三角形重心向量性质的引申及应用（优秀）_三角形重心用向量证明

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三角形重心向量性质的引申及应用

新化县第三中学肖雪晖

平面向量是高中数学实验教材中新增的一章内容．加入向量，一些传统的中学数学内容和问题就有了新的内涵．在数学教学中引导学生积极探索向量在中学数学中各方面的应用，不仅可深人了解数学教材中新增内容和传统内容的内部联系，构建合理的数学知识结构，而且有利于拓展学生的想像力，激发创新活力，显现出向量作为一个工具在数学中的重要性．下面就向量与三角形的重心关系加以引申和应用．

三角形重心向量形式的充要条件：设O为ABC所在平面上一点，O为ABC的重

心OAOBOC0

证明：先证必要性：

如图1以OB,OC为邻边作平行四边形OBDC,则ODOBOC.又OAOBOC0，则OBOCOA，所以OAOD,O为AD的中点，且A、O、D共线.又E为OD的中点,因此，O是中线AE的三等分点，且OA2AE

3即O为ABC的重心.再证充分性:设BO、OC与AC、AB分别交于F、G点，则由三角形的中线公式可得，AEBFCG0

222又O为ABC的重心，得AOAE,BOBF,COCG 33

3所以OAOBOC0

引申1若O为ABC内任一点，则有

SOAB.OCSOBC.OASOAC.OB0

证明：如图2,设OA11OA,OB12OB,OC13OC,且O为ABC的重心，则1OA2OB3OC0

且SAOBSBOCSAOC,记为S,那么，SOAB

S1OAOBsinAOB1.12OA1OB1sinAOB

2S即S

AOB12.同理可得SOBcS

23，SOACS13.所以1:2:3SOBC:SOAC:SOAB.则SOAB.OCSOBC.OASOAC.OB0

引申2如图3,已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N 11两点，且AMxAB,ANyAC,则3 xy

证明：点G是ABC的重心，知GAGBGC0,1得AG(ABAG)(ACAG)0有AG(ABAC)

3又M、N、G三点共线（A不在直线AM上）,于是存在,，使得

1AGAMAN)(且1),有AGxAByAC(ABAC)

31113 得于是得1xyxy3运用引申

1、引申2可以解决许多数学问题，使解题过程简单。

例1.设设O为ABC所在平面上一点，角A、B、C所对边长分别为a,b,c则O为ABC

的内心的充要条件为：aOAbOBcOC0

证明：必要性，由O为ABC的内心，得O到ABC三边的距离相等，记为r, 则SOAB111111ABrcr,SOBCBCrar,SOACACrbr, 22222

2所以SOAB:SOBC:SOACc:a:b

由引申1得SOABOCSOBCOASOACOB0，即aOAbOBcOC0

充分性：由aOAbOBcOC0及SOABOCSOBCOASOACOB0，得SOAB:SOBC:SOACc:a:b

设O到ABC三边的距离分别为r1,r2,r3, 则SOAB111cr1,SOBCar2,SOACbr3, 222

所以ar1:br2:cr3a:b:c,可得r1r2r3,即O为ABC的内心。

所以O为ABC的内心的充要条件为：aOAbOBcOC0

例2.已知在ABC中，过重心G的直线交AB于P, 交AC于Q,设APQ的面积为S1，ABC的面积为S2，且APpPB,AQqQC,则

（1）pq_______________ pq

（2）S1的取值范围是_________________ S2

11APpAQq3 解析：（1）因为,,由引申2得pqAB1pAC1q

1p1q

即1p1q11pq3，推出1,所以1,故填1.pqpqpq

（2）由题可知S2ABAC(1p)(1q)12.S1APAQpqpq

11411S94S1pq21(),所以2

运用引申1、2，还可以轻松解答下列问题.1.已知点O为ABC内一点，且存在正数1,2,3使1OA2OB3OC0

设AOB,AOC的面积分别为S1,S2,求S1:S2.2.已知点P是ABC内一点，且满足PA2PB3PC0，求ABP与ABC的面积的比.3.已知点O在ABC内部且满足OA2OB3OC0,求ABC与凹四边形ABOC的面积的比.