10考研高等数学强化(第三章)全_高等数学考研强化

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09考研高等数学第三章

新东方考研高等数学电子教材

主讲：汪诚义

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教材说明：本教案是针对新东方在线使用的内部讲义，本讲义按章节提供。根据老师的意见，例题的解题步骤不给提供，在课件的板书上有显示，学员自己可以先做题目再听 老师的讲解效果会更好。

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第三章

一元函数积分学

§3.1 不定积分

（甲）内容要点

一、基本概念与性质

1．原函数与不定积分的概念

设函数fx和Fx在区间I上有定义，若Fxfx在区间I上成立。则称Fx为fx在区间I的原函数，fx在区间I中的全体原函数成为fx在区间I的不定积分，记为fxdx。

原函数：

其中fxdxFxC

称为积分号，x称为积分变量，fx称为被积分函数，fxdx称为被积表达式。

2．不定积分的性质

设fxdxFxC，其中Fx为fx的一个原函数，C为任意常数。新东方在线 [www.daodoc.com] 网络课堂电子教材系列

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则（1）FxdxFxC或dFxFxC或d[F(x)C]F(x)C 

（2）fxdxfx或dfxdxfxdx

fxgxdxfxdxgxdx

（3）kfxdxkfxdx

（4）3．原函数的存在性

一个函数如果在某一点有导数，称为可导；一个函数有不定积分，称为可积。

原函数存在的条件：比连续要求低，连续一定有原函数，不连续有时也有原函数。可导要求比连续高。

exdx 这个不定积分一般称为积不出来，但它的积分存在，只是这个函数的积分不能用初等函数表示出来

设fx在区间I上连续，则fx在区间I上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如22sinxdxcosxdx，，sinxcosxdxx2dx，dx，，edx等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，xxlnx故这些不定积分均称为积不出来。

二、基本积分表（略）补充公式：

(1)(2)x(a0)arcsinC

aa2x2dxdx1x(a0)arctanC 22aaaxdx1ax(3)2(a0)ln||C

2aaxax2(4)secxdxln|secxtanx|C(5)cscxdxln|cscxcotx|C

(6)dxx2a2ln|xx2a2|C

三、换元积分法和分部积分法

1．第一换元积分法（凑微分法）

设

则

fuduFuC，又x可导，fxxdxfxdx

令uxfuduFuCFxC这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就是非常熟练地凑出微分。新东方在线 [www.daodoc.com] 网络课堂电子教材系列

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1x21u1x2221uedueCeC 例：xedxed(x)ux2222x2口诀（30）第一换元经常用；微分方程要背熟。

2．第二换元积分法 例：(1)dxx1令xt262tdt t1(2)6t5dt令xt

32ttx3xdx（3）遇a2x2令xasint 假如令axt；xat；x222222a2t2；dx?（不行）

令xasint；a2a2sin2ta1sin2tacos2tacost

dxacostdt

；遇a2x2令xatant；遇x2a2令xasect

133311xx2dx(x)2()2(x)2；xtant

22422

设xt可导，且t0，若

则

fttdtGtC，fxdx令xtfttdtGtCG1xC

1其中tx为xt的反函数。

33口诀（31）第二换元去根号；规范模式可依靠。

111212x1dx2x1d(2x1)令2x1uudu..u2(2x1)2

22233

3．分部积分法

设ux，vx均有连续的导数，则

uxdvxuxvxvxdux或 uxvxdxuxvxuxvxdx

x例1：xedxxdexxexexdxxexexC

1x212x12x12x12x2edx2xe2xde2xe2xedx

口诀（32）分部积分难变易，弄清u,v是关键新东方在线 [www.daodoc.com] 网络课堂电子教材系列

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100x例2：xedx x1001x1011101lnxdxlnxdxlnxx101dlnx 101101101x1011x1011100lnxxdxlnxx101C 2101101101(101)

（1）Pnxeax，Pnxsinax，Pnxcosax情形，Pnx为n次多项式，a为常数。要进行n次分部积分法，每次均取e，sinax，cosax为vx；多项式部分为ux。ax

（2）Pnxlnx，Pnxarcsinx，Pnxarctanx情形，Pnx为n次多项式取Pnx为vx，而lnx，arcsinx，arctanx为ux，用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。

（乙）典型例题

例1．求下列不定积分（测试题，限15分钟）

（1）dxx2e1x

1解：（1）原式ed()exC

x1x1（2）xlnxlnx1dx

23532(lnx1)dxd(xlnx)

2解：（2）原式(xlnx)d(xlnx)(xlnx)2C

5（3）lnxx215x12dx

1x21原式dxd[ln(xx215)

2ln(xx1)5d[ln(xx15)][ln(xx21)5]2C

3223 4 新东方在线 [www.daodoc.com] 网络课堂电子教材系列

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（4）xlnx1lnx2dx

lnx1lnx)dx 2xx1lnxlnxd(1)21xx解：原式dxC

lnx2lnx2lnx(1)(1)(1)xxxd(cos2xsinx（5）dx sinxcosx1cosxed(cosxesinx)sinxesinxcos2xesinx

(cos2xsin2x)esinx解：原式dx sinxsinxcosxe(1cosxe)ucosxesinxdu11|Cln||C []duln|sinx1uu(1u)uu11cosxe（6）sin2xa2cos2xb2sin2xdx

（b2a2常数）

d(a2cos2xb2sin2x)2a2cosxsinx2b2sinxcosx2sinxcosx(b2a2)sin2x(b2a2)

21d(a2cos2xb2sin2x)解：原式2b2a2ba2a2cos2xb2sin2x

例2．求下列不定积分

a2cos2xb2sin2xC

2x3xdx

（1）x94x

（2）xaxb2dx2

ab

（3）dx ab

x2a2x2b2x21dx

（4）4x

1解：新东方在线 [www.daodoc.com] 网络课堂电子教材系列

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3xx232dx

（1）xdx32x94x123d12

332xln1223112lnxC

2ln3ln2312xxx13x2x

lnxC x2ln3ln232

（2）xaxb2dx21ab2111dx xaxb112dx 22xbxaxbxa11211dx 3xaxbxaxbab2lnxaC xb2

ab21

ab2

2xabab2xaxbab3

（3）dx111dx 2222x2a2x2b2b2a2xaxb

11x1xarctanarctanC 22abbbaa1111dxxx211xx2xC

（4）4dxdx2arctan1x1221x2x2xx

例3．求 dxxx3新东方在线 [www.daodoc.com] 网络课堂电子教材系列

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解：

dx66t5dtt3t3x3x令xt11t3t26t1dt6t1dt

6t2t11t1dt2t33t26t6lnt1C

2x33x66x6ln6x1C

例4．求1x24x2dx

解一：



14x2dxx2tant1x212dt 2dt4tan2t2cos2dxtcos2tcost

cost14x24sin2tdt4sintC4xC（这里已设x0）

解二：倒代换

1x24x2dx1dx

x314x2

1x3dx112dx2

原式=11d4144x282114x4x21C4xCx0 x2

例5．求arcsinx2dx

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解一：

xarcsinx2222arcsinxdxxarcsinxxdarcsinxxarcsinx2dx 21x2

=xarcsinx2arcsinxd1x

2

=xarcsinx21x22

=xarcsinx21xarcsinx221x2darcsinx

arcsinxdx



=xarcsinx21x2arcsinx2xC 2

解二：令arcsinxt，则xsint，222arcsinxdxtdsinttsint2tsintdt 22

=tsint2tdcosttsint2tcost2costdt 

=tsint2tcost2sintC

=xarcsinx21x2arcsinx2xC 22

例6．设fx的一个原函数Fxln2x

解：I

x21，求Ixfxdx

xdfxxfxfxdxxFxFxC

2xx12lnxx21ln2xx21C 

例7．设Fxfx，当x0时fxFxxex21x2，又F01，Fx0，求fxx0

2解：2fxFxdx2FxdFxFxC1 x11exdexex

而dxdxdx 2221x1x1x1xxexexexexex

dxdxC2 221x1x1x1xexC，Fx1x2

F01，新东方在线 [www.daodoc.com] 网络课堂电子教材系列

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C0，又Fx0，因此Fxee 1x1xxxxx2121xe1xe2xe2221x

则fxFx 31x21x2

例8．设fsinx2xx，求Ifxdx sinx1x

解一：令usinx，则sinx2u，xarcsinu，fuarcsinuu

则Iarcsinx1xdxarcsinx1xd1x2arcsinxd1x

11xdx

=21xarcsinx21x

=21xarcsinx2xC

解二：令xsint，则

则I

=2tcost2costdt2tcost2sintC

=21xarcsinx2xC 2x1xsint，dx2costsintdt，costsinttcostsint2sintcostdt2tdcost

§3.2 定积分和广义积分的概念与计算方法

（甲）内容要点

一、定积分的概念与性质

1．定积分的定义及其几何意义新东方在线 [www.daodoc.com] 网络课堂电子教材系列

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baf(x)dxlimd0f()x

i1iin

2．定积分的性质

中值定理，设fx在a,b上连续，则存在a,b使得

fxdxfba

ab1bfxdx为fx在a,b上的积分平均值。

定义：我们称baa

二、基本定理

1．变上限积分的函数

定理：设fx在a,b上连续，则Fxftdt在a,b上可导，且Fxfx推广形式，设

axFx2x1xftdt，1x，2x可导，fx连续，

则Fxf2x2xf1x1x

2．牛顿一莱布尼兹公式

设fx在a,b上可积，Fx为fx在a,b上任意一个原函数，则有

三、定积分的换元积分法和分部积分法

1．babfxdxFxFbFa

abafxdxfttdt（xt在,上有连续导数，单调，a，b）

bb

2．uxvxdxuxvxvxuxdx

aaab

四、广义积分

定积分

又fx在a,b上是有界的，如果积分区间推广到无穷区间或fxfxdx的积分区间a,b是有限区间，ab推广到无界函数就是两种不同类型的广义积分。

1．无穷区间上的广义积分

定义：afxdxlimfxdx

bab

若极限存在，则称广义积分afxdx是收敛的，它的值就是极限值；若极限不存在，则称广义积分afxdx是发散的。而发散的广义积分没有值的概念。

fxdxlimfxdx

aabb

同样有收敛和发散的概念，收敛的广义积分有值的概念。新东方在线 [www.daodoc.com] 网络课堂电子教材系列

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fxdxfxdx1ccfxdxlimfxdxlimfxdx

aabccb0xdx，x0时无意义，称 x0为瑕点

2．无界函数的广义积分（瑕积分）

fx，则称b为fx的瑕点。

（1）设fx在a,b内连续，且limxb

定义limafxdx0abbfxdx

若极限存在，则称广义积分bafxdx收敛，且它的值就是极限值，若极限不存在，则称广义积分fxdx发散。

ab发散的广义积分没有值的概念。

fx，则称a为fx的瑕点

（1）设fx在a,b内连续，且limxa

定义bafxdxlim0bafxdx

若极限存在，则称广义积分fxdx收敛，且它的值就是极限值，ab若极限不存在，则称广义积分fxdx发散，它没有值。

ab1xdx2x

11x30dx

（3）设fx在a,c和c,b10a皆连续，且limfx，则称C为fx的瑕点定义

xcbafxdxfxdxfxdxlimaccbc1fxdxlim20bc2fxdx

（乙）典型例题 一、一般方法

例1．计算下列定积分

1e1

（1）1lnxdx1lnxdxlnxdxxlnxx1xlnxx21

11eeeee1e

（2）

（3）322min1,xdxdxxdxdx2112112311 311 22maxx,x2dxx2dxxdxx2dx201012 11 新东方在线 [www.daodoc.com] 网络课堂电子教材系列

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（4）201sin2xdx20sinxcosx2dx20sinxcosxdx

20sinxcosxdx24cosxsinxdxxcosxdxsin420

4

二、用特殊方法计算定积分

例1．计算下列定积分



（1）I2fsinx0fsinxfcosxdx（f为连续函数，fsinxfcosx0）

（2）I40ln1tanxdx



（3）I2dx01tanxa（a常数）（tanxa1）

（4）I4ln9x22ln9xlnx3dx

解：（1）令x2t，则sinxsin(2t)cost



I2fcots0fcotsfsintdt，

2I20dt2，I4

（2）令x4t，则

I＝0102ln1＋－tantd（－t）＝lndt, 41＋tant41＋tant

4ln2I，2I4ln2，I8ln2

（3）令x2t，则新东方在线 [www.daodoc.com] 网络课堂电子教材系列

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I0dttantat21cota201tantadt，

2I2101tantatanta1tantadt20dt2，I4

（4）令9xt3，则x39t，于是

I2lnt34lnt3ln9tdt4lnt32lnt3ln9tdt

因此，2I42dx2，则I1

例2．设连续函数fx满足fxlnxefxdxe1，求1fxdx

解：令e1fxdxA，则fxlnxA，两边从1到e进行积分，得

efee1xdx1lnxdx1Adxxlnxxe1Ae1

于是Aee1Ae1，eA1，A1e，则e1fxdx1e

例3．设fx连续，且xtf2xtdt102arctanx2，f11，求21fxdx

解：变上限积分的被积函数中出现上限变量必须先处理，令u2xt，则

xtf2xtdtx2xufudu2x2x2x02xxfuduxufuduu0

代入条件方程后，两边对x求导，得

22xxxfudu2x2f2xfx2xf2x2xfx1x即

22xxfudux1x4xfx

令x1代入，化简后得21fxdx34

三、递推方法



例1．设In20sinnxdx

n0,1,2,

（1）求证当n2时，In1nnIn2（2）求In新东方在线 [www.daodoc.com] 网络课堂电子教材系列

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sin2xdx12(1cos2x)dx

sin4xdx12(1cos2sin2x)dx12[1cos2(12(1cos2x)]dx sin3xdxsin2xd(cosx)(1cos2x)d(cosx)



解：（1）In1n1n20sinxdcosxsinxcosx220cosxdsinn1x

0

n122n2n20cosxsinxdxn1201sin2xsinxdx

n1In2n1In

nI1nn1In2，则InnnIn

2n2 I820sin8xdx

I78I7575375317531868.6I48.6.4I28.6.4.2I08.6.4.2.2 I66464264277I57.5I37.5.3I17.5.3



（2）I0220dx2，I10sinxdx1，当n2k正偶数时，I2k1nI2k2kI2k12k312k!2k22k2k22I02kk!222k!22kk!22

当n2k1正奇数时，I22nI2k2k1I2k2k222kk!22kk!2k12k12k12k13I12k1!2k1!

例2．设Jn20cosnxdx

n0,1,2,，求证JnIn n0,1,2,

证：令xt, J0nn2ncostdt2220sintdt

则 JnIn n0,1,2,



例3．设Kn40tan2nxdx n1,2,3,，求证 K1n2n1Kn

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

解：Kn40tan2n1xsecx1dx4tan2n1xdtanxKn1201Kn1 2n1

例4．计算Gnx1121dx（n为正整数）n

解一：令xcost

Gn1nsin2n1tdt122sinn2n1n2122n1n! tdt12I2n1n002n1!

解二：G111nx1nx1ndxn11x1ndx1n11

1nn1111nn1x1x11n11x11nx1n1dx

n1n1n21x1n1dx1n2

1nn!1n1n22n1x12ndx

1nn!22n11n22n12n1!x1112n1!n!2

四、广义积分

例1．计算Ixex01ex2dx

x

解：Ixex10ex12dxxde0ex12dxxd01ex1

x1ex100ex1dxI1I2

I1xlimxex1用洛必达法则xlim1ex0

Iex2exex1dx令exudu01uu1

11u1u1dulnuu11ln1ln12ln

215 新东方在线 [www.daodoc.com] 网络课堂电子教材系列

09考研高等数学第三章

（这里limlnuln10）于是 II1I2ln2

uu1dx例2．计算I（难度较大，可不看）

01x41注：可以化为最简分式的形式，41x1x412x2x42x2(1x2)2(2x)2(12xx2)(12xx2)

但这样做太繁，故用其它技巧

1dt220t1t

解：令x，Idt 401t4t11t0x2dx 1x

4由于 0dxx2dx 4401x1x11dx111x21x21x

 Idxdx2201x42021201x2x2xx1x1xarctan

lim 0222 1 222222§3.3 有关变上（下）限积分和积分证明题

一、有关变上（下）限积分

例1．设fxax0，求Ifxdx et2atdt（a常数）

0a

解：Ixfxa0a0xfxdxxeax2aax1dx

0a 16 新东方在线 [www.daodoc.com] 网络课堂电子教材系列

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a0xea2x2dx12a0ea2x2da2x2

1a2x2a1a2ee1

0225，对所有x0,，t0,，2t1

例2．设fx在0,内可导，f1

均有 xtxfudutfuduxfudu，求fx

11口诀（33）：变限积分双变量；先求偏导后求导。

解：把所给方程两边求x求导，tfxttfx求导，得fttftt1t5fudu 把 x1 代入，得tfttfudu 再两边对t125ft 25155于是ft，则ftlntC，令t1 代入得 Cf1，所以fxlnx1

2t22

2例3．设fx为连续函数，且满足

2x0 xftdt2tf2tdt2x3x1，求fx在0,2上的最大值与最小值。

x0

解：先从方程中求出fx，为此方程两边对x求导

2x02xx

xftdt2tf2tdtxftdt2tf2tdt 0x00

2x02ftdt2xf2x2xf2xftdt

02x

而2xx18x6x 33

因此2x0ftdt8x36x2

两边再对x求导，得

2f2x24x212x62x62xfx3x3x 2

 fx6x3，令fx0得驻点 x1 2

又在0,2上fx没有不可导点，比较f00，f123，f26可知fx 在0,2上最大值为431f26，最小值为f

42 17 新东方在线 [www.daodoc.com] 网络课堂电子教材系列

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tf(t)dt

例4．设f(x)在0,上连续，且f(x)0，证明g(x)在(0,)内单调增加 f(t)dt0x0x

证：当x0时，因为

g(x)xf(x)f(t)dtf(x)tf(t)dt00xxf(t)dt0x2f(x)(xt)f(t)dt0xf(t)dt0x20

g(x)在(0,)内单调增加



二、积分证明题

例1．设f(x)在0,上连续，0f(x)dx0，f(x)cosxdx0，求证存在01(0,)，2(0,)，12，使f(1)f(2)0

证：令F(x)

又0x0f(t)dt，(0x)则F(0)0，F()0，00f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosxF(x)sinxdx

000

F(x)sinxdx

如果F(x)sinx在(0,)内恒为正，恒为负则

0F(x)sinxdx也为正或为负，与上面结果矛盾，故存在(0,)使F()sin0，而sin0，所以F()0于是在0,和,区间上分别用罗尔定理，则存在1(0,)使f(1)F(1)0，存在2(,)，使f(2)F(2)0，其中12

例2．设f(x)在0,1上有连续的一阶导数，且f(0)f(1)0，试证：

证：用拉格朗日中值定理

f(x)f(x)f(0)f(1)x，其中1(0,x)

f(x)f(x)f(1)f(2)(x1)，其中2(x,1)

由题设可知f(x)f(1)xMx；又f(x)f(2)(1x)M(1x)

因此

10fxdxM，其中Mmaxf(x)

0x1410f(x)dxf(x)dx111M12012112f(x)dxMxdx1(1x)dx

02

M

884新东方在线 [www.daodoc.com] 网络课堂电子教材系列

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例3．设f(x),g(x)在a,b上连续，证明

2baf(x)g(x)dxb2b2af(x)dxag(x)dx

证一：（引入参数法）

设t为实参数，则bf(x)tg(x)2adx0

b2ag(x)dxt22baf(x)g(x)dxtbaf2(x)dx0

作为t的一元二次不等式At22BtC0，则B2AC0

即B2b2AC，因此b2baf(x)g(x)dx2af(x)dxag(x)dx

证二：（引入变上限积分）

2令F(u)uaf(x)g(x)dxuaf2(x)dxuag2(x)dx

于是

F(u)2f(u)g(u)uf(x)g(x)dxf2(u)ug2(x)dxg2(u)uf2aaa(x)dx

u2f(u)g(u)f(x)g(x)f2a(u)g2(x)g2(u)f2(x)dx

uaf(u)g(x)g(u)f(x)2dx0

(ua)

则F(u)在a,b上单调不增

故ba时，F(b)F(a)0，2

即bb2b2af(x)g(x)dxaf(x)dxag(x)dx0

证三：（化为二重积分处理）

令Ib2af(x)dxbag2(x)dx，则Ib2baf(x)dxag2(y)dyf2(x)g2(y)dxdy，D

其中区域D:axbayb，同理If2(y)g2(x)dxdy

D

2If2(x)g2(y)f2(y)g2(x)dxdy

D

a2b22ab，故2I2f(x)g(y)f(y)g(x)dxdy

D 19 新东方在线 [www.daodoc.com] 网络课堂电子教材系列

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因此，Ibaf(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dxaa2b2bbabf(y)g(y)dyf(x)g(x)dx a2口诀（34）：定积分化重积分；广阔天地有作为。

bb2

例4．设f(x)在a,b上连续，证明f(x)dx(ba)f(x)dx

aa2

证：在例3中，令g(x)1，则

于是

2bag2(x)dxba

bf(x)dxbf(x)g(x)dxbf2(x)dxbg2(x)dxbabf2(x)dx

aaaaa

例5．设f0(x)在a,b上连续，且f0(x)0，证明

2baf0(x)dxba1dx(ba)2 f0(x)

证：在例3柯西不等式中，取f(x)为

f0(x)，g(x)为

b1f0(x)

则baf(x)dxf0(x)dx，g(x)dxaa2bb2a1dx，f0(x)2

而abbf(x)g(x)dxf0(x)a221dx(ba)2 f0(x)

因此babaf0(x)dxba1dx f0(x)

例6．设f0(x)在a,b上具有连续导数，且f0(a)f0(b)0，bb1222f(x)dxxf(x)dx

求证：0 0aa4baf0(x)dx1，2

证：在例3柯西不等式中取f(x)为f0(x),g(x)为xf0(x)

22bbb22

于是f0(x)dxxf0(x)dxxf0(x)f0(x)dx

aaa

21ba2x2b1b2112xdf0(x)f0(x)f0(x)dx

a2a42222 20 新东方在线 [www.daodoc.com] 网络课堂电子教材系列

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§3.4 定积分的应用

（甲）内容要点

一、平面图形的面积

1．直角坐标系

模型I S1yxyxdx，a21b

其中

y2xy1x，xa,b

模型II S2

xyxydy，c21d

其中

x2yx1y，yc,d

注：复杂图形分割为若干个小图形，使其中每一个符合模型I或模型II加以计算，然后再相加。

2．极坐标系新东方在线 [www.daodoc.com] 网络课堂电子教材系列

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1

2模型I S1rd

2

模型II S2122d rr212

3．参数形式表出的曲线所围成的面积

设

曲线C的参数方程

xt

t yta，b，t在,（或,）上有连续导数，且t不变号，t0且连续。

b

则曲边梯形面积（曲线C与直线xa，xb和x轴所围成）

Saydxttdt



二、平面曲线的弧长（数学一和数学二）（略）

三、绕坐标轴旋转的旋转体的体积

（1）平面图形由曲线yfx0与直线xa，xb和x轴围成绕x轴旋转一周的体积新东方在线 [www.daodoc.com] 网络课堂电子教材系列

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Vxbaf2xdx

dVxf2(x)dx

2xf(x)dx

绕y轴旋转一周的体积

Vy2xfxdx

dVaby

（2）平面图形由曲线xgy0与直线yc，yd和y轴围成绕y轴旋转一周的体积

Vydcg2ydy

d

绕x轴旋转一周的体积

Vx2cygydy

四、绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积（数学一和数学二）（略）

（乙）典型例题

一、在几何方面的应用

例1．求曲线y2x在点,1处法线与曲线所围成图形的面积 212 23 新东方在线 [www.daodoc.com] 网络课堂电子教材系列

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解：先找出法线方程

2yy2，y1

,1211

yy11 2

法线方程 y11x

xy3 2399的另一交点为,3 ,3 222

曲线y22x和法线xy2316y

所求面积Sy dy332

21例2．设fx在a,b上连续，在a,b内fx0，证明a,b，且唯一，使得yfx，yf，xa，所围面积S1是yfx，yf，xb所围面积S2的三倍。

证：令FtS1(t)3S2(t)

bftfxdx3fxftdx

attbFa3fxfadx0

a 24 新东方在线 [www.daodoc.com] 网络课堂电子教材系列

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Fbfbfxdx0

ab

由连续函数介值定理的推论可知a,b使F0再由fx0，可知fx的单调增加性，则唯一

例3．设yfx在0,1上为任一非负连续函数。

（自己阅读）

（1）试证：x00,1，使0,x0上以fx0为高的矩形面积等于x0,1上以yfx为曲边的曲边梯形面积。

（2）又设fx在0,1内可导，且fx2fx，证明（1）中x0唯一。x

（1）证：设Fxxftdt，则F0F10，且Fxftdtxfx，对Fx在0,1上用罗尔定理xx11x00,1，使Fx00，即ftdtx0fx0证毕

x01

（2）证：令x

ftdtxfx，当x0,1时，x1xfxfxxfx

2fxxfx0（由（2）的已知条件）

因此在0,1内，x单调减少，x0是唯一的2例4．求由曲线yx2x和直线y0，x1，x3所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。新东方在线 [www.daodoc.com] 网络课堂电子教材系列

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解一：yx22x解出x11y， 平面图形A1绕y轴旋转一周所得旋转体体积

V11011ydy211 6

平面图形A2绕y轴旋转一周所得旋转体体积

V2271301ydy243 6

所求体积VyV1V29

解二：Vy231xx22xdx

2322x2xxdxxx22xdx

2123x42x4233

23x4143x29

22

例5．设D1是由抛物线y2x和直线xa，x2及y0所围成的平面区域；D2是由抛物线y2x和直线

（自己阅读）xa，y0所围成的平面区域，其中0a2。

（1）试求D1绕x轴旋转而成的旋转体体积V1；D2绕y轴而成的旋转体体积V2（如图）新东方在线 [www.daodoc.com] 网络课堂电子教材系列

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（2）问当a为何值时，V1V2取得最大值？试求此最大值

解：（1）V1432a 2xdx52225

V2 a2a

或

V22222a20ydy a4 2a0x2x2dx a4

432a5 a4（2）VV1V2

由V4 a31a0，得区间a,2内的唯一驻点a1。

又Va140, 因此a1是极大值点，也是最大值点。此时V1V2的最大值为

129 5

二、物理和力学方面应用（数学一和数学二）（自己阅读）

例：为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起污泥重2000N，提升速度3m/s，提升过程中污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升到井口，问克服重力需作多少焦耳的功？

说明：（1）1N1m1J；m，N，s，J分别表示米，牛顿，秒，焦耳。

（2）抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。

解：所需作功WW1W2W3

W1是克服抓斗自重所作的功W14003012000

W2是克服缆绳重力作的功W2

W3是提取污泥所作的功W33005030xdx22500

3200020tdt57000

010

所以WW1W2W391500J新东方在线 [www.daodoc.com] 网络课堂电子教材系列

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三、经济方面应用（数学三和数学四）（自己阅读）

例1．设某商品每天生产x单位时固定成本40元，边际成本函数为Cx0.2x2（元/单位），求总成本函数Cx，最小平均成本。若该商品的销售单价为20元，且产品全部售出，问每天生产多少单位时才能获得最大利润，最大利润多少？

解：（1）Cx0.2x2，Cx

Ctdt40

0x0.2t2dt40

02x

0.1x2x40

Cx0.1x2

令

Cx0.1

Cx40，x400x120，x220（舍去），2xx120800，x3x120406。xx20

故生产20单位时平均成本最小为C200.1x2

（2）总收益

Rx20x，总利润

Lx20x0.1x2x40

2

18x0.1x40，令

Lx180.2x0x90，L900.20，因此，每天生产90单位时，才能获得最大利润。

最大利润为L9018x0.1x4022x90270（元）

t3A 96e（元）

例2．由于折旧等因素，某机器转售价格Pt是时间t（周）的减函数Pt，其中A是机器的最4A 48初价格。在任何时间t，机器开动就能产生Re的利润。问机器使用了多长时间后转售出去能使总利润最大？

4t 28 新东方在线 [www.daodoc.com] 网络课堂电子教材系列

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xA 3A 96

解：假设机器使用了x周后出售，此时的售价为Pxe，在这段时间内机器创造的利润是e48dt，044xt购买机器的价格为A。

xA 3A 96

所以，总利润Lxee48dtA，044xt

令 Lx0，得出x96ln32333，L96ln320，所以，机器使用了大约333 周后转售出去会使总利润最大。

例3．假设当鱼塘中有x公斤鱼时，每公斤鱼的捕捞成本是

2000kg，问从鱼塘中元，已知鱼塘中现有鱼1000010xkg鱼需花费多少成本？ 捕捞6000

解：设已经捕捞了x公斤鱼，此时鱼塘中有10000xkg鱼，再捕捞xkg鱼的成本为

C2000x，1010000x

所以，捕捞6000公斤鱼的成本为

C

60000200010010dx2000ln1829.59（元）。

1010000x4010 29