毕业论文线性空间的直和分解的若干方法（全文）_空间数据库毕业论文

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线性空间的直和分解及相关性质

张海诚 数学计算机科学学院

摘 要：线性空间直和分解问题在数学的许多领域有着广泛的应用。本文给出了线性空间V分解为它的线性变换的核Ker与象Im的直和的一个充分条件为为幂等变换，并且给出了线性空间在线性变换多项式下的直和分解定理以及线性变换的Jordan标准型与线性空间的直和分解的关系。此外，也探究了直和运算的相关性质及无穷维线性空间的直和分解问题。

关键词：线性变换；幂等变换；Jordan标准型；直和分解；直和运算

The straight sum decomposition of linear space and related

properties

Zhang Haicheng School of mathematics and computer science

Abstract:The theorem which is the straighe sum decomposition of linear space has been widely applied in many fileds of mathematics.In this paper,we have established a sufficient condition that linear space V is decomposed to the direct sum of Linear transformation kernel Ker and image Im,which is the idempotent transformation.Besides,A theorem which is the straight sum decomposition of linear space under a linear transformation polynomial is given,and the relate result is generalized.In addition,wo have also explored some related properties of the operations for direct sum,and the straight sum decomposition of infinite dimensional linear space.Key words:linear transformation;idempotent transformation;Jordan standard;straighe sum decomposition;straighe sum operation

线性空间写成其子空间直和的若干方法:

一.V分解为Ker与Im的直和的条件 1.问题的提出

设是数域F上线性空间V上的一个线性变换，在V是有限维向量空间的情形，我们有：的核Ker与的象Im的维数之和等于V的维数，即：

dim Ker+dim Im=dim V 这就提出这样一个问题：V能否分解为的核Ker与象Im的直和？ 虽然子空间Ker与Im的维数之和等于dim V，但是Ker+ Im并不一定是整个空间V。

例如，在线性空间Fxn中，求导数D的象Im（D= Fxn-1，D的核）=F.Ker（D）显然，F+Fxn-1Fxn,更不会有Fxn=FFxn-1成立.那么，满足什么条件，V能分解为Ker与Im的直和呢？

1.1V分解为Ker与Im的直和的条件 我们先证明一个引理.引理1.1.1 设是数域F上线性空间V上的一个线性变换，并且满足，则 Ker={ -（）：V}.2=（为幂等变换）证明 令W= { -（）：V}, 先证明Ker W.对任意的 Ker，有（）=，因此

=-=-（）W，即得Ker W.其次证明，W  Ker.对任意的 W，存在V，使得=-（）.2由于2=，则对任意的V，有（.）=（）2于是（）=（-（））=（）=.-（）即：（）=，可得：Ker（），因此W  Ker.综上所证，可得Ker=W，引理得证.由引理可得如下定理：

定理1 设是数域F上线性空间V的一个线性变换，并且满足2=，则有

V=Ker（）Im（）证明 由引理 Ker={ -（）：V}.则对任意的V，有=（-（））+（）.即：Ker（），所以V Ker+Im.+Im（）（）而显然有Ker+Im.（）（）V，于是V= Ker+Im

此外，对任意的 Ker Im，有：（）. Ker且Im（）由 Ker，得（）=;而Im，故存在V，使得=（）.（）2此时，=（）=（=（）=.）即：对任意的 Ker Im，有=.（）由此 Ker Im={}，因此V=Ker（）.（）Im（）

1.2上述定理，条件2=不是必要的.我们看下面的例子

例1 令F4表示数域F上四元列空间，取矩阵

 1-1 5-1 1 1-2 3 对任意的F4，令（）=A，则阵乘变换A=  3-1 8 1 1 3-9 7是一个线性变换，且的核Ker是以A为系数矩阵的四元齐次线性方程组的解空间.37T求解齐次线性方程组AX=，得一组基础解系3=（-1 0），22T4=（-1-2 0 1）.因此Ker=L（3，4）.而的象Im为A的列空间，可得Im=L（1，2）,这里

TT1=（1 1 3 1），2=（-1 1-1 3）.因为1，2，3，4线性无关，从而作成F4的一个基，故：

F4= Ker+ Im.并且有dim F4=dim Ker+dim Im，因此F4= Ker Im.T但此时，2.事实上，存在1=（1 0 0 0）F4，使得 TT2(1)A2(1)=，（1）=A1=，即：（14-1 27-16）（1 1 3 1）2(1)(1)，因此，2.所以，在定理中，条件2=不是必要的.定理1说明了线性空间V上的幂等变换能够使V= KerIm成立，即给V带来了直和分解.为幂等变换是V分解为Ker与 Im的直和的充分而不必要条件.然而，如果已知线性空间V的一个直和分解，则由该直和分解同样也可带来幂等变换.定理2 设V是数域F上的一个线性空间，U，W是V的两个子空间，且V=UW.任取V，设=1+2，其中1U，2W.令

u：VV，=1+21.则u是V上的一个线性变换，称u是平行于W在U上的投影，它满足u（）=

,当U，当W（1）且满足（1）式的V上的线性变换是唯一的.证明 由于V=UW，因此表示成U的一个向量与W的一个向量之和的方式唯一，12，从而u是V到V的一个映射。任取V中两个向量=1+2，其中

1、1U，

2、2W，则1+1U，2+2W.从而u（+）=u[（1+1）+（2+2）]=1+1=u（）+u（）.u（k）=u（k1+k2）=k1=ku（），kF.因此，u是V上的一个线性变换.如果U，则=+，从而u（）=； 如果W，则=+，从而u（）=.设V上的线性变换也满足（1）式，任取V，设=1+2,其中1U，2W.则（）=（1+2）=（1）+（2）=1+=1 =u（），因此，=u.类似地，定义w（）=2，则w也是V上的一个线性变换，称它为平行于U在W上的投影.系1 设V是数域F上的一个线性空间，U，W是V的两个子空间，且V=UW，则投影变换u、w均是V上的幂等变换，而且u与w是正交的.证明 任取V，设=1+2，1U，2W，则2u（）=u（u（））=u（1）=1=u（）；

uw（）=u（w（））=u（2）=；）=w（1）=;wu（）=w（u（）因此，2u=u，uw=wu=，类似有2w=w.以上定理说明线性空间V上的幂等变换与线性空间的直和分解有着密切的关系，我们有必要研究幂等变换的性质.系2 设是数域F上n维线性空间V上的线性变换，是幂等变换的充要条件是rank（）+rank（-）=n.二.线性空间在线性变换多项式下的直和分解

首先给出线性空间在一类线性变换多项式下的直和分解定理：

引理2.1 f(x)，g(x)Px，且(f(x),g(x))=1，是数域P上的n维线性空间V上的线性变换，f()g().则Im（f()）=Ker（g()），Ker（f()）=Im（g()）.证明 任取 Im（f()），则存在V使得：=f().所以g()=g()[f()]=f()g()==.从而 Ker（g()），即Im（f()）Ker（g()）.另一方面 因为（f(x)，g(x)）=1，所以存在u(x),v(x)Px，使得u(x)f(x)v(x)g(x)即：u()f()v()g().任意 Ker（g()），即g()=.所以=u()f()v()g()=u()f()=f()[u() Im（f()）.因此Ker（g()） Im（f()）.故：Im（f()）=Ker（g()）.同理可证Ker（f()）=Im（g()）.定理3（空间分解定理）设f()f1r1()f2r2()fsrs()，fi()(i1,2,,s)为不可约多项式且彼此不同，是数域P上的n维线性空间V上的线性变换，f().则

VV1V2Vs，其中Vi:firi(),V,(i1,2,,s).证明 分3步完成 1）令gi()f()(i1,2,,s)firi()则（gi(),firi()）=1，gi()firi()=f()=.所以Vigi()V=Im（gi()），(i,2,1,)s.2）又(g1(),g2(),,gs())1，则存在ui()P,(i1,2,,s)使得

u1()g1()u2()g2()us()gs()1.即：u1()g1()u2()g2()us()gs().任取V，则u1()g1()u2()g2()us()gs()=12s，其中iui()gi()=gi()[ui()Imgi()=Vi，(i1,2,,s).所以V=V1V2Vs.3）假设iVi= Im（gi()），(i1,2,,s)，1++s= 即iVi，firi()i=(i1,2,,s).又fjj()|gj()（ji，i,j1,2,,s)，则gi()j=（ji）.而gi()（1++s）=，所以gi()i=，(i1,2,,s).又（gi(),firi()）=1，所以有多项式r()，h()使得：

ih()firi()r()gi()1，即有：ih()rf()ir(gi)(i，ir(i1,2,,s)

故：VV1V2Vs.定理4 设线性变换的特征多项式为f()，它可以分解成一次因式的乘积：f()(1)r1(s)rs.则V可以分解成不变子空间的直和：VV1V2Vs，其中Vi:(i)ri,V.定理5 设是数域F上n维线性空间V上的线性变换，m()为的最小多项式，且m()=P其中Pi()为不可约因子且（Pi(),Pj()）=1（ji，1()P2()Ps()，()V，i,j1,2,,s).则VV1V2Vs，其中Vi:Pi(i1,2,,s).以上三个直和分解定理均是Hamilton-Cayley定理的重要应用.线性空间直和分解问题在数学、力学、物理学及许多领域有着广泛的应用.现在给出直和分解定理应用的例子.例2 考虑4维线性空间V=R4中由矩阵A决定的线性变换：=A,任意

 1 1-1 0 0 1 0 3V，的直和分解问题.其中A= 0 0 1 3. 2 0-1 2此时，线性变换的特征多项式为：f()det(EA)(1)2(235)它在实数域R上只有特征值11(二重，r12)，P()235在R上不可约.由直和分E)解定理，可以计算出V1:(A2T,V2 3 0 2L(2=（）1 2 2 0,-）1T,，）； 11=（TTV2:(A23A5E),V=L(3,4)，3=（0 0 0 1）,4（0 1 1 0）.容易验证1，234为V的一组基.显然V=R4为V1,V2的直和.三.线性变换的Jordan标准型与线性空间的直和分解

定理6 复数域上有限维线性空间的每一个线性变换都有Jordan标准型，并且这个Jordan标准型矩阵除去其中若尔当的排列次序外是被线性变换唯一决定的.Jordan标准型的求法：

1）首先用初等变换化特征矩阵E-A为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是A的全部初等因子.010ni（-0）对应一个若而当块Ji1.2）每一个初等因子

00niniJ13）(n1n2nsn)就是A的Jordan标准型.Js32282.例3 求复数域上下述矩阵的Jordan标准型 A=12143首先求E-A的初等因子：

2002310.E-A=182012014303)2100因此，A的初等因子是1，3)2，A的Jordan标准型为031.003定义1 ： V上线性变换的一个Jordan基是V的一个基，它使得在这个基下的矩阵为Jordan形矩阵.当我们已经求出的Jordan标准型J以后，为了求出的一个Jordan基，只要把原来的基到Jordan基的过渡矩阵P求出即可.由于J=P1AP，所以P是矩阵方程

AX=XP(*)的解并且应为可逆矩阵.如果dimV=n，则（*）是n2个未知量xij(i,j1,,n)的由n2个方程组成的线性方程组，解这个线性方程组，可求出X=（xij），选取可逆矩阵（因为的Jordan标准型存在，所以满足方程（*）的可逆矩阵一定存在），便可作为过渡矩阵P.例4 求例2的线性变换的一个Jordan基.（X1，X2，X3）解 设X=，由的Jordan标准型以及方程（*）得：

（X1，X2，X3）（=X1，3X2，X2+3X3），所以X1=X1，X2=3X2，X3=X2+3X3

由此看出，X1是的属于1的一个特征向量，解方程组（E-A）Y=，得TX1=（2，0，-1）.同理，X2是的属于3的一个特征向量，解方程组 T-1，2）（3E-A）Y=，得X2=（1，.再去解方程组（A-3E）Y=X2，-1 3 2 1 1 0-0.5-1T 1 5 2-1 0 1 0.5 0 .它的一个特解是Y0=（-1，0，0），-2-14-6 2 0 0 0 021-1T取X3=（-1，0，0），则X=0-10.容易看出X是可逆矩阵，它就可作为V

-120的原来的基1，2，3到的一个Jordan基1，2，3的过渡矩阵.所以：

21-1（1，2，3）（=1，2，3）0-10，即的一个Jordan基是：

-1201=21-3，2=1-2+23，3=-1.定理7 设是数域F上n维线性空间V上的线性变换，则V能分解成的一些非平凡不变子空间的直和当且仅当V中存在一个基，使得在此基下的矩阵为分A1块对角矩阵：.（2）AsV=W1W2Ws.证明 必要性.设V是的一些非平凡不变子空间的直和：在每个Wi(i1,2,,s)中取一个基i1iri，从（2）式得出：

111r1,,s1,,sri（3）是V的一个基.由于Wi是-子空间，因此

i1,,iri)i1,,iri)Ai,i1,2,,s.A1从而在（3）式给出的基下的矩阵为 .As 充分性.设在V的一个基 111r1,,s1,,sri 下的矩阵A=diag{A1,A2,,As}，其中Ai是ri级方阵，i1,2,,s.令

WiLi1,,iri),i1,2,,s.由于i1,,iri)i1,,iri)Ai,i1,2,,s.因此i1,,iriWi.从而Wi是-子空间，显然Wi是非平凡的，由于Wi的一个基i1,,iri当i1,2,,s时，合起来是V 一个基，因此V=W1+W2Ws是直和,从而

V=W1W2Ws.从定理7的证明中可以看出，（2）式给出的矩阵中，Ai就是|Wi在Wi的一个基i1,,iri下的矩阵，其中i1,2,,s.推论 设是复数域上n维线性空间V上的线性变换，i1,,iri，（i,2,1,s，r1r2rsn）是的一个Jordan基，则VV1V2Vs，其中ViL（1，i）iir，i1,2,,s.例5 设是复数域上线性空间V上的线性变换，1,2,3是V的一个基，在32282，求线性空间V的一个直和分解.这组基下的矩阵为A=12143100由例2知 A的Jordan标准型为031.003由例3知的一个Jordan基是：1=21-3，2=1-2+23，3=-1.则由推论，令

V1=L（21-3）-1），V2=L（1-2+23，.则V=V1V2.线性空间直和分解的若干性质：

1.维数

，Vs都是数域F上有限维线性空间V上的子空间，命题1.1 设V1，V2，V=V1V2Vs当且仅当

V=V1+V2Vs，dimV=dimV1+dimV2dimVs.2.向量表示

，Vs都是数域F上（有限维）线性空间V上的子空间，命题2.1设V1，V2，V=V1V2Vs当且仅当V=V1+V2Vs且零向量的表示法唯一.，Vs都是数域F上（有限维）线性空间V上的子空间，若命题2.2设V1，V2，子空间的和V=V1+V2Vs不是直和，则V的每个向量的表示法都不唯一.证明 设V中有向量表为1s(iVi)，且表法唯一.又设1s(iVi)，则得=+=11ss).但表示法唯一，故11=1，，ss=s.从而12s，即表示法唯一，所以V=V1+V2Vs是直和，与假设矛盾.因此，W中每个向量的表示法都不唯一.系3 上述命题表明，子空间的和V中只要有一个向量表示法唯一，就能保证其中所有向量都表示法唯一，从而必为直和.3.交

，Vs都是数域F上（有限维）线性空间V上的子空间，命题3.1设V1，V2，V=V1V2Vs当且仅当V=V1+V2Vs且ViVj(i1,2,,s).ji，Vs都是数域F上（有限维）线性空间V上的子空间，子命题 3.2 设V1，V2，V空间的和V=V1++Vi1)Vi,i2,,s.1+V2s是直和当且仅当(V（4）

证(1明V 由于

V1+i+1V1V+Vs故iV1iV+，+V：)+V)1iVi(+i1Vi+1VsV1i.因此，若V1+V2Vs是直和，则由命题3.1知，（4）式成立.反之，设（4）成立，但V1+V2Vs不是直和，则表示法不唯一，即存在不全为零的向量1,,s使1s(jVj).设i(1is)且

i1s，则由上得i1i1(V1++Vi1)Vi.这与（4）矛盾，故V1+V2Vs是直和.4.运算律

命题4.1 直和可以“代入”

若VV1V2且V1=V11V12，V2=V21V22，则VV11V12V21V22.及V1=V11V，=VV2V（V11V1）（V）证明

由VV1V212V221得2V2122（5）

显然VV11+V12+V21+V22.又若=11+12+2122(1iV1i2iV2i)，则

=(11+12)+(2122).于是由（5）得11+12=,2122.但是11+12V11V12,2122V21V22，故11122122.因此VV11V12V21V22.命题4.2 直和可以“加括号”

若VV1V2V3V4，则V(V1V2)(V3V4).证明1

V(V1V2)(V3V4)V，1V1显

V然

V.又

若

,其中2.（1iVi）,21314(1jVj)，则=11+121314.可设1=11+12但VV1V2V3V4是直和，故11121314.从而12.因此，V(V1V2)(V3V4).系4 由命题4.2知直和运算结合律成立，即(V1V2)V3V1(V2V3).无限维线性空间的直和分解

定义2：设B是数域F上线性空间V的一个非空子集，若B中任意有限个向量线性无关，且V中每个向量都可由B中有限个向量线性表示，则称B是V的基.定理8 设B1,B2分别是数域F上线性空间V的子空间V1与V2的一基，则V1+V2是直和当且仅当B1B2=且B1B2是V1+V2的基.证明 若V1+V2是直和，则V1V2=，从而B1B2=.又若k11kssl11ltt，其中i1jB2.则因为V1+V2是直和，故必有k11kss=l11ltt.但因为B1,B2是子空间的基，故k1==ks=l1==lt0.即B1B2中任意有限个向量均线性无关.再任取=1+2V1，其中+2ViVi，则由1可由B1中有限个向量线性表示，2可由B2中有限个向量线性表示，故可由B1B2中有限个向量线性表示.从而B1B2是V1+V2的基.反之，若B1B2=且B1B2是V1+V2的基，则任取V1V2，并令：

=k11kss=l11ltt，其中i1jB2，则k11kssl11ltt=.但因为B1B2=且B1B2是V1+V2的基，1,,s,1,,t线性无关，故k1ksl1lt=0.于是，V1V2=，故V1+V2是直和.参考文献

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