线面垂直于线面平行_线面平行和垂直

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线面平行与线面垂直2010-10-2

4一、基本知识

⒈直线和平面的位置关系（根据公共点的个数划分）⑴直线在平面内——有无数个公共点，⑵直线和平面相交——有且只有一个公共点，⑶直线和平面平行——没有公共点。

我们把直线和平面相交或平行的情况统称，记作。

⒉直线和平面平行的判定定理

如果一条直线和这个的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

a

即：b

a//

a//b

⒊直线和平面平行的性质定理

b

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面，那么这条直线和平行。

a//



a

即：a

a//b

b

二、经典例题

例

1：如图，已知E、F、G、M分别是四面体 的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平 面EFG。

例2：已知：如图，m，l//，l//，求证：l//m。

例3：如图2，直线AB和CD是异面直线，AB//，CD//，ACM，BDN，求证：

AMMC

BN

ND。

图

2图

3例4：如图4，在边长为a的正四面体（六条棱都相等的四面体）ABCD中，对棱AD与BC所成的角为

60，E是AB边上的动点，过点E作一个截面平行于

AD与BC，分别交AC、CD、DB于F、G、H。

⑴求证：四边形EFGH为平行四边形；⑵E在AB何处

时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？图

4线面垂直的证明中的找线技巧

通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

例

1、如图1，在正方体ABCDA1BC11D1中，M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：AO

1平面MBD．

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线面垂一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直

性质

判定

4.如图，PA平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MNAB

C

直

2如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．求证：AESB，AGSD．如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．

5．如图，四边形ABCD为矩形，BC上平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.1）求证：AE⊥BE；

C

2）设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．

求证：MN∥平面DAE．

B 3）若AB=10，AE=6，BC=6，求CE与平面ABCD所成角的正弦值。

E

（（（