线面、面面的平行与垂直_线面平行与面面平行

线面、面面的平行与垂直由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“线面平行与面面平行”。

线面、面面的平行与垂直

一、构造模型法解题：

判断空间点、线、面的位置关系是比较抽象的，我们可以借助特殊的几何模型，如长方体（正方体）、三棱锥（正四面体）来判断，因为这些几何体中的点线面的位置关系非常丰富，这样可以化繁为简，化抽象为具体。

当问题没有给出具体的图形，只是给出了相关点、线、面的关系（如平行、垂直等），要判断某些元素的位置关系时，通常可考虑构造正方体模型，把这些线、面变成正方体的线段或某一面，进而加以解决。[例1]（1）对于直线m、n和平面，下面问题中的真命题（）

A.如果m,n,m、n是异面直线，那么n∥

B.如果m,n,m、n是异面直线，那么n与相交 C.如果ma,n∥，m、n共面，那么m∥n D.如果m∥,n∥，m、n共面，那么m∥n 分析：构造正方体，如图1.对于选项A，设a为平面ABCD，m为AB，n为C1C，则n⊥a，故A错。对于选项B，设a为平面ABCD，m为AB，n为A1D1，则n∥a，故答案B错。

对于选项D,设a为平面AC，m为A1B1，n为B1C1，此时m与n相交于B1，故答案D错。

∴正确答案为C，事实上，设a为平面ABCD，m为AB，n为A1B1，∵AB∥A1B1，∴m∥n.（2）．空间A、B、C、D四点不共面，平面α与A、B、C、D四点的距离相等，这样的平面α有()

A．0个B．4个C．3个D．7个 [答案] D

[解析] 三个点在一侧，另一点在α的另一侧(A，B，C)与D，(A，B，D)与C，(A，C，D)与B，(B，C，D)与A；

两个点在α的一侧，另两点在α的另一侧，(A，B)与(C，D)，(A，C)与(B，D)，(A，D)与(B，C)如图所示：

线∥线线∥面面∥面线⊥线线⊥面面⊥面

②等积转化；③立几向平几转化。

[例2] 如图所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F.求证：BD⊥平面AEF.[分析] 要证BD⊥平面AEF，已知BD⊥AE，可证BD⊥EF或AF；由已知条件可知BC⊥平面ADC，从而BC⊥AF，故关键环节就是证AF⊥平面BDC，由AF⊥DC即可获证．

[解析] ∵AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，∴BC⊥AC，一类如：B，C，D所在平面β与α平行，A，B到α距离AA′＝BB′，另一类如：AB∥α，CD∥α，B，D到α距离BB′＝DD′.二、转化的思想

①解决空间线线、线面、面面平行或垂直关系的问题关键是作好下列转化

DA⊥平面ABC

⇒DA⊥BC

BC⊂平面ABC



BC⊥ACAC∩DA＝A





⇒BC⊥平面DAC

⇒BC⊥AF AF⊂平面DAC



AF⊥DCBC∩DC＝C

⇒AF⊥平面DCB

⇒ BD⊥AF BD⊂平面DCB







BD⊥AE

AF∩AE＝A

 

⇒BD⊥平面AEF.[点评]

证明线面垂直可转化为证线线垂直，而要证线线垂直又转化为证线面垂

直，本题就是通过多次转化而获得证明的，这是证垂直问题的一个基本规律，须熟悉其转化关系．

[例3] 四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面垂直，又底面ABCD为矩形，E是PD中点．(1)求证：PB∥平面ACE；

(2)若PB⊥AC，且PA＝2，求三棱锥E－PBC的体积． [解析](1)设矩形ABCD对角线AC与BD交点为O，则O为BD中点，又E为PD中点，∴EO∥PB，PB⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，∴PB∥平面ACE.(2)求三棱锥B－AB1N的体积．

[分析] 线面垂直与线线垂直转化，立几问题向平几转化，等积变换．

[解析](1)M为BC中点，△ABC为正三角形，∴AM⊥BC，又侧面BCC1B1⊥底面ABC，∴AM⊥平面BCC1B1，又BN⊂平面BCC1B1，∴AM⊥BN，在正方形BCC1B1中，M，N分别为BC，CC1中点，∴B1M⊥BN(想一想为什么？)，∴BN⊥平面AMB1.(2)作PF⊥平面ABCD，垂足为F，则F在AD上，又∵PA＝PD，∴F为AD中点，连BF交AC于M，∵PF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PF，又AC⊥PB，PB∩PF＝P，∴AC⊥平面PBF，∴AC⊥BF，∵AD＝PA＝2，∴AF＝FD＝1，BC＝2，AMAF

△AMF∽△ADC，∴＝，ADAC

AM

1设AB＝x，则

24＋x又AM1＋x＝x，解之得x2，111

VE－PBC＝D－PBC＝VP－BCD＝VP－ABCD

224112＝AB·BC·PF＝436[点评] 等积变换问题，立几向平几的转化． ．．．．．．．．．

利用直线PD与平面PBC相交，∵E为PD中点，∴E到平面PBC距离等于D

到平面PBC距离的一半得VE－PBC＝D－PBC；利用三棱锥变换底面与高得VD－PBC

＝VP－BCD；利用三棱锥的高不变，底面积成原来的2倍，则体积也为原来的2倍得

VP－BCD＝VP－ABCD.练习：

1．正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，M，N分别是BC，CC1的中点．(1)求证：BN⊥平面AMB1；

(2)VB－AB1N＝VA－BB1N＝VA－BCB1＝VB1－ABC 1163＝柱＝，3

3116或VB－AB1N＝VA－BB1N＝△BB1N·AM＝33

2．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.(1)求三棱锥D－AEC的体积；

(2)设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上的确定一点N，使得MN∥平面DAE.解析：(1)∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，∵BC∩BF＝B，且BC、BF⊂平面BCE，∴

AE⊥平面BCE，又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.∴AB＝AE＋BE＝22，1

1S△ADC＝×AD×DCBC×AB

221＝2×2＝2，2AE·EB

过E作EH⊥AB于H，则EH⊥平面ABC，在Rt△AEB中得EH＝2.AB

4VD－AEC＝VE－ADC＝22＝.3

3(2)在三角形ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在三角形BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连结MN，则

由比例关系易得CN＝.∵MG∥AE，MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴MG∥平面ADE，同理，GN∥平面ADE，∴平面MGN∥平面ADE.又MN⊂平面MGN，∴MN∥平面ADE.∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．

＝

1l·dABC－A1B1C1一条侧棱2

AA1到侧面BB1C1C的距离为d，侧面BB1C1C的面积为S，则斜三棱柱的体积为__________．

(4)在平面几何里，梯形ABCD上底AB＝a，下底CD＝b，则中位线EF＝

(a＋b)，2

类比这一结论，在空间中台体上底面积S上，下底面积S下，中截面面积S中有____________．

(5)在平面几何里，有“平行于同一条直线的两条直线相互平行”的结论，类比它可以得出空间中关于平面的命题：____________________________________.[答案] 平行于同一平面的两个平面相互平行． 作业：

1．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是()A．α、β都垂直于平面γ

B．α内存在不共线的三点到β的距离相等 C．l、m是α内两条直线，且l∥β，m∥β

D．l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β [答案] D

[解析] A选项中α、β的位置不确定．B选项中α、β可能是相交的．C选项中，增加条件l与m相交，则有α∥β.2．关于直线a、b、l及平面M、N，下列命题中正确的是()A．若a∥M，b∥M，则a∥b B．若a∥M，b⊥a，则b⊥M

C．若a⊂M，b⊂M，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M D．若a⊥M，a∥N，则M⊥N [答案] D

[解析] A选项中，若a∥M，b∥M，则有a∥b或a与b相交或a与b异面．B选项中，b可能在M内，b可能与M平行，b可能与M相交．C选项中须增加a与b相交，则l⊥M.D选项证明如下：

∵a∥N，过a作平面α与N交于c，则c∥a，∴c⊥M.故M⊥N.3．对于平面α与共面的直线m，n，下列命题中，真命题是()A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α B．若m∥α，n∥α，则m∥n

三、类比的思想

[例3](1)类比在矩形ABCD中，AC＝AB＋BC，则在长方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线AC1＝__________.(2)在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A－BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，设△ABC，△ACD，△ADB，△BCD的面积分别为S1，S2，S3，S，则有______．”

(3)在平面几何里，一个斜三角形ABC，A到BC的距离为d，BC的边长为l，则S△ABC

C．若m⊂α，n∥α，则m∥n

D．若m，n与α所成角相等，则m∥n [答案] C

[解析] 对于A，可能n⊂α；

对于B，m与n所在的平面β∥α成立时，∴可能m与n相交； 对于D，当m与n相交时，可以与α所成角相等如图．

6．如图，在三棱锥D－ABC中，DA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥CD，AF⊥DB，4．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l()A．平行B．相交C．垂直D．异面 [答案] C [解析] 1°直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；

2°l⊂α时，在α内不存在直线与l异面，∴D错； 3°l∥α时，在α内不存在直线与l相交．

无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直． 5．给出下列命题，①夹在两个平面间的平行线段相等，则此二平面必平行；

②两平面分别与第三个平面相交且交线平行，那么此二平面平行；

③如果两条相交直线a、b与另两条相交直线c，d分别平行(即a∥c，b∥d)，那么a、b所在平面与c，d所在平面平行；

④两个不重合平面α、β中，一个平面α内不共线三点到另一个平面β的距离相等，那么α∥β.其中正确结论的个数为()A．0B．1C．2D．3 [答案] A

[解析] 如图(一)α∩β＝l，AC⊂α，BD⊂β，AC∥BD∥l，AB綊CD，故①错；

如图(二)，三棱柱两侧面α，β都与第三个侧面γ相交，α∩γ＝l1，β∩γ＝l2，l1∥l2，∴②错；

如图(三)，平面α内，a∩b＝A，c∩d＝B，a∥c，b∥d，故③错；

如图(四)α∩β＝l，A，B，C∈α，A，B，C到l的距离都相等，此时A，B，C到β的距离也都相等，∴④错．

求证：(1)EF⊥DC；(2)平面DBC⊥平面AEF.[分析] 在DA⊥平面ABC条件下，BC⊥AB转化为BC⊥平面DAB，转化为平面DAB⊥平面DBC，在此条件下，AF⊥DB转化为AF⊥平面DBC，于是AE⊥DC转化为EF⊥DC，AF⊥平面DBC转化为平面AEF⊥平面DBC.[解析]

DA⊥平面ABC⇒DA⊥BCBC⊥ABDA∩AB＝A

⇒BC⊥平面DAB

 



BC⊂平面DBC

⇒平面DAB⊥平面DBCAF⊥DBAF⊂平面DAB

⇒AF⊥DC



⇒AF⊥平面DBC 



AE⊥DC⇒DC⊥平面AEF

⇒DC⊥EF AF∩AE＝A



EF⊂平面AEF

DC⊥平面AEF

⇒平面DBC⊥平面AEF.DC⊂平面DBC

7．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1、h2、h，则h1:h2:h＝()

3∶1∶1B.3∶2∶2C.3∶2∶2D.3∶2∶3 [答案] B

[解析] 如图，三棱锥A－A1B1C1与四棱锥A－BCC1B1的各棱长全都相等，拼成三棱柱ABC－A1B1C1，其中BCC1B1为正方形．

显然三棱柱的高h与三棱锥A－A1B1C1的高h2相等． 设棱长为a，则∵VA－A1B1C1＝VC1－ABC＝VA－BCC1

1＝－BCC1B1，2131∴a2h2＝a2·h1，即h1h232，故选B.346

8．(本小题满分12分)在棱长为1的正方体ABCD－

A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．

试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.[分析] 若D1E⊥平面AB1F，则应有D1E⊥AB1，D1E⊥AF，若D1E⊥AB1，则由于AB1⊥A1B，∴AB1⊥平面A1BCD1，这一点不难获证；若D1E⊥AF，∵AF⊥D1D，∴AF⊥平面D1DE，于是只须AF⊥DE.∵E为BC中点，四边形ABCD为正方形，故只须F为CD中点即可．

[解析] 取CD中点F，∵ABCD为正方形，E为BC中点，∴AF⊥DE；∵AF⊥D1D，D1D∩DE＝D，∴AF⊥平面D1DE，∴AF⊥D1E；

∵A1B⊥AB1，AB1⊥A1D1，A1D1∩A1B＝A1，∴AB1⊥平面A1BCD1，又D1E⊂平面A1BCD1，∴AB1⊥D1E，∵AB1∩EF＝A，∴D1E⊥平面AB1F.9．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满

足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.[答案] M∈线段FH

[解析] 因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，又平面NHF∩平面EFGH＝FH.故线段FH上任意点M与N相连，有MN∥平面B1BDD1，故填M∈线段FH.10．(2010·厦门市质检)如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2，CD＝1，F为BE的中点．

(1)若点G在AB上，试确定G点位置，使FG∥平面ADE，并加以证明；

(2)在(1)的条件下，求三棱锥D－ABF的体积． [解析](1)当G是AB的中点时，GF∥平面ADE.∵G是AB的中点，F是BE的中点，∴GF∥AE，又GF⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴GF∥平面ADE.(2)连接CG，由(1)可知：

GF∥AE，且GF.又AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，∴CD∥AE，又CDAE，∴GF∥CD，GF＝CD，∴四边形CDFG为平行四边形，∴DF∥CG，且DF＝CG.又∵AE⊥平面ABC，CG⊂平面ABC，∴AE⊥CG.∵△ABC为正三角形，G为AB的中点，∴CG⊥AB，又AB∩AE＝A，∴CG⊥平面ABE.又CG∥DF，且CG＝DF，∴DF为三棱锥D－ABF的高，且DF3.又AE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AE⊥AB.∵在Rt△ABE中，AB＝AE＝2，F为BE的中点，111

∴S△ABF＝△ABE＝×2×2＝1.22211

∴VD－ABF△ABF·DF＝×3

＝

333

∴三棱锥D－ABF的体积为.