第一节二重积分的概念与性质_二重积分的概念与性质

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第九章重积分

第一节 二重积分的概念与性质

与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”.所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域.它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算.内容分布图示

★ 曲顶柱体的体积

★ 非均匀平面薄片的质量

★ 二重积分的概念

★ 二重积分的性质

★ 例

1★ 例

4★ 内容小结

★ 习题9-1

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★ 二重积分的中值定理 ★ 例2★ 例3 ★ 例5 ★ 课堂练习

内容要点：

一、二重积分的概念

引例1 求曲顶柱体的体积； 引例2 求非均匀平面薄片的质量二重积分的定义二、二重积分的性质

性质1—性质6

二重积分与定积分有类似的性质.性质1 [f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)d.DDD

性质2 如果闭区域D可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域D1和D2, 则

f(x,y)df(x,y)df(x,y)d.DD1D

2这个性质表明二重积分对积分区域具有可加性.性质3 如果在闭区域D上, f(x,y)1,为D的面积, 则

1dd.DD

这个性质的几何意义是: 以D为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积.性质4 如果在闭区域D上, 有f(x,y)g(x,y),则

f(x,y)dg(x,y)d.DD

特别地, 有f(x,y)d|f(x,y)|d.DD

性质5 设M,m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值, 为D的面积, 则

mf(x,y)dM.D

这个不等式称为二重积分的估值不等式.例题选讲：

二重积分的性质

(x例1不作计算，估计Ie

D2y2)d的值，其中D是椭圆闭区域：

x2

a2y2b21(0ba).例2（讲义例1）估计二重积分IDdxy2xy1622的值, 其中积分区域D为矩形

闭区域{(x,y)|0x1,0y2}.例3判断

rxy1ln(x2y2)dxdy的符号.例4积分Dx2y2dxdy有怎样的符号, 其中 D:x2y24.例5（讲义例2）比较积分ln(xy)d与[ln(xy)]2d的大小，其中区域D是三

DD

角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).课堂练习

1.将二重积分定义与定积分定义进行比较, 找出它们的相同之处与不同之处.2.试用二重积分表示极限lim

enn2i1j11nni2j2n2.