空间平行关系的相互转化_空间平行关系互相转化

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空间平行关系的相互转化

山东省莱芜市第五中学数学组（271121）刘峰

空间的平行关系包括线线平行，线面平行，面面平行。解决此类问题的关键是利用相关的定理，性质将三者或其中的两者之间进行合理的转化，下面我们将空间的平行关系进行总结。

三种平行关系的相互转化可用下图来表示：

其中（1）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

（2）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（3）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．

（4）面面平行的性质：如果两个平面相互平行那么其中一个平面内的一条直线平行于另一个平面.（5）（面面平行判定定理的推论）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面互相平行．

（6）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 下面我们通过几个例题来看一下在具体题目中如何进行转化。

例

1、已知平面l，直线a//,a//.求证：a//l

【证明】如右图：过直线a作平面c.则由a//得a//c.过直线a作平面b，则由a//

得a//b.b//c.又b,c,b//.而l,b,b//l,又a//b.a//l.【点评】（1）本题综合应用线面平行的判定和性质，实现线面平行和线线平行的相互转化；

（2）由本题得到了一个重要的结论：如果一条直线同时与两个相交平面平行，那么这条直线和这两个相交平面的交线平行。

例2.如右图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于

AB，MAC，NFB且AMFN.求证：MN//面BCE.【证法一】如右图,过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，连结PQ.∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ.又MP,NQ,又MCBN,MPNQ, ∴MPQN是平行四边形.∴MN∥PQ，又PQ平面BCE.而MN平面BCE，∴MN∥平面BCE.【证法二】如右图，过M作MG∥BC，交AB于点G，连结NG∵MG∥BC，BC平面BCE，MG平面BCE，∴MG∥平面BCE

AMAGAGFN且AMFN,ACBF,, ACABABBF

∴GN∥AF∥BE，又BE平面BCE，GN平面BCE，∴GN∥平面BCE

又MGNGG，∴平面MNG∥平面BCE

又MN平面MNG∴MN∥平面BCE

【点悟】证明线面平行是一个考查的重点，证明时通常采用以下两种方法：①利用线面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用面面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行

例

3、如右图，在棱长为a的正方体ABCDA1BC11D1中，设M,N,E,F分别是棱A1B1,A1D1,C1D1,B1C1的中点.（1）求证：E,F,B,D四点共面；

（2）求证：面AMN//面EFBD.【证明】（1）连结B1D1，则EF//B1D1，又B1D1//BD，EF//BD，故E,F,B,D四点共面.（2）连结ME，则ME//A1D1,且MEA1D1，又AD//A1D1且ADA1D1，AD//ME且ADME 四边形ADEM是平行四边形，故AM//DE,又AM面EFBD,DE面EFBD,AM//面EFBD;同理AN//面EFBD.又AMANA，面AMN//面EFBD.【点评】证明面面平行一般利用面面平行的判定定理，在一个平面内找两条相交直线分别平行于另一个平面。在本题的证明过程中实现了线线平行→线面平行→面面平行的转化。