四个公理_空间四个公理

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四个公理

• 公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内.（常用于证明直

线在平面内）

• 公理2：不共线的三点确定一个平面.（用于确定平面）.推论1：直线与直线外的一点确定一个平面.推论2：两条相交直线确定一个平面.推论3：两条平行直线确定一个平面.• 公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是

一条直线（两个平面的交线）.• 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.八个定理

1.线面平行：

①定义：直线与平面无公共点.a//b ②判定定理：aa//（线线平行线面平行）b

a// ③性质定理：aa//b（线面平行线线平行）b

④判定或证明线面平行的依据：（i）定义法（反证）：ll//（用于判断）；

a//b （用于证明）；（ii）判定定理：aa//“线线平行面面平行”

b

//（iii）（用于证明）； a//“面面平行线面平行”a

ba ；（Ⅳ）ba//（用于判断）

a

2.面面平行：

①定义：//；

②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；

符号表述：a,b,abO,a//,b//////



③面面平行的性质定理： aa//b

b

④判定与证明面面平行的依据：

（1）定义法；（2）判定定理及结论1；（3）结论2.结论1：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行

符号表述：a,b,abO,a',b',a//a',b//b'//

结论2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：a,a//.【如右图】

3.线面垂直

①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。

符号表述：若任意a,都有la，且l，则l.a,b

abO



②判定定理：ll（线线垂直线面垂直）la



lb



证明或判定线面垂直的依据：

（1）定义（反证）；（2）判定定理（常用）；

（3）a//bb（较常用）；

a

（4）//a；

a



（5）aba（面面垂直

a线面垂直）



ab

4.面面垂直

（1）定义：若二面角l的平面角为90，则；

（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.a（线面垂直面面垂直）A



a

aa(3)性质定理：

AB； a（面面垂直线面垂直）AB