}

关于标架6.对于取定了标架{O;{O;,叫做点P的径矢，径矢}的分量x, y叫做点P关于标架{O;}的坐标，记做P(x, y)或(x, y).7.当平面上取定标架{O;,}之后，平面上全体矢量的集合或者全体点的集合与全体有序数对x, y的集合具有一一对应的关系，这种一一对应的关系叫做平面上矢量或点的一个坐标系.平面坐标系也常用{O;,}来表示，此时点O叫做坐标原点，, 都叫做坐标矢量.8.由右(左)旋标架决定的坐标系叫做右(左)旋坐标系或右(左)手坐标系；仿射标架、笛卡尔标架与直角标架所确定的坐标系分别叫做仿射坐标系、笛卡尔坐标系与直角坐标系.15.约定用{O;,}表示直角坐标系, 在讨论平面问题时所采用的坐标系，一般都是平面右手直角坐标系.9.过点O沿着坐标矢量, 的方向引二轴Ox, Oy,可以用这二条具有公共点O的不共线的轴Ox，Oy来表示平面坐标系，记做O－x y，此时点O叫做平面坐标系的原点，Ox叫做x轴，Oy叫做y轴.两坐标轴把平面分成四个区域，每一个区域都叫做象限.三、直线坐标系 1.直线上一个定点O，连同直线上一个非零矢量的全体，叫做直线上的一个标架，记做{O;}，如果为单位矢量，那么{O;}叫做笛卡尔标架，在一般情况下，{O;}叫做仿射标架.2.表达式＝x中的x叫做矢量关于标架{O;}的分量或称为坐标，记做{x}或{x}.3.对于取定了标架{O;}的直线上任意点P，矢量x叫做点P关于标架{O;}的坐标，记做P(x)或(x).叫做点P的径矢，径矢

关于标架的分量4.当直线上取定标架{O;}之后，直线上全体矢量的集合或全体点的集合与全体实数x的集合具有一一对应的关系，这种一一对应的关系叫做直线上矢量或点的一个坐标系.直线上的坐标系也常用{O;}来表示，此时点O叫做坐标原点，叫做坐标矢量.5.由仿射标架与笛卡尔标架所确定的坐标系分别叫做仿射坐标系与笛卡尔坐标系.6.取定标架{O;}的直线，叫做坐标轴或简称为轴，原点为O，坐标写成x的轴记做Ox.例1.在空间直角坐标系{O;}下，求P(2,－3,－1)，M(a, b, c)关于(1)坐标平面；(2)坐标轴；(3)坐标原点的各个对称点的坐标.解：可按照“关于哪轴对称，哪轴不动，其余变号”的方法去考虑，有 M(a, b, c)关于xOy平面的对称点坐标为(a, b, －c)，M(a, b, c)关于yOz平面的对称点坐标为(－a, b, c)，M(a, b, c)关于xOz平面的对称点坐标为(a,－b, c)，M(a, b, c)关于x轴平面的对称点坐标为(a,－b,－c)，M(a, b, c)关于y轴的对称点的坐标为(－a, b,－c)，M(a, b, c)关于z轴的对称点的坐标为(－a,－b, c).类似考虑P(2,－3，－1)即可.例2.已知矢量, , 的分量如下：

(1)＝{0, －1, 2}，＝{0, 2, －4}，＝{1, 2, －1}；(2)＝{1, 2, 3}，＝{2, －1, 0}，＝{0, 5, 6}.试判别它们是否共面？能否将表成，的线性组合？若能表示，写出表示式.解:(1)因为 //，但

＝0,所以 , , 三矢量共面, 由于, 的对应坐标成比例，即，故不能将表成, 的线性组合.(2)因为＝0,所以 , , 三矢量共面.，故可以将表成, 的线性组合.由于 , 的对应坐标不成比例，即设＝+, 即

{0, 5, 6}＝{1, 2, 3}+{2, －1, 0} 从而

由此解得

＝2，＝－1,所以

＝2－.例3.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍.用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.证明：设四面体A1A2A3A4,Ai对面重心为Gi, 欲证AiGi交于一点(i＝1, 2, 3, 4).在AiGi上取一点Pi，使则

＝

3, 从而

＝，设Ai(xi, yi, zi)(i＝1, 2, 3, 4)，G1G2G3G4所以, ， ,P1(，)

P1(，).同理得P2P3P4P1，所以AiGi交于一点P，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三倍.作业题：

1.指出坐标满足下列条件的点(x, y, z)在空间的位置.(1)

x＝y；

(2)

y z

(3)

x y z

2.平行于z轴的矢量有什么特点？平行于x轴和y轴的矢量又分别有什么特点？

3.已知线段AB被点C(2, 0, 2)和D(5,－2, 0)三等分，试求这个线段两端点A与B的坐标.§1.6 矢量在轴上的射影

教学目的1、掌握射影与射影矢量的概念及矢量线性运算的射影表示；

2、理解矢量在轴上的的射影与坐标的关系。

教学重点矢量在轴上的射影与射影矢量的概念教学难点射影与射影矢量的关系参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08 授课课时 1

§1.6 矢量在轴上的射影

一、概念

1.已知空间的一点A与一轴l，通过A作垂直于轴l的平面，平面与轴l的交点A叫做点A在轴l上的射影.2.设矢量的始点A和终点B在轴l上的射影

叫做矢量

在轴l上分别为A和B，那么矢量的射影矢量，记作射影矢量l.如图1-18.3.如果在轴上取与轴方向相同的单位矢量，则有射影矢量l＝＝x，其中x叫做矢量，即＝x.与射影l分别写成射影矢量

与射影，且分别叫做矢量

在在轴l上的射影，记作：射影l射影l4.可以把射影矢量l矢量上的射影矢量与在上的射影，两者之间的关系是

射影矢量

＝(射影

＝,).＝, 把射线OA和OB构成的在0与5.设是两个非零矢量，自空间任意点O作之间的角，叫做矢量与的夹角，记做(,).按规定，若,同向，则(,)＝0；若,反向，则(,)＝；若，则0＜(,)＜.时，以矢6．在平面上，可以引进从矢量到矢量的有向角的概念，并记作(,)，当量扫过矢量,之间的夹角(,)旋转到与矢量同方向的位置时，如果旋转方向是逆时针的，则(,)＝(,)；如果旋转方向是顺时针的，则(,)＝－(,).当//

时，(,)＝(,).有向角的值，常可推广到 ≢－π 或 >π，这时我们认为相差2π整数倍的值代表同一角，对于有向角还有下面的等式(,)＝－(,)，(,)+(,)＝().二、性质

1．矢量在轴l上的射影等于矢量的模乘以轴与该矢量的夹角的余弦：

射影i＝|

|cos, ＝(l,).证明：如图，射影i=||=||cos.由矢量在轴l上的射影概念容易证得如下性质：

2．相等矢量在同一轴上的射影相等.3．对于任何矢量有

射影l(+)＝射影l+射影l.4．对于任何矢量与任意实数有

射影l()＝射影l.例题：试证明：射影l(+„+n射影l.证明：用数学归纳法来证.当n＝2时，有

射影l(12)＝射影l()+射影l(假设当n＝k时等式成立，即有射影l(射影l(＝射影l[(＝射影l（）+)+射影l()＝1射影l)

]))＝1射影l+2射影l.+„+n)＝1射影l+射影l

+„+k射影l.欲证当n＝k+1时亦然.事实上

＝1射影l+„+k射影l+k+1射影l 故等式对自然数n成立.作业题：

1.两非零矢量的夹角在空间和平面上分别是怎样定义的？取值范围如何？ 2.在射影的关系如何？，射影矢量

与射影, 射影矢量

中，若，＝－, 则它们相互间3.射影相等的两个矢量是否必相等？射影为0的矢量，是否必为？

§1.7 两矢量的数性积

教学目的1、掌握矢量的数性积概念及几何意义；

2、理解矢量的模、方向余弦和交角及数性积的坐标表示；

3、能证明有关的几何命题。

教学重点两矢量的数性积概念及几何意义教学难点根据数性积理论证明有关的命题参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08

授课课时 1

§1.7 两矢量的数性积

一、概念

1.数性积的例子.一个质点在力的作用下，经过位移

＝，则这个力所作的功为

W＝|其中＝(,)，功W是由矢量

|||cos

与按上式确定的一个数量.如图1-19.2.两个矢量与的模和它们夹角的余弦的乘积叫做矢量和的数性积(也称数积，内积，点积)，记做或，即

＝||||cos(,).二、性质

1.＝||射影＝||射影

..2.当为单位矢量时 ＝射影3.＝||＝22.4.两矢量和相互垂直的充要条件是＝0.5.矢量的数性积满足下面的运算规律(1)交换律 ＝.(2)关于数因子的结合律()＝()＝().(3)分配律(+)＝+.三、坐标运算 1.设＝{}, ＝{

}, 则 ＝

.＝, ＝，＝.2.设＝{X, Y, Z}，则

||＝3.空间两点P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)间的距离是

..4.矢量与坐标轴(或坐标矢量)所成的角叫做矢量的方向角，方向角的余弦叫做矢量的方向余弦.5.非零矢量＝{X, Y, Z}的方向余弦是

cos＝cos＝cos＝且

cos+cos+cos＝1，（其中的, , 分别为矢量与x轴，y轴，z轴的交角，即的三个方向角.）并有

6.设空间中两个非零矢量为{

}，＝{

＝{cos, cos, cos}.},那么它们夹角的余弦是 d＝

＝＝＝, ,.cos(,)＝7.矢量{}和＝{

＝

}相互垂直的充要条件是

.例1.在实数乘法中消去律成立，即ab＝ac时，则a=0或b＝c.这对矢量的数性积并不成立，举反例如下：

如图1-20，设有非零矢量及与其共面的两矢量和，使得其终点连线BC与OA垂直且交于M，则

＝||||cos(,)＝||OM, ＝||||cos(,)＝||OM,于是 ＝, 但显然.例2.在平面上如果证明: 因为 ,＋),，且

＝

(i=1,2)，则有＝.所以，对该平面上任意矢量＝(－)＝(－)(＝＝((－)+－

＋(－)

－)＝0,)+(故(－).由的任意性知－＝.从而＝.例3.用矢量法证明以下各题：

222(1)三角形的余弦定理 a＝b＋c－2bccosA;

(2)三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.证明：（1）如图1-21，△ABC中，设且||＝a，||＝b,||＝c.则＝－,＝(－)＝+－2＝+－2||||cosA.222此即

a＝b+c－2bccosA.(2)如图1-22，设AB, BC边的垂直平分线PD, PE相交于P, 2222

＝,＝,＝，D, E, F为AB, BC, CA的中点, 设＝－＝因为 , ＝－,＝, ＝

－,＝,＝

（＝, 则+)，(＋)., ,所以(+)(－)＝（2

－

2)＝0,(+)(－)＝从而有所以 2

（2

－

2)＝0,2

2＝2＝2

,即 ||＝||＝||,（2(＋)(－)＝－

2)＝0,所以 ,且 ||＝||＝||.故三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.作业题：

1.用矢量法证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形.2.证明－||||≢

≢|||

|.＝，=,＝，求

＋

＋.3.已知等边三角形ABC的边长为1，且4.(1)求两个共线矢量的数性积；(2)求两个单位矢量的数性积.§1.8 两矢量的矢性积

教学目的1、掌握矢量的矢性积概念及几何意义；

2、理解矢量矢性积的运算律及坐标表示；

3、会用顶点坐标计算三角形的面积。

教学重点两矢量矢性积概念及几何意义教学难点矢性积的几何意义参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08 授课课时 1

§1.8 两矢量的矢性积

一、概念

1.矢性积的例子

物理学中的力矩是一个矢量，它是两个矢量的矢性积，如图1-23，如果力则力矩

＝

.的作用点是A,，2.两矢量与的矢性积（也称矢积，外积，叉积）是一个矢量，记做或[]，它的模是

||＝||||sin(,),它的方向与,都垂直，并且按，这个顺序构成右手标架{O;，}.二、性质

定理1.两不共线矢量与的矢性积的模，在数值上等于以与为邻边所构成的平行四边形的面积.证明：如图1-24，平行四边形的面积S=|| h =||||sin(,)=||.定理2.两矢量与共线的充要条件是 ＝.证明：当与共线时，sin(,)=0，从而||=0，即＝；反过来，当＝时＝或＝或∥，而可以看成与任何矢量共线，所以总有∥.定理3.矢量的矢性积满足下面的运算规律：

(1)反交换律

＝－().(2)关于数因子的结合律

()＝()＝().(3)分配律

(+)＝＋.证明：只给出反交换律＝－()的证明，其余类似可证：

如果与共线，那么（）与()都是，显然成立.如果与不共线，那么

||＝||||sin(,)=||||sin(，)=||，而根据矢性积的定义（）与()共线且方向相反，从而＝－().推论.设, 为任意实数，有

()()＝()(), (+)＝+.三、坐标运算

1.如果＝{X1, Y1, Z1}，＝{X2, Y2, Z2}, 那么

＝++.或

＝.2.与中学代数里的方程一样，我们将含有未知矢量的等式叫做矢量方程.例如＝l，其中是已知矢量，是未知矢量，l是常数，这就是一个矢量方程.解矢量方程常用两种方法：其一是对方程实行各种向量运算来求出未知向量；其二是利用坐标化成代数方程再去求解.例1.证明()≢222

2，并说明在什么情形下等号成立.22

2证明：()＝||＝||||sin(,)

≢||||＝22



.，即当时，等号要使等号成立, 必须sin(,)＝1, 从而sin(,)＝1, 故(,)＝成立.例2.证明如果++＝，那么＝＝，并说明它的几何意义.证明：由++＝, 有(++)＝＝, 但 ＝，于是

+＝,所以 ＝.同理

由(++)＝, 有 ＝,从而 ＝＝.其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等.例3.如果非零矢量(i＝1,2,3)满足垂直的单位矢量，并且按这次序构成右手系.证明：由矢性积的定义易知,因为＝，||＝,|＝|

|||, ,，＝

，＝，那么，是彼此

彼此垂直，且构成右手系.下证它们均为单位矢量.所以 ||＝||,|所以 ||＝||||.|＝1，|22由于 ||0，从而 |同理可证 |

|＝1.|＝1，||＝1.从而，都是单位矢量.例4.用矢量方法证明：（1）三角形的正弦定理

＝＝.（2）三角形面积的海伦(Heron)公式，即三斜求积公式：

＝p(p－a)(p－b)(p－c).式中p＝(a+b+c)是三角形的半周长，为三角形的面积.＝，＝，＝，且||＝a，||＝b, ||证明(1)如图1-25，在△ABC中，设＝c, 则

++＝, 从而有 ＝＝,所以

||＝||＝||,bcsinA＝casinB＝absinC, 于是

＝＝.(2)同上题图，△ABC的面积为

＝所以

＝2

||,().22

22因为

()+()＝所以

＝2,[22－()].2由于

++＝,从而

+＝－，(＋)＝所以

2,(c－a－b),2

2＝(222－2

－

2)＝故有

＝＝＝＝[ab－222(c－a－b)]

222[2ab－(c－a－b)][2ab+(c－a－b)] [(a+b)－c][222－(a－b)]

2(a+b+c)(a+b－c)(c+a－b)(c－a＋b)＝2p(2p－2c)(2p－2b)(2p－2a).2所以

=p(pa)(pb)(pc), 或

=例5.试解方程组

., //,其中 ，l是已知数.解法一：化成坐标式得

a1x1+a2x2+a3x3=l，其中, , x2=，k0, 解得 , x3=，x1=再化成矢量式得解法二：由.得，代入

得，于是

k＝, 从而有作业题：.1.设, , 为三个两两不共线的矢量，且== ，则++=.2.设两非零矢量3.已知两非零矢量4.已知积.,，求k值，使两个向量k，求

与, 其中

和

＋k共线.共线的充要条件.＝5， , 求平行四边形ABCD的面

第二章轨迹与方程

教学目的1、理解曲面与空间曲线方程的意义；

2、掌握求轨迹方程（矢量式与坐标式参数方程及普通方程）的方法；

3、会判断已知方程所表示的轨迹名称。

教学重点曲面和空间曲线的方程求法

教学难点判断已知的参数方程或普通方程所表示的图形参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08 《解析几何》课程教案（第三章）

授课课时 4第二章

轨迹与方程

本章的目的是建立轨迹与其方程的对应，在空间或平面上取定标架之后，空间或平面上的点就与有序实数组(x, y, z)或(x, y)建立了一一对应关系，在此基础上，进一步建立作为点的轨迹的曲线、曲面与其方程之间的联系，把研究曲线与曲面的几何问题，归结为研究其方程的代数问题，进而为用代数的方法研究曲线和曲面创造了条件，奠定了基础.空间轨迹与平面轨迹相比要复杂得多，但它的方程的建立，以及对某些问题的处理，两者却非常相似.本章的知识结构为：

轨迹

方程

→ 方程

→ 轨迹

§2.1 平面曲线的方程

一、普通方程

1.平面上的曲线（包括直线），都可以看成具有某种特征性质的点的集合.曲线上点的特征性质，包含两方面的意思：(1)曲线上的点都具有这些性质；(2)具有这些性质的点都在曲线上.因此曲线上点的特征性质，也可以说成是点在曲线上的充要条件.2.当平面上取定了标架之后，如果一个方程F(x, y)= 0或 y =f(x)与一条曲线有着关系：(1)满足方程的(x, y)必是曲线上某一点的坐标；(2)曲线上任何一点的坐标(x, y)满足这个方程，那么这个方程F(x, y)= 0就叫做这条曲线的普通方程，而这条曲线叫做这个方程的图形.3.对于一条给定的曲线，要求出它的方程，实际上就是在给定的坐标系下，将这条曲线上的点的特征性质，用关于曲线上的点的两个坐标x, y的方程来表示.二、参数方程

1．曲线常可表现为一个动点运动的轨迹，但是运动的规律往往不是直接反映为动点的两个坐标x与y之间的关系，而是直接表现为动点的位置随着时间改变的规律.当动点按照某种规律运动时，与它对应的径矢也将随着时间t的不同而改变（模与方向的改变），这样的径矢，我们称它为变矢，记做

.，那么2.如果变数t(a≢t≢b)的每一个值对应于变矢的一个完全确定的值（模与方向）我们就说是变数t的矢性函数，记做

=,(a≢t≢b)

显然当t变化时，矢量的模与方向一般也随着改变.3.设平面上取定的标架为{O;,写为

其中x(t)，y(t)是

}，矢量就可用它的分量表示，这样矢性函数== x(t)+y(t),(a≢t≢b)，就可以的分量，它们分别是变数t的函数.4.若取t(a≢t≢b)的一切可能取的值，径矢的终点总在一条曲线上；反过来，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的径矢，而这径矢可由t 的某一值t0(a≢t0≢b)完全决定，则把 = x(t)+y(t),(a≢t≢b)

叫做曲线的矢量式参数方程，其中t为参数.如图2-1.5.因为曲线上点的径矢的分量为x(t), y(t)，所以曲线的参数方程也常写成下列形式

(a≢t≢b)

把这个表达式叫做曲线的坐标式参数方程.如能从上式中消去参数t（如果可能的话），那么就能得出曲线的普通方程F(x, y)=0.6.曲线的参数方程的表达形式不唯一.例1.有一长度为2a(a>0)的线段，它的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动，求此线段中点的轨迹.解法一：如图2-2，取 为参数，设线段中点为M(x, y)，于是A(2acos, 0)，B(0, 2asin,), 所以

x2+y2 = a2(x>0, y>0).)

解法二：如图2-3, 设线段为AB，其中点为P(x, y)，且设(,====(|(+|+|)|))=，则

[2acos()+2asin()]

= acos+asin,所以动点轨迹的坐标式参数方程为

(消去参数 得所求轨迹的一般方程为

x2+y2 = a2(x>0, y>0).例2.三角形ABC底边的两个端点为B(3, 0)，C(3, 0), 顶点A在直线7x5y35=0上移动，求这三角形重心的轨迹.解：设△ABC的重心为G(x, y)，顶点A为(x0, y0)，则有

x==x0, y==y0,从而

x0=3x , y0 =3y.而A(x0, y0)在直线7x5y35=0上, 故有

7x05y035=0 或 21x15y35=0.这是一条平行于已知直线7x5y35=0的直线.例3.一动点M到A(3, 0)的距离恒等于它到点B(6, 0)的距离的一半，求此动点M的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？

解：设M(x, y)，依题意有

2=,2222两边平方得：4((x3)+y)=(x+6)+y,2224(x6x+9)+3y(x+12x+36)=0, 223x+3y36x=0,22(x6)+y=36.此即为中心在(6, 0)，半径为6的圆.2例4.一动点到两定点距离的乘积等于定值m，求此动点的轨迹(此轨迹叫做卡西尼卵形线).解：设两定点为F1, F2，且|F1F2|=2c(c>0)，动点为M(x, y)，取直线F1F2为x轴，其中点为坐标原点建立坐标系，则F1=(c, 0), F2=(c, 0)，依题意有

2|MF1|  |MF2| =m,=m,化简得

(x+y) 2c(xy)= m c.222

442

作业题：

1．将下面平面曲线的参数方程化为普通方程：

（1）

－∞＜t＜+∞;

（2）

0≢t＜2;

（3）0≢t＜2.2.把下面平面曲线的普通方程化为参数方程： 2

（1）y= x

(2)

(3),（）;

§2.2 曲面的方程

一、普通方程

如果一个方程F(x, y, z)= 0或z=f(x, y)与一个曲面有着关系：(1)满足方程的(x, y, z)是曲面上点的坐标；(2)曲面上的任何一点的坐标(x, y, z)满足方程，则方程F(x, y, z)＝0叫做曲面的普通方程，而曲面叫做方程F(x, y, z)＝0的图形.二、参数方程

1．设在两个变数u, v的变动区域内定义了双参数矢函数

=(u, v)或

(u, v)=x(u, v)

+y(u, v)

+z(u, v),其中x(u, v), y(u, v), z(u, v)是变矢(u, v)的分量，它们都是变数u, v的函数，当u, v取遍变动区域的一切值时，径矢

=(u, v)=x(u, v)+y(u, v)+z(u, v)的终点M(x(u, v), y(u, v), z(u, v))所画成的轨迹，一般为一张曲面.2.如果取u, v(a≢u≢b, c≢v≢d)的一切可能取的值，径矢

(u, v)的终点M总在一个曲面上；反过来，在这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的径矢, 而这径矢可由u, v的值(a≢u≢b, c≢v≢d)通过

(u, v)=x(u, v)+y(u, v)+z(u, v)

完全决定，那么我们就把上式叫做曲面的矢量式参数方程，其中u, v为参数.3.径矢(u, v)的分量为{x(u, v), y(u, v), z(u, v)}，从而曲面的参数方程也常写成该表达式叫做曲面的坐标式参数方程.4.空间曲面参数方程的表达形式不唯一.例1.一动点移动时，与A(4, 0, 0)及xOy平面等距离，求该动点的轨迹方程.解：设动点为M(x, y, z)，依题意有

=|z|,两边平方化简得(x4)+y=0.例2.在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程：(1)到两定点距离之比等于常数的点的轨迹；(2)到两定点距离之和等于常数的点的轨迹；(3)到两定点距离之差等于常数的点的轨迹；

(4)到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹.解：(1)取两定点连线为x轴，两定点连线段中点为原点建立空间直角坐标系，设两定点为A(a, 0, 0)，B(a, 0, 0), 常数为m>0，再设动点M(x, y, z)，则依题意有

=m,2222222222222平方得

x + 2ax+a +y+z = mx 2amx +ma +my +mz,222222

2(m1)(x+y+z)2a(m+1)x+a(m1)=0.此即为所求动点的轨迹.222(2)设坐标系选取同(1)，两定点间距离为2c(c>0), 常数为2a(a>0)，且b=ac>0，从而两定点为A(c, 0, 0), B(c, 0, 0), 设动点为M(x, y, z)，依题意有 22

＋m移项

222 2

=2a， =2a 

2平方(x+c)+y+z=4a+(xc)+y+z4a化简

再平方化简

即

a=acx, 2222224222 a(xc)+ay+az=a+cx2acx,2222222222(ac)x+ay+az=a(ac),22222222

bx+ay+az=ab,2,从而

++=1.222(3)假设同(2)，但b=ca >0，依题意有

移项

=2a+,2

=2a,平方化简

a=cxa,2222222222再平方化简

(ca)x－ay－az=a(ca),22222222即

bxayaz=ab,从而

=1.(4)取定点为(0, 0, c)，定平面为xOy面，常数为m>0，设动点为M(x, y, z)，依题意有

＝m |z|, 22平方

x+y+z2cz+c = mz, 即有

22222 x+y+(1m)z2cz+c =0.例3.求中心在原点, 半径为r的球面的参数方程.解：如图2-4, 设M是球面上的任意一点，M在xOy坐标面上的射影为 P，设xOP =(0≢

=则

=(r)+（=++)+r，.这就是圆柱面的矢量式参数方程，它的坐标式参数方程为

其中0≢≢, ≢

消去参数得普通方程为

x2 + y2 + z2 = r2.例4.求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程.解：如图2-5, 设M是圆柱面上的任意一点，M在xOy坐标面上的射影为 P，设xOP =(0≢

=++，则

=(R)+（）+u.这就是圆柱面的矢量式参数方程，它的坐标式参数方程为

其中的  与u是参数，取值范围分别是0≢

x2+y2=R2.作业题：

1.求下列各球面的方程：

（1）中心（2，—1，3），半径为R=6；

（2）中心在原点，且经过点（6，—2，3）；

（3）一条直径的两个端点是（2，—3，5）与（4，1，—3）；（4）通过原点与（4，0，0），（1，3，0），（0，0，—4）.2.求下列球面的中心与半径：

（1）；

（2）；

（3）

.§2.3 母线平行于坐标轴的柱面方程

假设动点P(x, y, z)的坐标间的关系是不含变数z的方程F(x, y)=0,在空间坐标系中表示一个曲面，它所表示的曲面是由平行于z轴的直线沿xOy平面上一条曲线

L: F(x, y)＝0

移动而成，这样的曲面叫做柱面，曲线L叫做它的准线，形成柱面的动直线叫做它的母线，即方程F(x, y)=0决定一个母线平行于z轴的柱面.同理，方程F(y,z)=0与F(x, z)=0都表示柱面，它们的母线分别平行于x 轴和y轴.如上一节的例4，方程 x 2 + y 2= R 2 表示母线平行于z轴的柱面，准线L为xOy坐标面上的圆.例题

说出下列方程表示的图形名称：

（1），（2），（3）y=2p x.2解：（1）表示一个柱面，母线平行于z轴，准线为xOy坐标面上的椭圆，所以叫做椭圆柱面.（2）表示一个柱面，母线平行于z轴，准线为xOy坐标面上的双曲线，所以叫做双曲柱面.（3）表示一个柱面，母线平行于z轴，准线为xOy坐标面上的抛物线.所以叫做抛物柱面.作业题：

指出下列方程表示的轨迹名称，并画出图形：

（1）（2）（3）（4）；

.；；

§2.4 空间曲线的方程

一、普通方程

1.空间曲线，可以看成两个曲面的交线.设方程组

是这样的两个曲面方程，它们相交于曲线L.上述方程组表示一条空间曲线L的方程，我们称它为空间曲线的普通方程（一般方程）.2.由代数知识知道，任何方程组的解，也一定是与它等价的方程组的解，所以空间曲线L可以用不同形式的方程组表示.二、参数方程

1.在空间建立了坐标系后, 设矢函数内变动时，的径矢都可由t的某个值通过≢b)为参数.2.因为空间曲线上点的径矢

或

=x(t)+y(t)

+z(t)，当t在区间a≢t≢b的终点M(x(t), y(t), z(t))全部都在空间曲线L上；反过来，空间曲线L上的任意点

来表示, 则把它叫做空间曲线L的矢量式参数方程，其中t(a≢t的分量为{x(t), y(t), z(t)}，所以空间曲线的参数方程常写成(a≢t≢b)

此表达式叫做空间曲线的坐标式参数方程，其中t为参数.三、射影柱面

通过空间曲线L作柱面，使其母线平行于坐标轴Ox, Oy或Oz轴，设它们的方程分别为

F1(y, z)=0, F2(x, z)=0, F3(x, y)=0

这三个柱面分别叫做曲线L对yOz, xOz与xOy坐标面的射影柱面，因此由所表示的曲线L，可以用它对三个坐标面的任意两个射影柱面来表示.代数上从两个三元方程中消去一个元，其几何意义就是求空间曲线的射影柱面.例1.有一质点，沿着已知圆锥面的一条直母线, 自圆锥的顶点起，作等速直线运动，另一方面这一条母线在圆锥面上，过圆锥的顶点绕圆锥的轴（旋转轴）作等速的转动，这时质点在圆锥面上的轨迹叫做圆锥螺线.试建立圆锥螺线的方程.解：如图2-6，取圆锥顶点为原点，轴线为z轴建立坐标系，设圆锥角为2，从而=，旋转角速度为，直线速度为v，动点的初始位置在原点.设经)＝ t, |

|＝v t，时间t后动点到P点，过P作xOy面上的射影Q，则(从而有

(0≢t

例2.有两条互相直交的直线l1与l2，其中l1绕l2作螺旋运动，即l1一方面绕l2作等速转动，另一方面又沿着l2作等速直线运动，在运动中l1永远保持与l2直交，这样由l1所画出的曲面叫做螺旋面，试建立螺旋面的方程.解：如图2-7，取l2为z轴建立坐标系，并设l1在运动到某时刻t0时与x轴重合，令角速度为，直线速度为v，时间t取作参数.假定在时刻t时l1位置如图，P(x, y, z)为l1上任意点，其在xOy面上的射影为Q，在z轴上射影（l1与l2在此刻的交点）为R，则 || = vt，|

| =u.从而有

(

作业题：

1.平面与的公共点组成什么轨迹？

2.求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面方程：

（1）

（2）

3．指出下列曲面与三个坐标面的交线是什么曲线？（1）；

（2）；

（3）

.第三章平面与空间直线

教学目的1、深刻理解在空间直角坐标系下平面方程是一个关于x,y,z的三元一次方程；反过来任何一个关于x,y,z的三元一次方程都表示一个平面。直线可以看成两个平面的交线，它可以用两个相交平面的方程构成的方程组来表示；

2、掌握平面与空间直线的各种形式的方程，明确方程中常数（参数）的几何意义，能根据决定平面或决定直线的各种导出它们的方程，并熟悉平面方程的各种形式的互化与直线各种方程形式的互化；

3、能熟练地根据平面和直线的方程以及点的坐标判别有关点、平面、直线之间的位置关系与计算它们之间的距离和交角。

教学重点平面与空间直线的方程求法及点、平面、直线之间的相关位置教学难点平面与空间直线各种形式方程的互化

第三章

平面与空间直线

这一章是本课程的主要内容之一，我们将用代数的方法定量地研究空间最简单而又最基本的图形——平面与空间直线，建立它们各种形式的方程，导出空间的点、平面与空间直线之间位置关系的解析表达式，给出距离、夹角等计算公式.本章的知识结构为：

平面的方程

直线的方程