第一节 二重积分的概念与性质09330_第一节二重积分概念

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第九章 重积分

第一节 二重积分的概念与性质

教学目的:理解并掌握二重积分的概念;几何意义;二重积分存在的条

件.熟练掌握二重积分的性质;

能正确运用性质进行判断、计算与证明.重点: 二重积分的性质的运用.难点: 运用性质判断与计算.教学方法:直观教学,讲练结合.教学过程:

一、二重积分的概念与几何意义

1、【定义】: 设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域

其中i表示D D任意分成n个小闭区域1，2,，n，第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个i上任取一点(i,i)，作乘积f(i,i)i，(i1,2,,n)，并作和nf(,)ii

i1i，如果当各小闭区域的直径di中的最大值max{di}0时，这和 1in

式lim0f(,)的极限存在，且此极限与小区间iii

i1ni的分法

以及点(i,i)的取法无关，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D 上的二重积分，记为

f(x,y)d，即

D

f(,).f(x,y)dlim

D

0

i

i

i

i

1n

其中：① f(x,y)称为被积函数, ② f(x,y)d称为被积表达式,③ x,y称为积分变量, ④ d称为面积元素, ⑤ D称为积分区域,⑥

n

f(,)称为积分和.i

i

i

i12、面积元素d

在直角坐标系下用平行于坐标

轴的直线网来划分区域D,则面积元 素为 ddxdy

故二重积分可写为

D

D

f(x,y)d

3、【二重积分存在定理】 设f(x,y)是有界闭区域D上的连续函数,则二重积分

f(x,y)d存在.D4、二重积分的几何意义

0时,二重积分(1)当被积函数f(x,y)

f(x,y)d

D

表示以

f(x,y)为顶,以D为底面的曲顶柱体的体积．

(2)当被积函数f(x,y)0时,二重积分表示曲顶柱体体积的相反数．

二、二重积分的性质

假设被积函数在有界闭区域D上连续.1．2．

kf(x,y)dkf(x,y)d,k为常数.D

D

[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)d.D

D

D

二重积分的线性性：设,为常数则上述两式合并为

[f(x,y)g(x,y)]d

D

f(x,y)dg(x,y)d.D

D

3．(二重积分对区域可加性)

f(x,y)df(x,y)df(x,y)d,(DDD

D

D

1D

2).4．

d, 为D的面积.D

．(积分不等式)若f(x,y)g(x,y),则

f(x,y)dg(x,y)d.D

D

注意：若在D上f(x,y)g(x,y)但等号不是恒成立，则有

f(x,y)dg(x,y)d.D

D

推论:

f(x,y)d

D

D

f(x,y)d.6.【积分估值定理】设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大

值和最小值，则 m

f(x,y)dM.其中为D的面积.D

7.【积分中值定理】设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则在D上至 少存在一点(,)使得

df(x,y)

D

.为D的面积.f(,)

8．设区域DD1D2，且D1与D2关于x轴对称；

（1）当f(x,y)关于y是偶函数即 f(x,－y)＝f(x,y)时，有

f(x,y)d2f(x,y)d.D

D

1当f(x,y)关于y是奇函数时即f(x,－y)＝f(x,y)时，有

f(x,y)d0.D

(2)类似有设区域DD1D2，且D1与D2关于y轴对称； 当f(x,y)关于x是偶函数时即f(x,y)＝f(x,y)时，有

f(x,y)d2f(x,y)d.D

D1

当f(x,y)关于x是奇函数时即f(x,y)＝f(x,y)时，有

f(x,y)d0.D

三、应用举例 例1 比较

3与(xy)d(xy)d D

D的大小,其中

D{(x,y)|(x2)(y1)2}.2

2解：如图,由于点A(1,0)在(x2)(y1)2上,过点A的切线

为xy1,那么在D上有 1xy(xy)(xy),23

(xy)d(xy)d.D

D

2222

cosxyd,Icos(xy)d, 2D

例2(05.4)设I1

I3cos(x2y2)2d,其中D{(x,y)|xy21},则

D

D

(A)I3I2I1(B)I1I2I3(C)I2I1I3(D)I3I1I2

答(A).因为在区域D上，0xy1所以

,且cosz[0,

]为减函数，

1x2y2x2y2(x2y2)20,2222222

从而cos(xy)cos(xy)cos(xy),故I3I2I1.例3设D:x2y2a2,当a()时,(a)1(b)3



D

a2x2y2dxdy.331(c)3(d)3 242

答(b).根据二重积分的几何意义,此积分表示半径为a的上半球体

1433的体积.由a得a3选(b).232

例4当D是由()围成的区域时,dxdy1.D

(a)x轴,y轴及2xy20(b)x1,x2及y3,y

1,y(d)xy1,xy1 22

答(a,b,c).因为dxdy1表示积分区域的面积为1,故只需考察哪

(c)x

D

些选项积分区域的面积为1.例5 判断

xy1

ln(x2y2)d的正负.解：在区域D{(x,y)|xy1 }上有xy1且等号不恒成立，所以ln(xy)ln10且等号不能恒成立，故

xy1

ln(x2y2)d

xy1

(ln1)d0.例6估计积分值I

xy(xy)d,D{(x,y)|0x1,0y2}.D

解：0xy(x2y2)60I12.（注意：积分区域为矩形SD2）例7D1{(x,y)|xy1,x,y0}

D2{(x,y)|(x2)(y1)

2}I1(xy)2d,I2(xy)3d,D1

D1

I3(xy)2d,I4(xy)3d

D2

D2

试用适当符号连接 I1,I2,I3,I4.解：在D1上有I1I2(0xy1),在D2上I4I3(xy1).又由(xy)21I1由(xy)21I3故 I4I3I1I2.22

例8 设D{(x,y)|1xy4}，证明 3e

xeD

d

D1，2

I1，2

y2

d2

D2

d3e4.证明 因为 SD43，又因为 ee由积分的估值性质得 3e

xeD

xy2

e4，y2

d3e4.例9设D{(x,y)|xyR}（1）若f(x,y)在D上有界且可积，则lim

R0

f(x,y)d0.D

f(x,y)df(0,0).R0R2D

（1）证明：设m,M分别为函数f(x,y)在D上的最小值与最大值，则

（2）若f(x,y)在D上连续，则lim

mf(x,y)M，由积分估值定理知mdf(x,y)dMd

又D{(x,y)|xyR}所以mR

D2

D

f(x,y)dMR

D

D2，lim

R0f(x,y)d0.D

D

（2）解：由积分中值定理知f(x,y)在D上连续

(,)D,s..tf(x,y)dR2f(,)，所以lim

112

f(x,y)dlimRf(,)

R0R2R0R2

D

limf(,)limf(,)f(0,0).R0

(,)(0,0)

小结：1.定义

f(,)为二重积分.f(x,y)dlim

D

0

i

i

i

i1

n

2.二重积分几何意义:表示曲顶柱体的体积.3.正确运用各条性质进行判断、计算、证明.课后记：比较大小与证明问题下手较困难.