勾股定理的历史与证法（版）_勾股定理的历史与证明

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勾股定理的历史与证法

勾段定理有着悠久的历史，人们对勾股定理的认识，经历了一个由特殊到一般的过程，其特殊情况，在世界很多地区的现存文献中都有记载，很难区分这个定理是谁最先发现的．

我国最早的记载见于2000多年前成书的著名数学典籍《周髀算经》中商高（公元前1120年）答周公的话：“勾广三，股修四，径隅五．”因此我国也称勾段定理为商高定理．三国时数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出了一幅图（即图19－15中的2），被称为弦图，在2002年北京国际数学家大会上被用作会标．

勾股定理在欧洲被称为毕达哥拉斯定理，1955年希腊发行的一枚邮票上给出了由三个棋盘构成的图案（形状同教科书第100页的图），就是为了纪念发现这个定理的毕达哥拉斯（pythagoras，公元前580－前500）学派．他们还找到如下求勾股数的式子①，古希腊的思想家柏拉图也曾给出类似的式子．后来数学家丢番图又给出了构造勾股数的一般法则：a,b是正整数，2ab是完全平方，则②是勾股数．我国的著名数学家刘徽在公元263年也给出了下面的式子③． 

x

y





z①n1(n1)2xa2ab2yb2ab12(n1)zab2ab2②③

偶的正整数且uv）xuv122y(uv)2122z(uv)2（u,v是同奇

勾股定理是数学上证明方法最多的定理，到今天已有四百多种证法．如图是我们在课本中的几种证明方法：

其中（3）出自美国第20任总统伽菲尔德（J．A．Garfield），他在1876年利用梯形面积公式证明了勾股定理．这其中还有个小故事呢．1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员，后来是美国第二十任总统的伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角过分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味．于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心研究小男孩给他留下的难题．他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法，就是上面图（3）．

另外还有如下常见证明办法：

①如图，两个正方形过长分别是a,b，它们的面积和为ab，构造了以a,b为直角边的直角三角形，斜边为c，把两个直角三角形各旋转90°，构成正方形，22且它的面积为c．

②如图，直角三角形ABC,AD为斜边BC上的高，利用相似三角形的性质可得：

AB

BCBD

ABAC和BC

2DCAC22，即：ABBDBC和ACDCBC． 22．

亲爱的同学，你还记得在初一学习时我们遇到的七巧板吗？当时我们利用它摆出了好多漂亮的图案，你可知道用两副同样大小的七巧板也可以来说明勾股定理吗？请看下图．

两式相加得：ABACBDBCDCBC(BDDC)BCBC

聪明的你还能想出几个办法证明勾股定理吗？试画图并做简要说明．