高考立体几何计算题的归类分析_高考立体几何题型归纳

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本文发表在哈尔滨师范大学的《数理化学习（高三版）》2013年4期上

高考立体几何计算题的归类分析

济南第三职业中等专业学校吴金革

每年的立体几何高考试题中都有计算题，通过柱体、锥体、台体、球体或不规则的多面体，来考查学生的空间想象能力、逻辑思维能力和运算推理能力.立体几何的计算问题，一般包括几何体的表面积和体积、两条异面直线所成的角、一条直线和一个平面所成的角、两个平面的所成的角（二面角）.本文对立体几何计算题的类型进行以下归纳，希望对同学们有所帮助.1.几何体的表面积

例1（2012年辽宁高考）一个几何体的三视图如图1所示,则该几何体的表面积为______________.解：由几何体的三视图知，该几何体为一个长方体挖去一个

圆柱，而长方体的长宽高依次为4、3、1，圆柱的底面半径和高都为

所以该几何体的表面积为长方体的表面积减去圆柱的两个底面1，圆的面积，再加上一个圆柱的侧面积，即S2(434

131)21221138,故填38.点评：三视图在高考中一般是以选择题、填空题的形式出现，考查几何体的表面积、体积的计算问题，此类问题解题的关键是根据三视图确定几何体为柱、锥、台、球或其组合体的形状，然后根据面积和体积公式解决.2.几何体的体积

例2（2012年湖北高考）如图2,ACB45,BC3,过动点A作ADBC,垂足D在线段BC上且异于B点,连接AB,沿AD将ABD折起,使BDC90(如图3所示).（1）当BD的长为多少时,三棱锥ABCD的体积

最大；

（2）当三棱锥ABCD的体积最大时,设点E,M

分别为棱BC,AC的中点,试在棱CD上确定一点N,使

得ENBM,并求EN与平面BMN所成角的大小.解:（1）法1:在如图2所示的ABC中，设BDx

(0x3)，则CD3x.由ADBC，ACB45知，ACD为等腰直角三角形，所以ADCD3x.折起后(如图3)，ADDC，ADBD，且BD和DC是面BCD内两条相交直线，

11BDCDx(3x).2

211112x(3x)(3x)22VABCDSBCDADx(3x)22x(3x)(3x)[]，3612123

3当且仅当2x3x，即x1时,等号成立，故当BD1时,三棱锥ABCD的体积最大.1332法2: 同法1,得VABCDxxx(0x3).62所以AD平面BCD.又BDC90,所以SBCD

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设f(x)13313xx2x(0x3)，则f(x)x22x.由f(x)0，得x1.6222

当x(0,1)时，所以当x1时，f(x)0，f(x)是增函数；当x(1,3)时，f(x)0，f(x)是减函数.f(x)取得最大值.故当BD1时,三棱锥ABCD的体积最大.(2)略.点评：求锥体体积的问题，传统方法是通过转换顶点和底面，确定锥体底面面积和高，求出体积，也可利用割补法求解，若用向量法，先计算底面的法向量，再由顶点与底面上一点对应向量和底面的法向量计算出顶点到底面的距离，然后求锥体体积.而本题是把锥体的体积表示为一个函数，通过均值定理或导函数的性质分析解决问题，考查学生对立体几何、函数、不等式的综合应用能力.3.两条异面直线所成的角 AD例3（2011年上海高考）如图4，已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为B1的正四棱柱，高AA12，（1）求异面直线BD与AB1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

B1A1D

1（2）求四面体AB1D1C的体积.解：（1）法1：如图5，连结BD,AB1,B1D1,AD1，BD//B1D1，∴ 异面直线BD与AB1所成角为AB1D1，在AB1D1中，由余弦定理，得

AB12B1D12AD12525.cosAB1D12AB1B1D1102∴异面直线BD与AB1所成角为

.10、A1D1、A1A分别为x、y、z轴，建立空法2：如图6，以A1B

1间直角坐标系，则B(1,0,2)，D(0,1,2)，A(0,0,2)，B1(1,0,0)，(1,1,0)，1(1,0,2).cos,11.101∴异面直线BD与AB1所成角为（2）略..10

点评：两条异面直线所成的角，首先要明确范围为(0]，其次通过平移转化到一个三角形中，再解

此三角形即可；若用向量法，通过建坐标系，确定相应向量的坐标，求两向量夹角的余弦，从而得出异面直线所成的角.4.一条直线与一个平面所成的角

例4（2011年湖南高考）如图7，在圆锥PO中，已知PO

，⊙O的直径AB2，点C在弧AB上，且CAB30，D为AC的中点．

（1）证明：AC平面POD；

（2）求直线OC和平面PAC所成角的正弦值．

解:（1）略.（2）法1 ：如图8，由（1）知，AC平面POD，又AC平面PAC，平面POD平面PAC.作OHPD于H，则OH平面PAC.连结CH，则CH是OC在平面PAC上的射影，OCH是直线OC和平面PAC所成的角．

在RtPOD中，OD13，OP，PD，2

2由PDOHODOP，得OH.3在RtOHC中，sinOCHOH.OC3

法2：如图9，连结BC，则ACBC.在RtABC中，AB2，CAB30，AC，CB1.以AC、CB分别为x、y轴，建立如图18所示的空间直角坐标

系，则A(3,0,0)，B(0,1,0)，O(C(0,0,0)，11，0)，P(，2).222

2(,0,0)，(11，)，(，0).2222

设平面PAC的法向量为(x,y,z)，x0,x0,则取z1，(0,2，1).1xyz0.y2z.22

设直线OC和平面PAC所成角为，sin|cos,|.133点评：首先线面角的范围是[0]，其次传统方法是在直线上找到一点，向平面作垂线，得出此直



线与它的射影所成角即为所求线面角，然后解三角形即可；若用向量法，先求平面的法向量，再用直线上

线段对应的向量与法向量夹角的余弦的绝对值，确定线面角的正弦值，从而得出线面角.3.二面角

例5（2012年山东高考）在如图10所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB//CD，DAB60，FC平面ABCD，AEBD，CBCDCF．

（1）求证：BD平面AED；

（2）求二面角F

解:（1）略.（2）法1：如图11，连结AC，则ACBC，建立空间直角坐标系-BD-C的余弦值．

Cxyz，不妨设CB2，则C(0,0,0)，B(0,2,0)，F(0,0,2)，D(,1,0).(,3,0)，(0,2,2).设平面BDF的一个法3x3y0,x3y,向量为(x,y,z)，则 取y1，zy.2y2z0.

得(,1,1).又(0,0,2)是平面BCD的一个法向量，则

，二面角F-BD-C的余弦值为.5

5cos,

法2：如图12，建立空间直角坐标系Cxyz，不妨设CB2，则C(0,0,0)，D(2,0,0)，F(0,0,2)，B(1，0).(3,,0)，(1,,2).设平面BDF的一个yx,3xy0,法向量为(x,y,z)，则 取zx.xy2z0.x1，得(1，1).下同法1.法3：如图13，建立空间直角坐标系Dxyz，不妨设CB2，则

D(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1，0)，F(1，2)，(0,2,0)，(1，2).设平面BDF的一个法向量为(x,y,z)，则

y0,2y0, 取x1，得(2,0,1).下同法xy2z0.x2z.1.法4：如图14，建立空间直角坐标系Dxyz，不妨设CB2，则

D(0,0,0)，C(0,2,0)，F(0,2,2)，B(,3,0)，

(,3,0)，xy,x3y0, (0,2,2).设平面BDF的一个法向量为(x,y,z)，则zy.2y2z0.取y1，得(,1,1).下同法1.法5：如图15，易知BCDG为菱形，建立空间直角坐标系Oxyz，0,不妨设CB2，则D(,0)，B(0,0)，C(1,0,0)，F(1,0,2)，,0)，(1，2).设平面BDF的一个法向量为

y0,2y0, 取z1，(x,y,z)，则xy2z0.x2z.得(2,0,1).下同法1.法6：如图16，易知AGCD为菱形，建立空间直角坐标系Oxyz，不妨设CB2，则D(0,1,0)，B(,2,0)，C(,0,0)，F(,0,2)，(,3,0)，(3,1,2).设平面BDF的一个法向量为

xy,x3y0, 取y1，得(x,y,z)，则3xy2z0.zy.(3,1,1).下同法1.法7：如图17，取BD的中点G，连结CG、FG，CBCD，CGBD.又FC平面ABCD，BD平面ABCD，FCBD.FCCGC, FC、CG平面FCG，BD平面

FCG.BDFG.因此FGC是二面角F-BD-C的一个平面角.在等腰BCD中，BCD120，CB2CG.又CBCF，在RtCFG

中，GFCG，cosFGC.二面角F-BD-C的余弦值为.5

5法8：如图18，连结DF，不妨设CB2，二面角FBD

FBD在平面ABCD上的射影为CBD.在BCD中，--C的大小为.FC平面ABCD，1CBCD2，SBCDCBCDsinBCD.BCD120，2在BFD中，BFDF2，BD2，BF2DF2BD21cosBFD，sinBFD

.2BFDF4

41SBFDBFDFsinBFD.（或在BFD中，BFDF2，BD2，2

1p(BFDFBD)2.由三角形面积的海伦公式，得2

SBFD.）cos

.5SBCD.二面角F-BD-C的余弦SBFD5值为

点评：二面角的范围是[0，]，传统方法（法7）是利用三垂线定理作出二面角的一个平面角，通过解三角形解决，它包含一作辅助线、二证明两直线与二面角的棱垂直、三指出二面角的平面角、四计算角的大小等步骤（简称一作、二证、三指、四算）；若用向量法，建立空间直角坐标系，计算两平面的法向量，求出它们的夹角余弦，确定二面角的大小；还可以利用射影面积法（法8）求二面角的大小.本题从不同角度分析，可建立不同空间坐标系，采取不同的方法，能拓宽学生视野，提高分析解决问题的能力.