9.4线线线面垂直_线面垂直推线线垂直

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线线，线面垂直：

一.知识点：

1．证明直线与直线的垂直的思考途径：转化为线面垂直；

2．证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

（2）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.逆向思维的运用

二.基础练习

1.“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“l⊥”的（）

（A）充分条件（B）必要条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

2.如果一条直线l与平面的一条垂线垂直，那么直线l与平面的位置关

系是（）

（A）l（B）l⊥（C）l∥（D）l或l∥

3.填空题

（1）过直线外一点作直线的垂线有

个；平行线有条；平行平面有个.（2）过平面外一点作该平面的垂线有个；平行线有条；平行平面有个.4.直线l与平面内的两条直线都垂直，则直线l与平面的位置关系是

（）（A）平行（B）垂直（C）在平面内（D）无法确定

5.下面各命题中正确的是（）

（A）直线a，b异面，a，b，则∥；

（B）直线a∥b，a，b，则∥；

（C）直线a⊥b，a⊥，b⊥，则a⊥；

（D）直线a，b，∥，则a，b异面.6.对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：

①与a是异面直线；②与a所成的角为定值θ；③与a距离为定值d.那么这样的直线b有（）

（A）1条（B）2条（C）3条（D）无数条

7.矩形ABCD所在平面外一点P，且PA⊥平面AC，连PB、PC、PD，E、F分别是AB、PC的中点

（1）求证：CD⊥PD；

（2）求证：EF∥平面PAD

8.如图BC是Rt⊿ABC的斜边，过A作⊿ABC所在平面垂线AP，连PB、PC，过A作AD⊥BC于D，连PD，那么图中直角三角形的个数是（）

（A）4个（B）6个

（C）7个（D）8个

9.直线a与平面斜交，则在平面内与直线a垂直的直线（）（A）没有（B）有一条（C）有无数条（D）内所有直线 10.填空题

（1）过长为a的正六边形ABCDEF在平面内，PA⊥，PA=a，则P

到CD的距离为，P到BC的距离为.（2）AC是平面的斜线，且AO=a，AO与成60º角，OC，AA＇⊥于A＇，∠A＇OC=45º，则A到直线OC的距离

是，∠AOC的余弦值是.A11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.B1

12.如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB=5,AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；

（II）求证：AC 1//平面CDB1；

（III）求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值．C13.如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面ABC中。

CA=CB=1,∠BCA=90,棱AA1=2,M,N分别是 M A1B1,A1A的中点。A1

（1）求BN的长；

（2）求BA1，B1C夹角的余弦值；（3）求证A1B⊥C1MN

A

′D

D1

B1

B

A

线面垂直练习

1.如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，求证：（1）BC⊥平面PAB；（2）AE⊥平面PBC；

（3）PC⊥平面AEF.3.在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD正三角形,平面VAD⊥底面ABCD． B（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD；

（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．

10.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB3，P

AD2，PA2，PD∠PAB60．

证明AD平面PAB；

B

D

面面垂直

一.知识点：证明平面与平面的垂直的思考途径：转化为线面垂直.二.基础练习： 1．填空题：

（1）过平面外一条直线的平面和平面都垂直，则平面的个数可以是.（2）平面平面，∩=l，点P∈，点Q∈l，那么PQ⊥l是PQ⊥的条件.（3）平面⊥平面，a，b，且b∥，a⊥b，则a和的位置关系是.2.如图，P是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC．求证BCAC．

3.已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB



DAB90,PA底面ABCD，且∥DC，PA=AD=DC=

AB=1，M是PB的中点。2

证明：面PAD⊥面PCD； 3.已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，DAB60,PD平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点.（1）证明平面PED⊥平面PAB；

（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值.面面垂直练习

1.如图，四棱锥P－ABCD的底面积ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面积ABCD，PA＝3.证明：平面PBE⊥平面PAB；

2.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为

A1B1C1，BAC90，A1A平面ABC，A1A，D为BC中点． ABAC2AC112，证明：平面A1AD平面BCC1B1；

A1

B

3.在矩形ABCD中，AB=2BC，PQ分别为线段AB,CD中点

C

EP^平面ABCD

(1)求证：AQ平面CEP(2)求证：平面AEQ^平面DEP(3)若EP=AP,求二面角Q-AE-P大小

P A

E

C Q D

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