等差数列知识点+基础练习题_等差数列基础练习题

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等差数列知识点

1.等差数列的定义：anan1d（d为常数）（n2）；

2．等差数列通项公式：

ana1(n1)ddna1d(nN*)，首项:a1，公差:d，末项:an

推广： anam(nm)d． 从而d

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：Aab或2anam；

nm2Aab

（2）等

差

中

项

：

数

列

an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2

4．等差数列的前n项和公式：

Snn(a1an)n(n1)d1na1dn2(a1d)nAn2Bn 2222（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数2n1时，an1是项数为2n+1的等差数列的中间项

S2n12n1a1a2n122n1an1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列．

（2）等差中项：数列

an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2．

⑶数列an是等差数列anknb（其中k,b是常数）。

（4）数列an是等差数列SnAn2Bn,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列．



7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项ana1(n1)d

②奇数个数成等差，可设为„，a2d,ad,a,ad,a2d„（公差为d）； ③偶数个数成等差，可设为„，a3d,ad,ad,a3d,„（注意；公差为2d）

8..等差数列的性质：（1）当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；

前n和Snna1为0.（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。

（3）当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有

n(n1)dddn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项222aman2ap.注：a1ana2an1a3an2，（4）若an、bn为等差数列，则anb，1an2bn都为等差数列

(5)若{an}是等差数列，则Sn,S2nSn,S3nS2n，„也成等差数列

（6）数列{an}为等差数列,每隔k(kN)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等差数列

（7）设数列an是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和

1.当项数为偶数2n时，*S奇a1a3a5a2n1na1a2n1nan

2na2a2nS偶a2a4a6a2nnan1

2S偶S奇nan1nannan1an

S奇nanan S偶nan1an12、当项数为奇数2n1时，则

S奇n1S2n1S奇S偶(2n1)an+1S奇(n1)an+1 S奇S偶an+1S偶nS偶nan+1（其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）、{bn}的前n和分别为An、Bn，且则

Anf(n)，Bnan(2n1)anA2n1f(2n1).bn(2n1)bnB2n1（9）等差数列{an}的前n项和Smn，前m项和Snm，则前m+n项和Smnmn

(10)求Sn的最值

法一：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和

即当a10，d0，由*an0可得Sn达到最大值时的n值．

an10（2）“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。

an0即 当a10，d0，由可得Sn达到最小值时的n值．

a0n1或求an中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为npq 2

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

等差数列·基础练习题

一、填空题

1.等差数列8，5，2，„的第20项为___________.2.在等差数列中已知a1=12, a6=27,则d=___________ 3.在等差数列中已知

d13，a7=8，则a1=_______________ 22(ab)(ab)4.与的等差中项是________________-5.等差数列-10，-6，-2，2，„前___项的和是54 6.正整数前n个数的和是___________

2anS＝3nnn7.数列的前n项和，则an＝___________.8.在等差数列中已知a1=12, a6=27,则d=___________ 9.在等差数列中已知

d13，a7=8，则a1=_______________ 10.在等差数列{an}中，an=m，an+m=0，则am= ______。在等差数列{an}中，a4+a7+a10+a13=20，则S16= ______。12 在等差数列{an}中，a1+a2+a3+a4=68，a6+a7+a8+a9+a10=30，则从a15到a30的和是 ______。已知等差数列 110，116，122，„„，则大于450而不大于602的各项之和为 ______。14若是方程的解，则

是关于的方程

＝________。的两个根，则15若公差，且＝________。

二、选择题

xxlg2,lg(21),lg(23)成等差数列，则x的值等于（）1若 A.0 B.log25 C.32 D.0或322、等差数列中连续四项为a，x，b，2x，那么 a ：b 等于（）

A、B、C、或 1 D、3.在等差数列an中a3a1140，则a4a5a6a7a8a9a10的值为（）A.84 B.72 C.60.D.48 4.在等差数列an中，前15项的和S1590，a8为（）

A.6 B.3 C.12 D.4 5.等差数列an中, a1a2a324,a18a19a2078,则此数列前20下项的和等于

A.160 B.180 C.200 D.220 6.在等差数列an中,若a3a4a5a6a7450，则a2a8的值等于（）

A.45 B.75 C.180 D.300

2anSSnnn7.设是数列的前n项的和，且，则an是（）

A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，且是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

8.数列3，7，13，21，31，„的通项公式是（）

32a4n1annn2 nn A.B.2ann1 D.不存在 n C.9、设数列{an}和{bn}都是等差数列，其中a1=25，b1=75，且a100+b100=100，则数列{an+bn}的前100项和为（）A、0 B、100 C、10000 D、505000 10.等差数列an中, a1a2a324,a18a19a2078,则此数列前20下项的和等于

A.160 B.180 C.200 D.220

11一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30,若此数列的最后一项比第-10项为10，则这个数列共有（）

A、6项 B、8项 C、10项 D、12项

三、计算题

1.求集合Mm|m2n1,nN*，且m60中元素的个数，并求这些元素的和

2anS5n3n，求它的前3项，并2.设等差数列的前n项和公式是n求它的通项公式

3.如果等差数列an的前4项的和是2，前9项的和是-6，求其前n项和的公式。

4.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的有关未知数：

51a1,d,Sn5,66（1）求n 及an；（2）d2,n15,an10,求a1及Sn