矩阵的特征值和特征向量、二次型_矩阵特征值和特征向量

矩阵的特征值和特征向量、二次型由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“矩阵特征值和特征向量”。

数工具软件教案

授课题目：矩阵的特征值和特征向量、二次型 授课时间：2012年2月28日、3月1日

教学目的与要求：学会用MATLAB软件求矩阵的特征值和特征向量；学会用MATLAB软件将二次型化为标准型；学会用MATLAB软件编程来判断二次型的正定性

教学重点与难点：用MATLAB软件求矩阵的特征值和特征向量；用MATLAB软件编程来判断二次型的正定性 教学方法：讲授法 教学手段：多媒体教学 讲授内容：

一、特征值与特征向量

矩阵A与向量x相乘，即表示矩阵对向量的变换(Transformation)。一般说来，向量在变换的作用下将发生旋转(Rotation)、反射(Reflection)和放大缩小。但对于任何一个矩阵来说，总存在那么一些特殊的向量，在对其变换的作用下，向量的方向不变，而仅长短发生变化。这种向量就是所谓的特征向量。

定义：设A是n阶方阵，是一个数。如果存在非零的列向量x，使得

Axx 成立，则称数为方阵A的特征值(Eigenvalue)，非零列向量x称为方阵A的属于特征值的特征向量(Eigenvector)，该方程称为特征方程(Eigenvalue Equation)。

A的全体特征值的和称为矩阵A的迹(Trace)。它等于A的主对角元素的和。

用Matlab计算特征值和特征向量的命令如下： d=eig(A)仅计算A的特征值(以向量形式d存放)[V,D]=eig(A)

其中：D为由特征值构成的对角阵，V为由特征向量作为列向量构成的矩阵。且使 AV=VD 成立 trace(A)计算矩阵A的迹

22254的特征值、特征向量和迹 例1：求方阵A2245解：>> A=[2 2-2;2 5-4;-2-4 5];>> [V D]=eig(A)>> trace(A)V =

-0.2981

0.8944

0.3333

-0.5963

-0.4472

0.6667

-0.7454

0

-0.6667 D =

1.0000

0

0

0

1.0000

0

0

0

10.0000 >> trace(A)ans =答：特征值为：121（二重），310。对应于特征值1,21的全部特征向量为：0.29810.8944k10.5963k20.4472其中k1,k2不能同时为零。对应于特征值310的全部特征0.745400.3333k0.6667向量为：3其中k3不能为零。矩阵A的迹为：tr(A)12 0.6667

二、矩阵的相似对角化

设A，B都是n阶方阵，若存在 n阶可逆矩阵P，使：BPAP，则称矩阵A，B1是相似的。

设A是n阶方阵，若A与对角矩阵相似，则称A可对角化。

定理1：n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。例2：判断下列方阵是否可对角化。若可对角化，求出可逆阵P，使PAP为对角阵。

1(1)604A350 ；(2)361010A120

111解(1)：

>> A=[4 6 0;-3-5 0;-3-6 1];>> [V D]=eig(A)V =

0

0.5774

-0.8944

0

-0.5774

0.4472

1.0000

-0.5774

0 D =

0

0

0

0

0

0>> rank(V)ans =答：A可对角化，且VAVD(2)：>> A=[0 1 0;-1 2 0;-1 1 1];>> [V D]=eig(A)V =

0

0.6325

0.4511

0

0.6325

0.4511

1.0000

0.4472

0.7701 D =

0

0

0

0

0

0>> rank(V)ans =答：A不可对角化。

定理2：方阵A可对角化的充分必要条件是它的几何重数等于代数重数。A的特征值的几何重数为方程组(IA)x0的解空间的维数；A的特征值的代数重数为作为特征根的重数。

下述函数可用来判断矩阵是否可对角化，若可对角化返回1，否则返回0。function y=trigle(A)%可对角化返回1，否则返回0。y=1;c=size(A);if c(1)~=c(2)

y=0;

return;end e=eig(A);n=length(A);1

while 1

if isempty(e)return;

end d=e(1);

f=sum(abs(e-d)

g=n-rank(A-d*eye(n));

if f~=g

y=0;

return;

end

e(find(abs(e-d)

y=0;

return end e=eig(A);n=length(A);while 1

if isempty(e)

%若为空阵则为真 return;

end d=e(1);

f=sum(abs(e-d)

%特征值d的代数重数

g=n-rank(A-d*eye(n));

%特征值d的几何重数

if f~=g

y=0;

return;

end

e(find(abs(e-d)

1

(1)4358A61213158224；(2)5211111111 A11111111解(1)：>> A=[4-3 1 2;5-8 5 4;6-12 8 5;1-3 2 2]； >> trigle(A)ans =

0 答：A不可对角化。

(2)：>> A=[1 1 1 1;1 1 –1 –1;1 –1 1 –1;1 –1 –1 1];>> trigle(A)ans =>> [P D]=eig(A)P =

-0.5000

0.2113

0.2887

0.7887

0.5000

0.7887

-0.2887

0.2113

0.5000

-0.5774

-0.2887

0.5774

0.5000

0

0.8660

0 D =

-2.0000

0

0

0

0

2.0000

0

0

0

0

2.0000

0

0

0

0

2.0000 答：A可对角化，且PAPD三、二次型化标准型

定义：二次齐次多项式f(x1,x2,,xn)a11x122a12x1x22a1nx1xna22x22a2nx2xnannxn1称为一个(n元)二次型。

若一个二次型只含平方项，不含交叉项，则称此二次型为标准型。

a11a21若令 aijaji,ij，则矩阵Aan1

a12a22an2a1na2n ann

称为上述二次型的矩阵。显然，二次型的矩阵是对称的。

13例4：判断矩阵A46B=A';if(A==B)

3795494165是否对称 10 解：A=[1 3 4 6;3 7 9 5;4 9 4 1;6 5 1 0];

fprintf('A是对称矩阵')else if(A==-B)

fprintf('A是反对称矩阵')

else

fprintf('A既不是对称矩阵，也不是反对称矩阵')

end end

n阶实方阵A称为正交矩阵，如果AAI。正交矩阵对应的线性变换称为正交变换。我们有以下结论：

实对称矩阵一定可以对角化，且对于实对称矩阵A，一定存在正交矩阵P，使PAP为对角形，且对角线上的元素为A的特征值，P的列向量为对应的特征向量。

即任意实二次型都可以通过正交变换化成标准型。

Matlab中二次型化成标准形的命令为：[ P , T ] = schur(A)，[ P , T ] = eig(A)。其中： A 二次型矩阵(即实对称矩阵)；T 为 A 的特征值所构成的对角形矩阵；P 为 T 对应的正交变换的正交矩阵；P 的列向量为 A的特征值所对应的特征向量。

2222例5：求一个正交变换，将二次型fx1x2x3x42x1x22x1x42x2x32x3x4化成标准形

11011110解：该二次型所对应的矩阵为A01111011>> A = [1 1 0 –1;1 1 –1 0;0 –1 1 1;-1 0 1 1];>> [ P , T ] = schur(A)[ P , T ] = eig(A)P =

-0.5000

0.7071

0.0000

0.5000

0.5000

-0.0000

0.7071

0.5000

0.5000

0.7071

0.0000

-0.5000

-0.5000

0

0.7071

-0.5000 T =

-1.0000

0

0

0

0

1.0000

0

0

0

0

1.0000

0

0

0

0

3.0000

2222答：所作的正交变换为：XPY。二次型的标准型为：fy1 y2y33y

4四、正定二次型的判定

定义1：实二次型f(x1,x2,,xn)称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数c1,c2,,cn，都有f(c1,c2,,cn)0。

AX是正定的。定义2：实对称矩阵A称为正定的，如果二次型X定理1：实二次型f(x1,x2,,xn)XAX为正定的充分必要条件是矩阵A的顺序主子式都大于零。

定理2：实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值都大于零。1.顺序主子式判断法

⑴

求二次型

F=X’AX 的矩阵 A 的各阶顺序主子式 Di(i=1,2,3…..);⑵

判断 Di 是否大于0.程序：建立函数文件 shxu.m function [C,M] =shxu(A)% C为A的各阶顺序主子式组成的向量 % M为判定向量: if C(i)>0, then M(i)=1;% others M(i)=0

n=size(A);

C=[ ];

M=[ ];

for

i=1:n(1)

A1=A([1:i],[1:i]);

D=det(A1);C=[C D];

if D>0

m=1;

else

m=0;

end

M=[M,m];

end

2、特征值判别法

⑴ 求二次型f(x1,x2,,xn)XAX的矩阵 A 的全部特征值i

⑵

判断i是否大于 0.程序：建立函数文件 tezh.m function [ T , M ] = tezh(A)

n=size(A);

T=(eig(A))’;

M=[ ];

for i =1:n(1)

if

T(i)>0

m=1;

else

m=0;

end

M=[M,m];

end 2222例6：判定二次型fx13x29x319x42x1x24x1x32x1x46x2x412x3x4是否正定

11120313解

二次型矩阵A 209613619方法一

顺序主子式

>>

A = [1 –1 2 1;-1 3 0 –3;2 0 9 –6;1 –3 –6 19];>>

[C,M] = shxu(A)C = 2 6 24 M = 1 1 1 答：此二次型是正定的。

方法二

特征值法

>> A = [ 1 –1 2 1;-1 3 0 –3;2 0 9 –6;1 –3 –6 19] >> [ T , M ] = tezh(A)T =

0.0643 2.2421 7.4945 22.1991 M = 1 1 1 答：此二次型是正定的。

定理3：实二次型f(x1,x2,,xn)XAX为负定的充分必要条件是矩阵A的偶数阶顺序主子式都大于零，而奇数阶顺序主子式都小于零。

定理4：实对称矩阵A负定的充分必要条件是A的特征值都小于零。function [C,M] =shxuf(A)% C为A的各阶顺序主子式组成的向量 % M为判定向量: if C(i)>0, then M(i)=1;

if C(i)

n=size(A);

C=[ ];

M=[ ];

for

i=1:n(1)

A1=A([1:i],[1:i]);

D=det(A1);

C=[C D];if D>0

m=1;

elseif D

m=-1；

else

m=0;

end

M=[M,m];

end

function [ T , M ] = tezhf(A)

n=size(A);

T=(eig(A))’;

M=[ ];

for i =1:n(1)

if

T(i)

m=-1;

else

m=0;

end

M=[M,m];

end function [ T , M ] = tezhf(A)

n=size(A);

T=(eig(A))’;

M=[ ];

for i =1:n(1)

if

T(i)>0

m=1;

elseif T(i)

m=-1;

else

m=0;

end

M=[M,m];

end 五：习题

11111、已知矩阵A2312(1)求矩阵A的特征值;(2)求矩阵A的特征值对应的全部特征向量.判断下列方阵是否可对角化,若可对角化，求出可逆阵P，使PAP为对角阵。

1

2132 100131A68313721105201；B226020410000 0112

3、已知二次型 fx1x2x2x3x3x4x4x1。(1)写出二次型矩阵A;(2)用正交变换将

二次型化为标准形,并写出所作的正交变换;

2224、判别二次型f99x1130x271x312x1x248x1x360x2x3是否为正定二次型（用两种方法求，写出程序）。六：课后小结