平面与平面平行的判定_平面和平面平行的判定

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平面与平面平行的判定与性质

1.定义

两个平面的位置关系：

平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．

两个平面相交——有一条公共直线（至少有一个公共点）

2.两个平面平行的判定

两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

推理模式：：a，b，abP，a//，b////．

已知：在平面β内，有两条相交直线a、b和平面α平行．

求证：β∥α．

例1．如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．

例2．已知a,b是异面直线，a,b,a//,b//，求证：//.例3已知：α⊥AA＇，β⊥AA＇，求证：α∥β．

证明两平面平行的方法：

（1）利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。

（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这 个定理可简记为线面平行则面面平行。

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43．两个平面平行的性质：

（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为： “面面平行，则线面平行”。用符号表示是：α∥β，a α，则a∥β．

（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为： “面面平行，则线线平行”。用符号表示是：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b．

4．两平行平面间的距离是指它们的公垂线段的长度，即与两平面都垂直的直线夹在两平面之间的线段的长度。

5．线线平行、线面平行、面面平行的比较。

“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”都是通过“没有公共点”来定义的。“线线平行”可转化为“线面平行”，“线面平行”可转化为“面面平行”。反之，“面面平行”又可得“线面平行”和“线线平行”，例5．正方体ABCD—A1B1C1D1（1）求证：平面A1BD（2）若E、F分别是AA1（3）若M、N分别是棱

例6∥r。

例7．一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证 线面垂直。用符号表示是：α∥β，a⊥α，则a⊥β．

例10．如图，直线AC和DF被三个平行平面,,所截，已知直线AC与相交成60角，BA=4cm，BC=12cm，DF=10cm，求：（1）平面与平面的距离；

（2）DE和EF的长.A D 0E B C F