抛物线的定义、性质及标准方程_抛物线定义及标准方程

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高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程

【本讲主要内容】

抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质

【知识掌握】 【知识点精析】 1.抛物线定义： 平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点

叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e＝1时为抛物线，当01时为双曲线。

2.抛物线的标准方程有四种形式，参数式方程的几何性质（如下表）：的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形

其中为抛物线上任一点。

3.对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。的焦点的直线与抛物线交于，则有4.抛物线的焦点弦：设过抛物线，直线

与的斜率分别为，直线的倾斜角为。，，，说明：

1.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。

2.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。

3.解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。【解题方法指导】

例1.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆于，求此抛物线的方程。解析：设所求抛物线的方程为设交点则∴点在，∴

上，（y1>0），代入

在得上

或

相交的公共弦长等∴或，∴或

。，经过的直线交抛物线于

两点，点故所求抛物线方程为例2.设抛物线在抛物线的准线上，且的焦点为

∥轴，证明直线经过原点。

解析：证法一：由题意知抛物线的焦点

故可设过焦点的直线的方程为

由，消去得 设，则

∵∥轴，且在准线上

∴点坐标为

于是直线的方程为

要证明注意到经过原点，只需证明，即证

经过原点。

知上式成立，故直线证法二：同上得。又∵∥轴，且在准线上，∴点坐标为。于是过原点。

证法三：如图，知三点共线，从而直线经

设轴与抛物线准线交于点则∥∥，连结，过交

作于点，则

是垂足

又根据抛物线的几何性质，∴因此点是的中点，即

与原点

重合，∴直线

经过原点。

评述：本题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力。其中证法一和二为代数法，证法三为几何法，充分运用了抛物线的几何性质，数形结合，更为巧妙。

【考点突破】 【考点指要】

抛物线部分是每年高考必考内容，考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性质，多出现在选择题和填空题中，主要考查基础知识、基础技能、基本方法，分值大约是５分。考查通常分为四个层次：

层次一：考查抛物线定义的应用； 层次二：考查抛物线标准方程的求法； 层次三：考查抛物线的几何性质的应用；

层次四：考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。

解决问题的基本方法和途径：待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。

【典型例题分析】 例3.（2006江西）设，则点A.C.答案：Ｂ

解析：解法一：设点坐标为，则，解得或（舍），代入抛物线可得点的坐标为。

为坐标原点，的坐标为（）B.D.为抛物线的焦点，为抛物线上一点，若解法二：由题意设，则，即，求得，∴点的坐标为。

评述：本题考查了抛物线的动点与向量运算问题。例4.（2006安徽）若抛物线为（）

A.－2 B.2 C.－4 Ｄ.4 答案：D的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值解析：椭圆的右焦点为，所以抛物线的焦点为，则。

评述：本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系。【达标测试】 一.选择题： 1.抛物线的准线方程为，则实数的值是（）

A.B.C.D.轴上，又抛物线上的点，与焦点的距离2.设抛物线的顶点在原点，其焦点在为4，则等于（）

A.4 B.4或－4 C.－2 D.－2或2 3.焦点在直线A.C.B.D.或或

上的抛物线的标准方程为（）

4.圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程为（）

A.B.C.D.5.正方体上的动点，且点的轨迹是（）的棱长为１，点到直线的距离与点

在棱到点

上，且，点是平面的距离的平方差为１，则点

A.抛物线 B.双曲线 C.直线 D.以上都不对 6.已知点是抛物线的距离为

上一点，设点，则

到此抛物线准线的距离为，到直线的最小值是（）

A.5 B.4 C.7.已知点D.是抛物线

上的动点，点

在轴上的射影是，点的坐标是，则的最小值是（）

A.B.4 C.D.5 的焦点的直线交抛物线于

两点，为坐标原点，则的值8.过抛物线是（）

A.12 B.－12 C.3 D.－3 二.填空题： 9.已知圆10.已知物线的焦点分别是抛物线，则直线

和抛物线的准线相切，则的值是＿＿＿＿＿。的垂心恰好是此抛

上两点，为坐标原点，若的方程为＿＿＿＿＿。

11.过点（0，1）的直线与＿＿＿。12.已知直线＿＿＿。三.解答题： 与抛物线

交于两点，若的中点的横坐标为，则

交于两点，那么线段的中点坐标是＿＿13.已知抛物线顶点在原点，对称轴为抛物线的方程。14.过点（4，1）作抛物线

轴，抛物线上一点到焦点的距离是5，求的弦点在，恰被所平分，求所在直线方程。

。15.设点F（1，0），M点在轴上，⑴当点⑵设在轴上运动时，求

轴上，且

点的轨迹是曲线的方程； 上的三点，且的坐标。

成等差数列，当的垂直平分线与轴交于E（3，0）时，求点【综合测试】 一.选择题：

1.（2005上海）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 2.（2005江苏）抛物线

上的一点

到焦点的距离为1，则点的纵坐标是（）

A.B.C.D.0，若它的一条准线与抛物线3.（2005辽宁）已知双曲线的中心在原点，离心率为的准线重合，则该双曲线与抛物线A.B.C.D.21的交点与原点的距离是（）

4.（2005全国Ⅰ）已知双曲线合，则该双曲线的离心率为（）的一条准线与抛物线的准线重A.B.C.D.的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有5.（2004全国）设抛物线公共点，则直线的斜率的取值范围是（）

A.B.C.D.6.（2006山东）动点取得最小值，则

是抛物线的最小值为（）

上的点，为原点，当时A.B.C.D.7.（2004北京）在一只杯子的轴截面中，杯子内壁的曲线满足抛物线方程，在杯内放一个小球，要使球触及杯子的底部，则该球的表面积取值范围是（）A.B.C.D.的准线为，直线

与该抛物线相交于的8.（2005北京）设抛物线点，则点及点

两到准线的距离之和为（）

A.8 B.7 C.10 D.12 二.填空题： 9.（2004全国Ⅳ）设到

是曲线

上的一个动点，则点

到点的距离与点轴的距离之和的最小值是＿＿＿＿＿。

10.（2005北京）过抛物线为，则圆的焦点

且垂直于轴的弦为，以

为直径的圆与抛物线准线的位置关系是＿＿＿＿＿，圆的面积是＿＿＿＿＿。的一条弦，所在11.（2005辽宁）已知抛物线直线与轴交点坐标为（0，2），则＿＿＿＿＿。的焦点在直线

移到点

上，现将抛物线沿处，则平移后所12.（2004黄冈）已知抛物线向量进行平移，且使得抛物线的焦点沿直线得抛物线被轴截得的弦长

＿＿＿＿＿。三.解答题：

13.（2004山东）已知抛物线C：与抛物线交于⑴若以弦两点。，求的值；的轨迹方程。的焦点为，直线过定点

且为直径的圆恒过原点⑵在⑴的条件下，若，求动点

14.（2005四川）如图，点，是抛物线的焦点，点

为抛物线内一定点，点

为抛物线上一动的最小值为8。

⑴求抛物线方程； ⑵若为坐标原点，问是否存在点，若存在，求动点，使过点的动直线与抛物线交于

两点，且的坐标；若不存在，请说明理由。

15.（2005河南）已知抛物线抛物线交于⑴求⑵求满足 ；的点的轨迹方程。，为顶点，使得

为焦点，动直线。

与两点。若总存在一个实数