三角形中位线论文_浅谈三角形中位线

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三角形中位线的前因后果

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。已知：如图

（一），△ABC中，M，N分别是AB，AC两边中点。求证：MN平行于BC且等于BC/2.A

图二

MN

CB 图一 图三

BMANCCNAMADNBMAMBNCB图四

C前因：1.，当点A运动到线段BC上（如图

（二）），其他条件不变时，易证：MN=BC/2.2.当点A运动到线段BC的延长线上或反向延长线上（如图

（三）），其他条件不变时，易证：MN=BC/2.后果：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

已知：如图

（四），梯形ABCD中，M为AB的中点，N为CD的中点，连接MN，DFA求证：MN平行两底且等于两底和的一半。

DA

MFN MN

BECCB图五

图六

1.如图

（五）当△ABC的边AB固定，边AC平移到DE处，从而得到梯形ABED，AC的中点N平移到DE的中点F点处，所以线段MF就是梯形ABED的中位线，因为MN∥BC,NF∥BC,这样，M、N、F三点共线，即梯形ABED的中位线MF∥BC∥AD，∵AD=DF=CE

∴MFMN+NF=BC/2+(AD+CE)/2=(BC+CE)/2+AD/2=(BE+AD)/2 这样就证明了梯形中位线定理.2.△ABC可以看成梯形ABCD的两个端点D与A重合的特殊情形，那么，如图（五)，当点D从A点出发，沿与BC平行的射线AF运动时，得到梯形ABCD，此时线段MN就是梯形ABCD的中位线，∵∴

2.MADDANMNBC图七

B图八

C想的“做”数学的环境，可以让学生从“听”数学转变到“做”数学，以研究者的方式，参与包括发现、探索在内的获得知识的全过程，是一个开展“数学实验”的好“实验室”。

一、用《几何画板》，让学生体验数学家的感受

提起数学实验，人们都会本能地想到物理实验、化学实验和生物实验。在日常教学过程中，为了让学生获得知识，物理、化学、生物都需要做实验，而在数学教学中，却几乎没有实验。很多数学学习困难的学生认为数学枯燥乏味，就是因为数学太抽象，不象理化那样经常做实验，看得见。于是，只有数学家是在“做”数学，而学生却在被动地“听”数学。他们听来的多半是缺少发现过程的结论，而且缺乏他们自己对所讲内容的“操作”。这就大大脱离了学生自己的经验体系，致使学生不能很好的获取知识。《几何数学教师要利用计算机进行辅助教学 ,离不开作图 ,特别是在几何教学中。过去本人使用《ＷＯＲＤ97》深感在作图时有诸多不便。如果将《几何画板》与《ＷＯＲＤ97》结合使用 ,既能充分利用《ＷＯＲＤ97》在数学符号输入、数学公式编辑和文字排版上的强大功能 ,又能发挥《几何画板》在制作几何图形时简单、美观、准确、快捷的优势。同时《几何画板》在教学中不仅是优秀的演示工具 ,而且是学生在学习中有力的探索工具。笔者曾成功地将《几何画板》应用于《三角形中位线》一课的教学中(该课参加全国第二届初中青年数学教师优秀课评比获一等奖)。下面就以该课为例谈谈具体应用时的几点体会。1 变被动接受为主动探索建构主义理论[1 ] 认为 :知识不是被动接受的 ,而是由认知主体建构的。数学学习是学生在已有数学认知结构的基础上的建构活动 ,而不是对数学知识的直接翻版。这就要求我们在教学中 ,不能只重结果而偏废过程 ,让学生被动地把结论机械地识记下来 ,这样获取的是死知识。应遵循让学生观察理解 ,探索研究 ,发现问题的规律 ,给学生一个建构的过程 ,一个思维活动的学生参与包括发现、随着素质教育的全面推进,用数学开放题培创新意识和能力,已经成了教改的热点.特别是培养学生能用运观点去分析问题、解决问题,也是中考命题的热点.需要教师深入挖掘教材的隐含内容 ,设计巧妙的问题情境 ,激

发学生主空间 ,让养学生的动、变化的近年来，我区大力推行主动参与教学模式。初探这一模式，很多教师颇感困难。例如，在画板》被誉为“21世界的动态几何”，它就提供了一个十分理讲授三角形中位线的性质一节课时，传统的教学方法是把“三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半”这一性质告诉学生，然后再加以证明。有了《几何画板》，可以通过《几何画板》画一个△ABC，并画出它的一条中位线DE，度量三角形各边的长度及DE的长度，显示它们大小的数值就展现在屏幕上（如图）。教师设计以下问题，让学生自己探索、实验。请你拖动三角形的任意一个顶点，通过观察回答下列问题：（1）

中位线DE与三角形各边有什么样的位置关系？（2）

中位线DE与三角形各边的长度有什么相等关系？（3）

猜想三角形的中位线有什么性质？请你用一句话来概括。（4）

你能证明这一猜想吗？

动探究问题的热情 ,培养学生的探究能力和强化生物学思维能力 ,在良好的师生互动交流中 ,点化引玉 ,引导学生突破知识难点。

随着学生拖动三角形的任意一个顶点，中位线的位置在屏幕上动态地改变着，并且显示三角形的三条边和中位线的长度的数据也在屏幕上跟着改变。这个演示过程充分体现了三角形的任意性，并引导学生关注变化过程中的不变关系、不变量。学生经过自己的实际操作，从动态中去观察、探索、归纳出三角形的中位线的性质。对自己的任何发现，都可以得到及时地验证。这时教师的角色不再是学生的保姆，学生不再是盛受知识的容器，也不再是目睹教师口干舌燥的“观众”，而是积极参与探索的“主角”，经过自己亲身的实践活动，感受、理解知识产生和发展的过程，形成自己的经验，发挥了学生的能动性和创造能力，达到让学生“做”数学的目的。三角形中位线的几种变化

动点问题是最近几年中考数学的热点题型，这类试题信息量大，对同学们获取和处理信息的能力要求较高，解题时需要用运动和变化的眼光去观察和探究问题，挖掘运动和变化的全过程，这就要求同学们具有扎实的基础知识、较强的阅读理解能力及数学的建模能力，动点问题是近年来中考中的一个热点题型,也是教学中的一个难点,这类题综合性强、开放度高,要求学生能从“运动、变化”的角度去思考问题.解答这类题目除了要牢固掌握相关的数学知识外,还要综合运用数形结合、分类讨论、方程、函数、转化等数学思想方法去探索解题的思路;它考查面广,涉及的知识点众多,留给学生很大的思维空间和思维量,需要我们在运动中分析,在变化中求解.本文以2011年全国各地的中考动点类问题为例进行分析,以供参考.正近几年,动点问题成为中考的必考内容,这类问题无论对学生的知识基础水平,还是对学生的思维能力、解题能力都是极大的考验.如何有效的解决动点问题是数学教学中值得探索的问题.构造思想方法是初中数学极为重要的数学思想,更是一种体现创新思维的思想方法.点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图形为载体,运动变化为主线,集多个知识点为一体,集多种解题思想于一题.这类题综合性强,能力要求高,它能全面的考查学生的实践操作能力,空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点,现采撷几例加以分类浅析,逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。

逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/

2二、合作交流

ADMNBC

操作：1.剪一个三角形，记为ΔABC

2．分别取AB、AC的中点D、E，并连接DE 3．沿DE将ΔABC剪成两部分，并将ΔADE绕点E旋转180°得四边形DBCF ADADBECBECF

思考：四边形DBCF是什么特殊的四边形

1.三角形中位线的概念

想一想：三角形的中线与三角形的中位线的区别，并画图说明

三角形中线是一条连接 与 的线段 ⑴ 顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形是 ⑵ 顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是 ⑶ 顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是

⑷ 顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是 ⑸ 顺次连接对角线垂直的四边形四边中点所得的四边形是 ⑹ 顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形是

四、反馈练习

1.ΔABC中，AB=6㎝，AC=8㎝，BC=10㎝，D﹑E﹑F分别是AB、AC、BC的中点

则ΔDEF的周长是＿＿＿＿，面积是＿＿＿＿。

2.ΔABC中，DE是中位线，AF是中线，则DE与AF的关系是＿＿＿＿ 3.若顺次连接四边形四边中点所得的四边形是菱形，则原四边形（）

（A）一定是矩形（B）一定是菱形（C）对角线一定互相垂直（D）对角线一定相等

4.如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地 的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB，分别 取CA、CB的中点D、E.（1）若DE的长度为36米，求A、B两地之间的距离； A

D（2）如果D、E两点之间还有阻隔，你有什么方法解 E F

B

G

C 怎样将一张梯形硬纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个三角形？ 操作：

（1）剪一个梯形，记为梯形ABCD;（2）分别取AB、CD的中点M、N，连接MN；（3）沿AN将梯形剪成两部分，并将△ADN绕点N按顺180°到△ECN的位置，得△ABE，如右图。

讨论：在上图中，MN与BE有怎样的位置关系和数量关

二、合作交流

1.梯形中位线定义：

2.现在我们来研究梯形中位线有什么性质.时针方向旋转

系？为什么？ 如右图所示：MN是梯形 ABCD的中位线，引导学生回答下列问题：

MN与梯形的两底边AD、BC有怎样的位置关系和数量关系？为什么？

①一个梯形的上底长4 cm，下底长6 cm，则其中位线长为 ； ②一个梯形的上底长10 cm，中位线长16 cm，则其下底长为 ； ③已知梯形的中位线长为6 cm，高为8 cm，则该梯形的面积为________ ； ④已知等腰梯形的周长为80 cm，中位线与腰长相等，则它的中位线长.例2：已知：如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＋BC，P为CD的中点，求证：AP⊥BP

四、拓展练习

1.已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC ＝12，BD＝9，则此梯形的中位线长是 „（A．10 B．

C．

D．12 2.已知，等腰梯形ABCD中，两条对角线AC、BD互相垂直，中位线EF长为8cm，求它的高CH.D C O E A H B）