相似三角形性质(学案)（材料）_相似三角形性质导学案

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相似三角形的性质

●学习指导

1.学习了相似三角形的性质后，对于涉及到相似三角形对应角平分线、对应中线、对应高、周长的问题，应立即联想到相似三角形对应线段的比等于相似比，等于周长的比的性质.举例如下.

［例1］如图1，已知△ABC∽△A′B′C′，点D、D′分别是BC、B′C′的中点，AE⊥BC于E，A′E′⊥B′C′于E′.求证：∠DAE＝∠D′A′E′.

［例2］已知如图2，△ABC与△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，BC＝6，AC＝8，△A′B′C′的周长为72.求△A′B′C′各边的长.

图2

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［例3］如图3，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ACB＝90°，且AB＝18，AC＝12，AD＝8，CE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F.

(1)求CE的值； DF(2)求证：CE＝CD.

［例4］已知，如图4，△ABC中，OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E.求证：BC2=DE(AB+BC+AC)

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［例5］求证：相似三角形的面积比等于相似比的平方.

已知：如图5，△ABC∽△A′B′C，′△ABC与△A′B′C′的相似比为k.求证：SABC2=k

SABC

图5

［例6］如图6，正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CD延长线上一点，且∠FEC=∠FCE，EF交AD于F.求证：S△AEP=4S△PDF.

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2.利用相似三角形的性质还可解决许多实际问题，举例如下.

［例7］如图7，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C＝90°，AC＝12 cm，BC＝5 cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，并求出这种不锈钢片的边长.

分析：要求面积最大的正方形，则正方形的顶点应落在△ABC的边上，那么顶点落在边上时有如图8、9两种情况.

图7

图 8

图9