数理统计试题及答案_数理统计考试题及答案

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一、填空题（本题15分，每题3分）

1、总体X~N(20,3)的容量分别为10，15的两独立样本均值差XY~________；

22、设X1,X2,...,X16为取自总体X~N(0,0.52)的一个样本，若已知0.01(16)32.0,则P{Xi28}=________；

i1163、设总体X~N(,2)，若和均未知，n为样本容量，总体均值的置信水平为

21的置信区间为(X,X)，则的值为________；

4、设X1,X2,...,Xn为取自总体X~N(,2)的一个样本，对于给定的显著性水平，已知关于检验的拒绝域为2≤12(n1)，则相应的备择假设H1为________； 2已知，5、设总体X~N(,2)，在显著性水平0.05下，检验假设H0:0,H1:0，拒绝域是________。

1、N(0，)；

2、0.01；

3、t(n1)2212Sn2；

4、20；

5、zz0.05。

二、选择题（本题15分，每题3分）

1、设X1,X2,X3是取自总体X的一个样本，是未知参数，以下函数是统计量的为（）。

13（A）(X1X2X3)

（B）X1X2X

3（C）X1X2X3

（D）(Xi)2

3i11n22.,Xn为取自总体X~N(,)的样本，X为样本均值，Sn(XiX)2，2、设X1,X2,ni11则服从自由度为n1的t分布的统计量为（）。（A）

n1(X）n(X）n(X)n1(X)

（B）

（C）

（D）

SnSn221n(XiX)2,3、设X1,X2,,Xn是来自总体的样本，D(X)存在，Sn1i1则（）。

（A）S2是2的矩估计

（B）S2是2的极大似然估计

（D）S2作为2的估计其优良性与分布有关（C）S2是2的无偏估计和相合估计

224、设总体X~N(1,1),Y~N(2,2)相互独立，样本容量分别为n1,n2，样本方差分别2222为S12,S2，在显著性水平下，检验H0:1的拒绝域为（）。2,H1:122（A）2s2s122s2F(n21,n11)

（B）

2s2s122s2F12(n21,n11)

（C）s12F(n11,n21)

（D）

2s12F12(n11,n21)

5、设总体X~N(,2)，已知，未知，x1,x2,,xn是来自总体的样本观察值，已知的置信水平为0.95的置信区间为（4.71，5.69），则取显著性水平0.05时，检验假设H0:5.0,H1:5.0的结果是（）。

（A）不能确定

（B）接受H0

（C）拒绝H0

（D）条件不足无法检验

1、B；

2、D；

3、C；

4、A；

5、B.2x0x,三、（本题14分）

设随机变量X的概率密度为：f(x)2，其中未知

其他0,参数0，X1,,Xn是来自X的样本，求（1）的矩估计；（2）的极大似然估计。解：(1)E(X)xf(x)dx02x2dx，322ˆˆ)X，得令E(X(2)似然函数为：L(xi,)i1n233X为参数的矩估计量。22n2xi22n0xi,(i1,2,,n)，xi，i1nˆmax{X,X,,X}。而L()是的单调减少函数，所以的极大似然估计量为12n

四、（本题14分）设总体X~N(0,2)，且x1,x2x10是样本观察值，样本方差s22，（1）求的置信水平为0.95的置信区间；（2）已知Y2X22X2~(1)，求D3的置信222水平为0.95的置信区间；（0。.975(9)2.70，0.025(9)19.023）解：

1818，即为（0.9462，6.6667）（1）的置信水平为0.95的置信区间为；

2(9),2(9)0.9750.0252X21X2122=（2）D； DD[(1)]2322222X222，由于D是的单调减少函数，置信区间为,3222即为（0.3000，2.1137）。

五、（本题10分）设总体X服从参数为的指数分布，其中0未知，X1,,Xn为取自总体X的样本，若已知UXi~2(2n)，求： i12n（1）的置信水平为1的单侧置信下限；

（2）某种元件的寿命（单位：h）服从上述指数分布，现从中抽得容量为16的样本，测得样本均值为5010（h），试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。22(0)44.985,0.05(31.10(32)42.585)。

解：(1)P2nX2nX2(2n)1,P21,(2n)2nX2165010；（2）3764.706。242.585(2n)即的单侧置信下限为

六、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度X~N(10,1)，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/L），标准差为1.2（mg/L），问该工厂生产是

22否正常？（0.05,t0.025(9)2.2622,0.025(9)19.023,0.975(9)2.700）

解：（1）检验假设H0：=1，H1：≠1； 取统计量：22

2(n1)s220；

拒绝域为：2≤2122222

(n1)0.975(9)=2.70或≥(n1)0.025=19.023，2经计算：2(n1)s22091.2212.96，由于212.96(2.700,19.023)2，1故接受H0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为2=1。

：10，H1：10；

取统计量：t（2）检验假设H010.8101.2/10X10S/10~ t(9)；

2拒绝域为tt0.025(9)2.2622；t，2.1028

综上，认为工厂生产正常。

七、（本题10分）设X1,X2,X3,X4为取自总体X~N(,42)的样本，对假设检验问题H0:5,H1:5，（1）在显著性水平0.05下求拒绝域；（2）若=6，求上述检验所犯的第二类错误的概率。

解：(1)拒绝域为zx54/4x5z0.0251.96;2（2）由(1)解得接受域为（1.08，8.92），当=6时，接受H0的概率为

P{1.08X8.92}8.9261.0860.921。22

八、（本题8分）设随机变量X服从自由度为(m,n)的F分布，(1)证明：随机变量自由度为(n,m)的F分布；(2)若mn，且P{X}0.05，求P{X证明：因为X~F(m,n),由F分布的定义可令X与V相互独立，所以

1服从 X1}的值。

U/m，其中U~2(m),V~2(n)，UV/n1V/n~F(n,m)。XU/m11当mn时，X与服从自由度为(n,n)的F分布，故有P{X}P{X}，X111从而

P{X}P{}1P{}1P{X}10.050.95。

XX